Объем

— вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в О. кубических единиц. Вычисление величины О. производится с помощью приемов, излагаемых в геометрии и интегральном исчислении. Приводим здесь формулы, выражающие величины объема некоторых геометрических тел:

A. Выражения О. правильных многогранников, в которых a означает длину ребра, R — радиус описанного шара, r — радиус шара вписанного.

B. Величина О. всякой прямой или наклонной к основанию призмы равняется произведению из площади основания на высоту. О. прямоугольного параллелепипеда, длины сторон которого суть a, b, c, равняется abc. Величины О. прямых или наклонных призм высоты h, основания которых суть правильные многоугольники, стороны которых имеют длину a, выражаются формулами: призма с основанием треугольным

, призма с основанием квадратным а 2h, призма с основанием пятиугольным

, призма с основанием шестиугольным

.

С. Величина О. всякой прямой пирамиды высоты h равняется одной трети произведения из площади основания на высоту. Величины О. правильных пирамид, основания которых суть правильные многоугольники, длины сторон которых равны a, выражаются следующими формулами: треугольная пирамида

, четырехугольная пирамида a2h /2, шестиугольная пирамида

. Величина О. пирамиды, отсеченной параллельно основанию, выражается следующей формулой, в которой G означает величину площади основания, a — длину одной из сторон его, b — длину соответствующей стороны верхнего сечения, h — высоту верхнего сечения над основанием: hG/3(1+b/a+b2/a2).

D. Величина О. прямого или наклонного к основанию цилиндра равняется произведению из величины площади основания на высоту h цилиндра. Величины О. цилиндров, основания которых суть: круг радиуса R... π R2h, эллипс, полуоси которого a и b... π abh. Величина О. стены цилиндрической трубки, прямой или наклонной к основанию, если основание стенки трубки есть плоское кольцо, заключающееся между кругами радиусов R и r, выражается: π (R2 — r 2)h. Величина О. кругового прямого цилиндра, отсеченного наклонно к основанию, если длина наибольшей производящей есть H, а наименьшей — h, выражается формулой π R2[(H+h)/2]. Если секущая плоскость проходит через центр круга, служащего основанием и наибольшая производящая имеет длину h, то О. отрезка цилиндра равен 2/3R2h.

Е. Величина О. всякого конуса высоты h выражается одной третью произведения площади основания на высоту. Величина О. прямого кругового конуса: 1/3 π R2h. Величина О. прямого кругового конуса, срезанного параллельно основанию, если r есть радиус крута сечения, а h высота сечения над основанием, выражается формулой: 1/3 π h(R2+Rr+r2).

F. Величина О. шара радиуса R равна: 4/3 π R3. Величина О. шарового сегмента высоты h при радиусе r выражается так: 1/3 π h2(3r-h). Величина О. шарового пояса высоты h, если радиусы кругов сечений суть r1 и r2, выражается так: 1/6 π h(3r12+3r22+h). О. шарового сектора, состоящего из сегмента высоты h и конуса высоты (R—h), равен: 2/3 π R2h. трехосного эллипсоида, главные полуоси которого суть a, b, c, равен: 4/3 π abc. О. кольца с круговым сечением выражается так: 2π 2Rr2, если r есть радиус круга сечения и R — радиус круга, образуемого центрами сечений. О. части параболоида вращения, отсеченной плоскостью, отстоящей на h от вершины, если r радиус круга сечения, выражается так: 1/2 π r2h. О. бочки, глубины h, если диаметр дна равен d, а средний диаметр D, выражается, при параболическом виде меридионального сечения так: 1/15 π h(2D2+Dd+3/4d2), а при круговом меридиональном сечении приблизительно: 1/12 π h(2D2+d2).

G. О. какого-либо тела вращения вычисляется по правилу Гюльдена таким образом: величина О. равняется 2π r0F, где F есть величина площади меридионального сечения тела, r0 — расстояние центра инерции этой площади от оси вращения.

Д. Б.

