Треугольник

Предположим, что на какой-нибудь поверхности даны три точки А, В и С, не лежащие на одной и той же кратчайшей (геодезической) линии. Соединив эти точки кратчайшими линиями, получим фигуру, называемую треугольником. Точки А, В и С наз. вершинами, а кратчайшие линии АВ, ВС и АС сторонами Т. Если данная поверхность есть плоскость, то получается прямолинейный Т.; стороны его — прямые линии. Т. на поверхности шара наз. сферическим; стороны его — дуги больших кругов, получаемые при пересечении поверхности шара плоскостями, проходящими через центр шара и через вершины Т. Изучение свойств Т. относится к геометрии. Та часть этой науки, которая специально рассматривает соотношения между сторонами и углами Т., наз. тригонометрией (см.). Отсылая читателя к любому учебнику геометрии и тригонометрии, мы в этой статье укажем только на некоторые свойства прямолинейных Т. О других свойствах и о Т. сферических будет сказано в статье Тригонометрия. Если в Т. две стороны равны, то противолежащие им углы тоже равны. Если две стороны Т. не равны, то против большей стороны лежит и больший угол. По свойству сторон, различаются Т.: разносторонние, равнобедренные и равносторонние. В разностороннем Т. все стороны различны между собой; в равнобедренном — две стороны равны, а третья отличается от них; в равностороннем — все стороны равны между собой.. Всякую сторону Т. можно принять за основание; перпендикуляр, опущенный на эту сторону из противолежащей вершины, наз. высотой Т. Если основание Т. содержит b метров, а высота h метров, то площадь Т. содержит 1/2 bh кв. метров. Если в равнобедренном Т. принять за основание сторону, отличающуюся от двух равных сторон, то высота делит основание и угол при вершине пополам. По свойству углов, различаются Т. прямоугольные, остроугольные и тупоугольные, В прямоугольном Т. один из углов прямой, а два другие угла острые; стороны прямого угла наз. катетами, сторона же Т., противолежащая вершине прямого угла — гипотенузой. В остроугольном Т. все углы острые. В тупоугольном Т. один угол тупой и два другие угла острые. Если два угла Т. равны, то противолежащие им стороны тоже равны. Если два угла Т. не равны, то против большего угла лежит и большая сторона. Т. вполне определен, если даны: 1) три стороны; 2) сторона и два прилежащих угла; 3) две стороны и угол, лежащий между ними, и 4) две стороны и угол, лежащий против большей стороны. Тригонометрия (см.) учит, как во всех этих случаях по данным частям Т. вычислить остальные его части.

А. С.

I

Треуго́льник

прямолинейный, часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (стороны Т.), имеющими попарно по одному общему концу (вершины Т.). Т., у которого длины всех сторон равны, называется равносторонним, или правильным (рис., 1), Т. с двумя равными сторонами — равнобедренным (рис., 2). Т. называется остроугольным (рис., 3), если все углы его острые; прямоугольным (рис., 4) — если один из его углов прямой; тупоугольным (рис., 5) — если один из его углов тупой. Более одного прямого или тупого угла Т. иметь не может, так как сумма всех трёх углов равна двум прямым углам (180° или, в радианах, π). Площадь Т. равна ah/2, где а — любая из сторон Т., принимаемая за его основание, a h — соответствующая высота (рис., 6). Стороны Т. подчинены условию: длина каждой из них меньше суммы и больше разности длин двух других сторон. Два Т. конгруэнтны (равны), если они имеют равными (попарно) все стороны или две стороны и угол между ними, или сторону и два прилежащих угла. Числовые соотношения между углами и сторонами Т. изучаются в тригонометрии (См. Тригонометрия). О Т. на сфере см. Сферическая геометрия.Сферическая тригонометрия.

Рис. к ст. Треугольник.

Треуго́льник (лат. Triangulum)

созвездие Северного полушария неба; наиболее яркие звёзды 3,0 и 3,4 визуальной звёздной величины (См. Звёздная величина). Наилучшие условия для наблюдений — в октябре, видно на всей территории СССР. См. Звёздное небо.