Определение объемов путем опыта. —

Измерение линейных размеров позволяет точно вычислить О. тела только в том случае, когда его форма геометрически определена и поверхность очень правильно выполнена. Тщательные измерения этого рода производились только для определения веса единицы объема воды при определении системы мер. Для жидкостей и газов измерение объема удобно производить с помощью разного рода мерных сосудов (см. Лаборатория и Объемный анализ), но для твердых тел приходится прибегать к особого рода приемам. Когда тело однородное и плотность, т. е. масса единицы его О., известна, для определения всего его О. достаточно взвешивания, так как вес P всегда равен весу единицы О. вещества D, помноженному на число единиц V, выражающее О. тела, откуда: V = P/D, а 1/D = О. единицы веса тела плотности D. Для получения точных результатов, в этом случае разновес должен быть "нормальным", т. е. представлять действительно граммы, золотники и т. п., а не произвольные единицы массы, близкие к ним; необходимо также исключать двойным взвешиванием (см.) влияние неравенства плеч весов и делать поправку на вес вытесненного воздуха. Если назовем p вес кубического сантиметра воздуха при условиях взвешивания, q вес гирек в граммах, а d их удельный вес, то искомый О. V можно выразить: V=q[1/D+p(1/D—1/d)], где D удельный вес тела при температуре взвешивания. Ту же формулу легко применить и к определению емкости V' сосуда по весу жидкости плотности D, его наполняющей: надо только определить гири q0, уравновешивающие пустой сосуд:

V'

= (q — q0)[1/D + p(1/D — 1/d)].

Надо заметить, что числа, выражающие плотности разных веществ, изменяются в своих сотых и даже десятых долях от строения вещества и примесей. Это обстоятельство заставляет прибегать к гидростатическому взвешиванию (см.), когда требуется возможно большая точность в определении О. Можно применять и собственно способ Архимеда: взвешивать или непосредственно измерять количество воды, вытекшее из наполненного до краев сосуда, когда в него погрузят измеряемое тело. Чтобы удобнее собирать вытекающую воду, сосуд снабжают боковой трубкой или сифоном с короткой наружной ветвью. Налив избыток воды, дают ему свободно стечь, и потом уже погружают тело; чтобы вода не вылилась из самого сифона, его отверстие должно быть достаточно сужено или закрыто сеткой (Мейер). Этот способ может дать довольно большую процентную точность, если тело не слишком мало. Для тел растворимых или вообще изменяющихся от прикосновения жидкостей можно определять О. основываясь на законе Мариотта, пользуясь "объемомерами" или "волюменометрами". Первоначально такой прибор был изобретен в 1797 г. инженерным капитаном Ce (Say) под именем "стереометра", затем ему придали более удобные формы: Реньо, Копп и др. В наиболее простом виде объемомер Реньо может быть устроен следующим образом. Стеклянный сосуд V своими пришлифованными и смазанными салом краями может быть плотно прижат винтом к пластинке A, снабженной краном B и внутренним каналом, соединяющим V с манометром CDEF, у которого трубка EF может подниматься и опускаться за прозрачной шкалой, нанесенной на стекле.

Фиг. 1.

На CD сделано раздутие g, и О. его v между двумя кольцевыми чертами тщательно измерен посредством взвешивания ртути его наполнявшей. Сначала, при открытом кране B, устанавливают уровень ртути в CD на верхней черте, поднимая трубку FE; тогда запирают B и опускают FE пока уровень ртути придет к нижней черте и воздух, замкнутый в сосуде V займет О. V + v, а в открытом колене ртуть будет стоять на h см. ниже, чем в закрытом. Называя H высоту барометра, получим, на основании закона Мариотта, уравнение:

V

:V + v = H — h:H, откуда V = v[(H — h)/h].

Узнав таким образом О. всего сосуда V, вводят в него измеряемое тело х и повторяют опыт: искомый О. будет разность V и полученного из второго опыта О., оставшегося в сосуде воздуха. Можно поступать и в обратном порядке: замкнуть V+v и сжать до V. Объемомер — прибор не достоверный, так как редко условия опыта не осложняются посторонними влияниями: изменением температуры, изменением количества воздуха в сосуде, вследствие различного сгущения его на поверхности, когда тело пористое, и особенно присутствием переменного количества водяного пара, когда тело гигроскопично. В таких случаях О. того же тела получается иной, если повторять опыт, изменяя степень разрежения и другие условия. Несмотря на эти недостатки, объемомер, основанный на законе Мариотта, незаменим во многих случаях, когда приходится определять вес единицы О. тел, изменяющихся от прикосновения жидкостей, например тканей, почвы, муки, дерева, некоторых растворимых солей и т.п.