Треуго́льник

ударный музыкальный инструмент: стальной прут, согнутый в виде незамкнутого треугольника. Т. подвешивают (на ремешке или струне) и извлекают звук ударами металлического стерженька. Звук инструмента яркий, звенящий. Применяется в оркестрах и инструментальных ансамблях.

1. треуго́льник;
2. треуго́льники;
3. треуго́льника;
4. треуго́льников;
5. треуго́льнику;
6. треуго́льникам;
7. треуго́льник;
8. треуго́льники;
9. треуго́льником;
10. треуго́льниками;
11. треуго́льнике;
12. треуго́льниках.

ТРЕУГО́ЛЬНИК, -а, муж.

1. Геометрическая фигура многоугольник с тремя углами, а также всякий предмет, устройство такой формы. Прямоугольный т. Деревянный т. (для черчения). Солдатский т. (солдатское письмо без конверта, свёрнутое уголком; разг.).

2. Название сержантского и старшинского знака различия такой формы на петлицах в Красной Армии (с 1919 по 1943 г.).

3. В советском учреждении, на предприятии: совместно действующие три руководящих лица администратор, секретарь партийной организации и председатель профсоюзного комитета (разг.).

• Любовный треугольник трое людей (двое мужчин и женщина или две женщины и мужчина), связанных любовными отношениями.

-а, м.

1.

Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла.

Прямоугольный треугольник. Равнобедренный треугольник.

||

Измерительный инструмент такой формы для черчения.

На бумаге разложены были чертежные принадлежности: готовальня, циркуль, логарифмическая линейка, лекала, треугольник. Гладков, Энергия.

|| чего или какой.

Фигура или предмет такой формы.

Из-за темного вала плодовых деревьев видны серые треугольники крыш. М. Горький, Мордовка.

[Алексею] переслали из Новинска письмо брата — потемневший за долгую дорогу фронтовой треугольник. Ажаев, Далеко от Москвы.

2.

Музыкальный ударный инструмент такой формы из согнутого металлического прута.

[Казаки] ударили в бубен и тарелки и, мелодично вибрируя, зазвенел стальной треугольник. Серафимович, Поход.

3. разг.

Общее название трех руководящих лиц на предприятии, в учреждении: директора, секретаря партийной организации и председателя местной профсоюзной организации.

— Как насчет новой трассы? — крикнул Басов, обращаясь к помполиту. — Вы там обсудили треугольником, почему же молчите? Крымов, Танкер «Дербент».

ТРЕУГО́ЛЬНИК и (прост.) трёхугольник, треугольника, муж.

1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла (мат.). Тупоугольный треугольник. Остроугольный треугольник. Прямоугольный треугольник. Косоугольнй треугольник. Равнобедренный треугольник. Равносторонний треугольник. Разносторонний треугольник. Подобие треугольников.

|| Дощечка в виде такой фигуры, служащая для черчения (спец.).

|| Всякий предмет, устройство, имеющие форму такой фигуры. Деревянный, железный треугольник.

2. (треугольник). Ударный музыкальный инструмент из согнутого в форме такой фигуры стального прута, по которому ударяют металлической палочкой (муз.).

3. (треугольник). В учреждении, предприятии или их отделах - общее название для трех руководящих лиц: руководителя по административной линии и руководителей по линии партийной и профсоюзной работы (неол.). Треугольник завода. Треугольник цеха.

м.

Созвездие Северного полушария.

ТРЕУГОЛЬНИК - часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (сторонами треугольника), имеющими попарно по одному общему концу (вершины треугольника). Сумма всех углов треугольника равна двум прямым (180.). Площадь треугольника S=1/2 ah, где a - любая из сторон треугольника, принимаемая за основание, а h - соответствующая высота.

ТРЕУГОЛЬНИК - самозвучащий музыкальный инструмент - стальной прут, согнутый в виде треугольника, по которому ударяют палочкой. Применяется в оркестрах и инструментальных ансамблях.

ТРЕУГОЛЬНИК (лат. Triangulum) - созвездие Северного полушария; с территории России лучше всего видно в конце лета, осенью и зимой.

ТРЕУГОЛЬНИК, многоугольник с 3 сторонами. Иногда под треугольником понимают и часть плоскости, ограниченную сторонами треугольника. Если по каким-либо соображениям выделяют одну из сторон треугольника, то она называется основанием. Сумма всех углов треугольника равна 180ш, площадь треугольника равна полупроизведению основания на высоту.

Триединая природа вселенной: Небо, Земля, Человек; отец, мать, дитя; человек как тело, душа и дух; мистическое число три; тройка, первая из плоских фигур. Отсюда символ поверхности вообще. Поверхность состоит из треугольников (Платон). Равносторонний треугольник символизирует завершение. Треугольник, обращенный вершиной вверх, является солнечным и имеет символику жизни, огня, пламени, жара (отсюда горизонтальная линия, символизирующая воздух), мужское начало, лингам, шакта, духовный мир; это также троица любви, истины и мудрости. Означает королевское величие и имеет в качестве символа красный цвет. Треугольник, обращенный вершиной вниз, является лунным и имеет символику женского начала, матки, воды, холода, природы, тела, йони, шакти. Символизирует Великую Мать как родительницу. Горизонтальная линия - это земля; ее цвет - белый. В символике горы и пещеры гора - это мужской, обращенный вверх треугольник, а пещера - треугольник женский, обращенный вершиной вниз. Треугольник в круге означает мир форм, заключенный в круге вечности. Область внутри такого треугольника есть общий центр их всех и именуется Равниной Истины, на которой находятся причина, формы и образы всего, что было и что будет; они пребывают там в покое, который не может быть нарушен, и Вечность окружает их; и отсюда время, как струя фонтана, стекает вниз в миры (Плутарх). Три соединенных треугольника обозначают ненарушимое единство трех лиц Троицы. Двойной треугольник, шестиконечная звезда, Печать Соломона, Могун Давид, говорит о том, что каждая истинная аналогия должна быть употребима обратно, что вверху, то и внизу. Это союз противоположностей, мужского и женского, положительного и отрицательного, причем верхний треугольник белый, а нижний черный, огонь и вода, эволюция и инволюция, взаимопроникновение, все является образом другого, гермафродит, совершенное равновесие взаимодополняющих сил, андрогинное проявление божества, человек, всматривающийся в свою собственную природу, двойственные силы творения, синтез всех стихий, при обращенном вверх треугольнике как небесном символе, и обращенном вниз - как символе земном, а вместе - символ человека, как объединяющего эти два мира. Как Печать Соломона это изображение Сохраняющего; оно дает духовную власть над материей и является повелителем джиннов. Два треугольника, лежащие горизонтально и соприкасающиеся вершинам, - это лунный символ, растущая и убывающая Луна, вечное возвращение, смерть и жизнь, умирание и воскрешение. Точка соприкосновения - это новолуние и смерть. У алхимиков два треугольника - сущность и субстанция, forma и materia, дух и душа, сера и ртуть, стабильное и изменчивое, духовная сила и телесное существование. Треугольники, символизирующие стихии, таковы: огонь (обращенный вершиной вверх), воду (обращенный вершиной вниз), воздух (обращенный усеченной вершиной вверх), землю (обращенный усеченной вершиной вниз). Два смыкающихся треугольника - союз противоположностей, которые становятся жидким огнем или огненной водой. У буддистов чистое пламя и Три Драгоценности Будды, Дхарма и Сангха. У китайцев треугольник с подвешенными мечами символизирует восстановление. У христиан равносторонний треугольник или треугольник, образованный тремя пересекающимися кругами, символизирует Троицу в единении и равенстве трех составляющих ее лиц. Треугольное сияние - атрибут Бога-Отца. У египтян треугольник символизирует Триаду. Они сравнивают вертикальную сторону (прямоугольного треугольника) с мужчиной, горизонтальную - с женщиной, а гипотенузу - с их потомком: Озирис как начало, Изида как середина или хранилище и Гор как завершение (Плутарх). Рука Египтян - это союз огня и воды, мужчины и женщины. Фигура из трех двойных треугольников, окруженная концентрическими кругами, символизирует Кхуй, Страну Духов. У греков дельта символизирует дверь жизни, женское начало, плодородие. У индийцев обращенные вершинами вверх и вниз треугольники - это шакта и шакти, лингам и йони, Шива и его Шакти. У пифагорейцев равносторонний треугольник символизирует Афину как богиню мудрости.