В. Л.

Для измерения О. древесины, в обрубках, по О. вытесненной последней воды, служит ксилометр в простейшем виде — это деревянный или металлический сосуд, с прикрепленной к его стенке изнутри шкалой, разделенной на равнообъемные части, по которой и отсчитывается О. погружаемой в наполненный водой до определенного уровня сосуд древесины. Видоизменение ксилометра этого типа представляет собой сосуд с узкой сообщающейся трубкой сбоку, снабженной делениями. Другой тип ксилометров — сосуд с боковым отверстием на некоторой определенной высоте, до которой и наливается вода в начале опыта; опуская в сосуд измеряемую древесину и определяя О. вытекшей при погружении последней через отверстие воды, получают искомую величину. В Лисинском лесничестве для измерения О. дров употребляется ящик из толстых половых досок с поверхностью в 1 кв. сажень и высотой в 0,5 сажени. При измерении вода в него наливается доверху, затем кладется 1/2 сажени дров и затем, когда последние вынуты, отсчитывается высота, до которой упала вода в ящике после вынимания поленьев.

одна из основных величин, связанных с геометрическими телами. В простейших случаях измеряется числом умещающихся в теле единичных кубов, т. е. кубов с ребром, равным единице длины.

Задача вычисления О. простейших тел, идущая от практических потребностей, была одним из стимулов развития геометрии. Математика Древнего Востока (Вавилония, Египет) располагала рядом правил (большей частью эмпирических) для вычисления О. тел, с которыми чаще всего приходилось встречаться на практике (например, призматических брусьев, пирамид полных и усечённых, цилиндров). Среди формул О. были и неточные, дававшие не слишком заметную процентную ошибку лишь в пределах употребительных линейных размеров тела. Греческая математика последних столетий до нашей эры освободила теорию вычисления О. от приближённых эмпирических правил. В «Началах» Евклида и в сочинениях Архимеда имеются только точные правила для вычисления О. многогранников и некоторых круглых тел (цилиндра, конуса, шара и их частей). При этом уже в учении об О. многогранников греческой математики должны были преодолеть значительные трудности, существенно отличающие этот отдел геометрии от родственного ему отдела о площадях многоугольников. Источник различия, как выяснилось лишь в начале 20 в., состоит в следующем: в то время как всякий многоугольник можно посредством надлежащих прямолинейных разрезов и перекладывания полученных частей «перекроить» в квадрат, аналогичное преобразование (посредством плоских разрезов) произвольного многогранника в куб оказывается, вообще говоря, невозможным (теорема Дена, 1901). Отсюда становится ясным, почему Евклид уже в случае треугольной пирамиды был вынужден прибегнуть к бесконечному процессу последовательных приближений, пользуясь при доказательстве Исчерпывания методом. Бесконечный процесс лежит и в основе современной трактовки измерения О., сводящийся к следующему. Рассматриваются всевозможные многогранники, вписанные в тело К, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела К. Вычисление О. многогранника сводится к вычислению объёмов составляющих его тетраэдров (треугольных пирамид). Пусть {V_i} — числовое множество объёмов, вписанных в тело многогранников, a {V_d} — числовое множество описанных вокруг тела К многогранников. Множество {V_i} ограничено сверху (объёмом любого описанного многогранника), а множество {V_d} ограничено снизу (например, числом нуль). Наименьшее из чисел, ограничивающее сверху множество {V_i}, называется нижним объёмом Vтела К; а наибольшее из чисел, ограничивающее снизу множество {V_d}, называется верхним объёмом V̅ тела К. Если верхний объём V̅тела К совпадает с его нижним объёмомV, то число V = V̅ = V называется объёмом тела К, а само тело — кубируемым телом. Для того чтобы тело было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε можно было указать такой описанный вокруг тела многогранник и такой вписанный в тело многогранник, разность V_d — V_i объёмов которых была бы меньше ε.