муж. triangle неравносторонний треугольник ≈ scalene triangle прямоугольный треугольник ≈ right triangle амер., right-angled triangle брит. тупоугольный треугольник ≈ obtuse triangle равнобедренный треугольник ≈ isosceles triangle равносторонний треугольник ≈ equilateral triangle конгруэнтные треугольники, равные треугольники ≈ congruent trianglesтреугольн|ик - м. triangle;
~ый triangular.

delta, triangle

m.triangle; аксиома (or неравенство) треугольника, triangle inequality

треугольник м 1. мат. Dreieck n 1a прямоугольный треугольник rechtwinkliges Dreieck равнобедренный треугольник gleich|schenkliges Dreieck 2. муз. (инструмент) Triangel m 1d а любовный треугольник Dreiecksverhältnis n 1a (-ss-)

м

1)мат. Dreieck n

прямоугольный треугольник — rechtwinkliges Dreieck

равнобедренный треугольник — gleichschenkliges Dreieck

2)муз.(инструмент) Triangel m

•
•

любовный треугольник — Dreiecksverhältnis n (-ss-)

треугольникDreieck

м.

triangle m

прямоугольный треугольник — triangle rectangle

равнобедренный треугольник — triangle isocèle

равносторонний треугольник — triangle équilatéral

разносторонний треугольник — triangle scalène

м.

1)triángulo m

прямоуго́льный, равнобе́дренный треуго́льник — triángulo rectángulo, isósceles

равносторо́нний, разносторо́нний треуго́льник — triángulo equilátero, escaleno

2)муз. triángulo m

3)разг.(руководство предприятия) советск. junta directiva, triunvirato m(en una empresa formado por el director, el secretario del Partido y el presidente de los Sindicatos)

•
•

любо́вный треуго́льник — triángulo m

м.

triangolo тж. перен.

прямоугольный / равнобедренный / равносторонний треугольник — triangolo rettangolo / isoscele / equilatero

• ТРЕУГОЛЬНИК (Triangulum), неприметное созвездие в северном полушарии между созвездиями Андромеды и Овна. Самая яркая звезда - Бета, 3-й звездной величины - образует отчетливый треугольник со звездами Альфой (3,4) и Гаммой (4,0). Основная интересная особенность - спиральная галактика МЗЗ, находящаяся на расстоянии 2,7 млн. световых лет от нашей системы.

• ТРЕУГОЛЬНИК, плоская фигура, ограниченная тремя отрезками прямых. Сумма внутренних углов равна 180°. Площадь определяется либо как половина произведения одной из сторон и перпендикуляра, проведенного к ней из противолежащей вершины (¹/₂ основания, умноженного на высоту), либо как половина произведения двух сторон на синус угла между ними.

способ запечатывания письма без конверта. Лист бумаги с текстом складывался чистой стороной наружу, на ней надписывался адрес получателя и отправителя. Широкое распространение получил в СССР в годы Великой Отечественной войны, гл. образом для отправлений полевой почты.

ТРЕУГО́ЛЬНИК -а; м.

1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т. вспаханной земли. Солдатский т. (о солдатском письме без конверта, имеющем такую форму).

2. Измерительный инструмент такой формы для черчения. Использовать при черчении линейку и т.

3. Разг. В СССР: общее название трёх руководящих лиц на предприятии, в учреждении: директора, секретаря партийной организации и председателя местной профсоюзной организации. Характеристику должен был подписать т. Заседание треугольника.

◊ Любовный треуго́льник. О троих людях, связанных любовными отношениями (обычно о супругах и любовнике или любовнице).

* * *

(лат. Triangulum), созвездие Северного полушария неба; с территории России лучше всего видно в конце лета, осенью и зимой.

ТРЕУГО́ЛЬНИК -а; м.

1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т. вспаханной земли. Солдатский т. (о солдатском письме без конверта, имеющем такую форму).

2. Измерительный инструмент такой формы для черчения. Использовать при черчении линейку и т.

3. Разг. В СССР: общее название трёх руководящих лиц на предприятии, в учреждении: директора, секретаря партийной организации и председателя местной профсоюзной организации. Характеристику должен был подписать т. Заседание треугольника.

◊ Любовный треуго́льник. О троих людях, связанных любовными отношениями (обычно о супругах и любовнике или любовнице).

* * *

I

часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (сторонами треугольника), имеющими попарно по одному общему концу (вершины треугольника). Сумма всех углов треугольника равна двум прямым (180?). Площадь треугольника S = ¹/₂ ah, где а — любая из сторон треугольника, принимаемая за основание, а h — соответствующая высота (рис.).

II

самозвучащий музыкальный инструмент — стальной прут, согнутый в виде треугольника, по которому ударяют палочкой. Применяется в оркестрах и инструментальных ансамблях.

(итал. triangolo, франц. triangle, нем. Triangel, англ. triangle) - ударный инструмент высокой тесситуры. Представляет собой стальной прут диаметром ок. 8-10 мм; согнутый в форме равнобедренного треугольника, не замкнутого в одном из углов. Различают малый Т. (длина основания 150 мм), средний (200 мм) и большой (250 мм); малый Т. звучит высоко и "тонко", большой - более низко и "сочно". При игре исполнитель держит Т. на жильной струне в левой руке или подвешивает к пульту; ударяет по разл. частям Т. (для получения звука разл. степени громкости и характера) спец. стальной палочкой без рукоятки (дл. 220 мм). Звук Т. всех размеров без определённой высоты, чистый и прозрачный, с мелодичным отзвуком, к-рый может заглушаться (при обозначении secco) прикосновением свободной руки; при коротких ударах звук глушится пальцами рук. Для получения piano и pianissimo ударяют тонкой палочкой (2,5 мм диаметром) по верхней части одной из боковых сторон, для forte и fortissimo толстой палочкой (диаметром 6 мм) - по его основанию, для tremolo или при быстром чередовании ударов - по обеим боковым сторонам, иногда 2 руками (2 палочками); проводя палочкой по внешней стороне, получают своеобразное glissando. Для получения определённых аффектов применяются Т. и палочки разл. размеров; мягкое, "тусклое" звучание достигается с помощью деревянных палочек (редко). Нотируется на одной линейке ("нитке"). Происхождение Т. неизвестно, однако его изображения и описания в трудах С. Фирдунга, М. Преториуса и др. муз. теоретиков свидетельствуют о том, что Т. был распространён в 16-17 вв.; у Преториуса в "Sintagma musicum" (v. 2, Organografia, 1618) есть описание Т. с нанизанными на его среднюю сторону колечками. Вначале Т. применялся только в воен. музыке; использование его в оркестре в 1-й пол. 18 в. связано с "янычарской музыкой". Со 2-й пол. 18 в. Т. стали появляться в партитурах крупнейших композиторов (в симфонии G-dur Гайдна, 1761). Широко применяется в симф. музыке с кон. 19 в. (симфония "Антар", 1868, сюита для оркестра "Шехеразада", 1888, Римского-Корсакова; симф. поэма "Дон Жуан" Штрауса, 1888; симф. скерцо "Ученик чародея" Дюка, 1897). Т. часто используется сов. композиторами (Концерт для 4 солирующих инструментов с оркестром А. Я. Эшпая, "Кармен-сюита" Бизе - Щедрина, 15-я симфония Шостаковича и др.).