Аналитически О. может быть выражен с помощью кратных интегралов. Пусть тело К (рис. 1) ограничено цилиндрической поверхностью с параллельными оси Oz образующими, квадрируемой областью (См. Квадрируемая область) М плоскости Оху и поверхностью z = f (x, у), которую любая параллель к образующей цилиндра пересекает в одной и только в одной точке. Объём такого тела может быть вычислен с помощью двойного интеграла

О. тела, ограниченного замкнутой поверхностью, которая встречается с параллелью к оси Oz не более чем в двух точках, может быть вычислен как разность О. двух тел, подобных предшествующему. О. тела может быть выражен в виде тройного интеграла

где интегрирование распространяется на часть пространства, занятую телом. Иногда удобно вычислять О. тел через его поперечные сечения. Пусть тело (рис.2), содержащееся между плоскостями z = а и z = b (b > а), рассекается плоскостями, перпендикулярными оси Oz. Если все сечения тела квадрируемы и площадь сечения S — непрерывная функция от z, то О. тела может быть выражен простым интегралом

Исторически происходило так, что задолго до создания интегрального исчисления операция интегрирования фактически применялась (в различных геометрических формах) к вычислению О. простейших тел (пирамиды, шара, некоторых тел вращения), чем и была подготовлена почва для оформления этого исчисления в 17—18 вв. В частности, формулу (1) содержал в зародыше т. н. Кавальери принцип, сохраняющий своё значение для школьного преподавания. В элементарном преподавании полезной оказывается также Симпсона формула, соответствующая тому случаю, когда в (1) функция S (z) является многочленом не выше 3-й степени.

Об обобщениях понятия «О.» см. в ст. Мера множества.

Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1—2, М., 1970; Лебег А., Об измерении величин, пер. с франц., 2 изд., М., 1960.

Рис. 1 к ст. Объём.

Рис. 2 к ст. Объём.

1. объём;
2. объёмы;
3. объёма;
4. объёмов;
5. объёму;
6. объёмам;
7. объём;
8. объёмы;
9. объёмом;
10. объёмами;
11. объёме;
12. объёмах.

ОБЪЁМ, -а, муж.

1. Величина чего-н. в длину, высоту и ширину, измеряемая в кубических единицах. О. пирамиды. О. здания.

2. Вообще величина, количество. Большой о. работ. О. информации. О. знаний.

| прил. объёмный, -ая, -ое (к 1 знач.). Объёмное изображение.

| сущ. объёмность, -и, жен.>

-а, м.

1.

Величина чего-л. в длину, высоту и ширину, измеряемая в кубических единицах.

Объем геометрического тела. Объем куба. Объем здания.

2.

Содержание чего-л. с точки зрения величины, размеров, количества и т. п.

Объем работ. Объем розничной торговли. Объем знаний. Объем информации.

□

Литературное наследство Гаршина очень невелико по объему. Короленко, В. М. Гаршин.

ОБЪЕМ, объемся, объешь, объешься. буд. вр. от объесть, объесться.

м.

1.

Величина в длину, ширину и высоту какого-либо тела с замкнутыми поверхностями, измеряемая в кубических единицах.

2.

Величина, размеры чего-либо.

3.

Содержание чего-либо с точки зрения величины, размеров или количества содержащегося.

ОБЪЕМ - одна из количественных характеристик геометрических тел. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его сторон (длины, ширины и высоты), а объем ступенчатого тела (тела, которое можно разбить на несколько примыкающих друг к другу прямоугольных параллелепипедов) равен сумме объемов составляющих его параллелепипедов. Для любого тела объем определяется как общий предел вписанных в него или описанных около него ступенчатых тел.

ОБЪЁМ, мера части пространства, занимаемого телом. Единицей измерения служит объём единичного куба.

род. п. -а. От об- и *jęti "брать", как нем. Umfang "размер, объем" от umfangen "охватывать", которое рассматривается как калька лат. circumferentia от греч. περιφέρεια; см. Дорнзейф 23.

муж. volume;
capacity, bulk (емкость);
size (величина);
extent, range, scope перен. увеличивать в объеме ≈ expand удельный объемvolume

extent, scope, size, volumeм. volume;
(ёмкость) cubic capacity;
перен. amount, scope;
~ комнаты air-space of a room;
~ работ amount/scope of the work;
~ воздушных перевозок airlift tonnage;
~ взаимных поставок volume of reciprocal deliveries;
~ кредита volume of credit;
~ перевозок traffic volume;
~ расчётов amount of payment;
~ сделки size of deal;
~ финансирования amount of financing;
~ экспорта, импорта volume of export, import;
поставка в полном ~е delivery in full volume;
~истый voluminous, capacious;
(большой) bulky;
~ный
1. volumetric;
~ное измерение volumetric measurement;

2. (связанный с передачей трёхмерности предмета) three-dimensional, 3-D, stereo;
~ное изображение three-dimentional projection;
~ая мультипликация marionette film;

3. текст. high-bulk;
~ная пряжа high-bulk yarn.

bulk, cubic capacity строит., capacity,(издания) content, space, volume

m.volume, content, size, extent, extension; объём выборки, sample size; объём запоминающего устройства, storage space

объём м Umfang m 1 (тж. перен.); мат. Rauminhalt m 1; физ. Volumen ( v o - ] n 1d, pl тж. -mina общий объём Gesamtvolumen n во всём объёме in vollem Umfang

м

Umfang m (тж. перен.); мат. Rauminhalt m; физ. Volumen n (pl тж. -mina)

общий объем — Gesamtvolumen n

во всем объеме — in vollem Umfang

объемUmfang {m}

м.

volume m; extension f(понятия); étendue f(знаний)

объем здания — encombrement m d'un édifice

объем информации — quantité f d'information

м.

volumen m; extensión f(понятия)

объем произво́дства — volumen de producción

объем зна́ний — conjunto (grado) de conocimientos

объем па́мяти — capacidad de memoria

объем информа́ции — cantidad de información

большо́й объем рабо́т — una cantidad (una enormidad) de trabajo

м.

volume, mole f, entita f, massa f

объем знаний — volume delle conoscenze

ОБЪЕМ, мера количества пространства, занимаемого телом. Объем измеряется в кубических единицах, например, м³ (кубический метр).

范围, 容积

- количественный экономический показатель, отражающий величину расходуемых ресурсов, затрат факторов производства, произведенного или потребляемого продукта, спроса и предложения товаров и услуг. О. измеряется в натуральных (физических) или в денежных единицах.

ОБЪЁМ -а; м.

1. Величина чего-л. в длину, высоту и ширину, измеряемая в кубических единицах. О. геометрического тела. О. куба, цилиндра. О. здания. О. полтора кубометра. В объёме (в трёх измерениях; объёмно).

2. Содержание чего-л. с точки зрения величины, размеров, количества и т.п. О. работ. О. розничной торговли. О. знаний. О. информации. Наследие писателя велико по объёму. Брошюра объёмом в три печатных листа. Во всём, в полном объёме (полностью, целиком, ничего не исключая).

◁ Объёмный (см.).

* * *

одна из количественных характеристик геометрических тел. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его сторон (длины, ширины и высоты), а объём ступенчатого тела (тела, которое можно разбить на несколько примыкающих друг к другу прямоугольных параллелепипедов) равен сумме объёмов составляющих его параллелепипедов. Для любого тела объём определяется как общий предел объёмов вписанных в него или описанных около него ступенчатых тел.

* * *

ОБЪЕМ, одна из количественных характеристик геометрических тел. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его сторон (длины, ширины и высоты), а объем ступенчатого тела (тела, которое можно разбить на несколько примыкающих друг к другу прямоугольных параллелепипедов) равен сумме объемов составляющих его параллелепипедов. Для любого тела объем определяется как общий предел вписанных в него или описанных около него ступенчатых тел.

трехмерного тела - числовая характеристика тела, равная в простейшем случае, когда тело можно разбить на конечное множество единичных кубов (т. е. кубов с ребрами длины единица), числу этих кубов. О. трехмерных тел (т. е. множеств трехмерного евклидоБа пространства), для к-рых они определены, обладают свойствами, аналогичными свойствам площадей плоских фигур: 1) О. неотрицательны; 2) О. аддитивны: если для двух тел Ри Q, не имеющих общих внутренних точек, определены О. и ,то О. их объединения равен сумме их О.3) О. инвариантны относительно перемещений: если для тел Ри Qопределены О. и они конгруентны, то 4) О. единичного куба равен единице. Из этих свойств следуют монотонность О.: если для тел Ри Qопределены О.то выполняется неравенство и равенство отношения О. подобных тел кубу коэффициента подобия.