Этим геометрическим термином называется музыкальный инструмент, который входит в группу ударных и довольно часто применяется в симфонической и оперной музыке. По форме инструмент представляет собой равносторонний треугольник. Сделан он из стального прута. Треугольник подвешивают к пульту и легонько ударяют металлической палочкой. Звук получается высокий (неопределенной высоты), звонкий и нежный, а при сильном ударе пронзительный, напоминающий колокольчики. В музыке Грига к драме Ибсена «Пер Гюнт» треугольник введен в танец Анитры. Его звенящая трель подчеркивает изящный, капризный характер танца. А в «Шехеразаде» и «Испанском каприччио» Римского-Корсакова ритмичное позвякивание треугольника придает музыке еще больший блеск, живость, задор.

«ТРЕУГОЛЬНИК», СССР, АРМЕНФИЛЬМ, 1967, ч/б, 85 мин.

Лирическая киноповесть, ретро.

В ролях: Армен Джигарханян (см. ДЖИГАРХАНЯН Армен Борисович), Сос Саркисян (см. САРКИСЯН Сос Арташесович), Фрунзе Мкртчян (см. МКРТЧЯН Фрунзе Мушегович), Павел Арсенов (см. АРСЕНОВ Павел Оганезович), Зураб Лаперадзе (см. ЛАПЕРАДЗЕ Зураб), Инна Алабина, Миша Овсепян.

Режиссер: Генрих Малян (см. МАЛЯН Генрих Суренович).

Автор сценария: Агаси Айвазян (см. АЙВАЗЯН Агаси Семенович).

Оператор: Сергей Исраелян (см. ИСРАЕЛЯН Сергей Хоренович).

Художник-постановщик: Рафаэль Бабаян (см. БАБАЯН Рафаэль Петросович).

Композитор: Эдуард Багдасарян.

Государственная премия Армянской ССР (1975); Вторая премия по разделу современной тематики ВКФ-68 в Ленинграде; Главный приз «Прометей» и диплом I степени КФ Закавказья и Украины в Ереване-68.

в евклидовой плоскости -- три точки (вершины) и три отрезка прямых (стороны) с концами в этих точках. Иногда при определении Т. к нему относят и выпуклую часть плоскости, к-рая ограничена сторонами Т.

Понятие Т. вводится и в многообразиях, отличных от евклидовой плоскости. Т. обычно определяется как три точки и три отрезка геодезических с концами в этих точках. Таковы, напр., сферич. треугольник в сферической геометрии, треугольник в плоскости Лобачевского (см. Неевклидовы геометрии).

Лит.:[1] Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л., Новые встречи с геометрией, пер. с англ., М., 1978; [2] Кокстер X. С. М., Введение в геометрию, пер. с англ., М., 1966; [3] 3етель С. И., Новая геометрия треугольника, 2 изд., М., 1962; [4] Адамар Ж., Элементарная геометрия, ч. 1. Планиметрия, пер. с франц., 4 изд., М., 1957; [5] Ефремов Д., Новая геометрия треугольника, Одесса, 1902.

А. Б. Иванов.

часть плоскости, ограни ч. тремя отрезками прямых (стороны Т.), имеющими попарно по одному общему концу (вершины Т.).

ТРЕУГОЛЬНИК — (1) простейшая плоская геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами Т., а отрезки — его сторонами. Углами Т. (точнее, его внутренними углами) называются три угла, каждый из которых есть совокупность двух лучей (см.), исходящих из вершины Т. и проходящих через две др. вершины. Высотой Т., опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, содержащей противоположную сторону Т. Часто вместо слова «треугольник» используется символ (см.) Δ, напр. АЛВС. В зависимости от вида углов Т. бывает остроугольным (все углы острые), прямоугольным (один из углов прямой) и тупоугольным (один угол тупой). В зависимости от сторон Т. подразделяются на разносторонние (все стороны различны), равносторонние, или правильные (все стороны равны, откуда следует, что и все углы равны), и равнобедренные (две стороны равны). Сумма углов Т. равна 180° согласно геометрии Евклида. Т. может быть вписанным, если все три его вершины лежат на данной окружности, или описанным, когда все три его стороны касаются одной и той же окружности, расположенной внутри Т.; (2) способ электрического соединения (см. (2)) трёхфазной цепи.