На множестве всех многогранников существует и притом единственная неотрицательная функция, удовлетворяющая свойствам 1) - 4). Однако если на плоскости два любых равновеликих (имеющих одинаковую площадь) многоугольника равносоставлены, т. е. каждый из них допускает разбиение на многоугольники, из к-рых можно составить другой, то в пространстве аналогичное свойство уже не имеет места: существуют равновеликие (имеющие равные О.), но не равносоставленные многогранники (см. Равновеликие и равносоставленные фигуры).

Понятие О. распространяется с сохранением свойств 1) - 4) при помощи предельного перехода с множества многогранников на более широкие классы тел, напр, на тела с кусочно гладкой границей, в частности на шары, шаровые слои, шаровые сегменты и секторы, цилиндры, конусы и т. п. Если граница ограниченного тела G является кусочно гладкой поверхностью, то его О. определяется следующим образом. Рассматриваются всевозможные многогранники Р, лежащие в теле G, и всевозможные многогранники Q, содержащие в себе тело Тогда справедливо равенство

Это общее значение указанных нижней и верхней граней и наз. объемом тела G. Аналогично случаю вычисления площадей плоских фигур для вычисления О. тел также применяется метод разбиения тела на части, для к-рых О. либо уже известен, либо может быть найден более простым путем. При этом для О. справедлив принцип Кавальери: если два тела, для к-рых определен О., пересекаются каждой плоскостью, параллельной нек-рой заданной, по конгруэнтным плоским фигурам, то они равновелики.

О6щий метод вычисления О. дает интегральное исчисление: вычисление О. сводится к вычислению соответствующих кратных интегралов. Интегральное исчисление дает возможность обосновать и принцип Кавальери.

Расширение понятия О. на еще более широкий класс подмножеств трехмерного евклидова пространства приводит к понятию трехмерной Жордана меры и понятию кубируемого множества. Все упоминавшиеся выше тела являются кубируемыми множествами и потому для них определена мера Жордана.

Если - трехмерное непрерывно дифференцируемое многообразие с рнмановой метрикой

и то объемом множества E, лежащего в многообразии , наз. величина интеграла

Так определенный О. множества инвариантен относительно выбора локальных координат на рассматриваемом многообразии.

Определение О. трехмерного тела обобщается на случай подмножества произвольного n-мерного евклидова пространства ; n-мерным объемом также наз. функция множества, удовлетворяющая условиям 1) - 4), если только под кубом понимать n-мерный куб. Вычисление О. множеств n-мерного пространства сводится к вычислению n-кратных интегралов.

Если Еесть n-мерный параллелепипед, натянутый на радиус-векторы то

(под корнем стоит абсолютная величина определителя Грама векторов ).

О. подмножества Е п- мерного риманова многообразия с метрикой

наз. величина интеграла

где

Обобщением понятия О. является понятие меры. Иногда термины "О". и "мера" употребляются как синонимы.

Понятие О. рассматривается не только в евклидовых, но и в аффинных пространствах. Пусть Е- подмножество n-мерного аффинного пространства и пусть в задана аффинная система координат Пусть

Если - другая система координат и то т. е. интеграл является знакопостоянным относительным инвариантом веса - 1. Относительный инвариант наз. аффинным О. множества Е. Аффинный О. но меняется при параллельном переносе. и если определены, то . Аффинный О. обладает следующими свойствами, инвариантными относительно аффинного преобразования координат: 1) если О. двух тел равны в одной системе координат, то они равны и в другой; 2) если О. нек-рого множества равен сумме О. двух множеств в одной координатной системе, то это равенство верно и в другой; 3) отношение О. двух множеств является инвариантом аффинного преобразования координат.

Пусть - координатные векторы системы координат в пространстве и пусть их начала находятся в нек-рой фиксированной точке Если - нек-рая система векторов с началом в точке Ои Еесть n-мерный параллелепипед, натянутый на векторы то

Величина наз. ориентированным объемом параллелепипеда Еотносительно выбранного базиса

Лит.:[1] Никольcкий С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1-2, М., 1975; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Рашевский II. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1907; [4] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971

Л. Д. Кудрявцев.

ОБЪЁМ — мера количества трёхмерного пространства, занимаемого телом (объектом). О. куба, ребро которого равно единице длины (см.), равен единице. Единицы объёма в СИ — кубический метр (м³).