Умножение

есть арифметическое действие, посредством которого по данным двум числам, множимому и множителю, находят произведение. Если число а есть множимое, а b множитель, то произведение обозначается таким образом: a·b или просто ab. Произведение определяется различно, смотря по множителю.

Если b = 1, то a·1 = a.

Если b равно целому положительному числу, большему единицы, то ab есть сумма b слагаемых, из которых каждое равно а.

Если b = m/n, где m и n целые положительные числа, то ab = am/n.

Если b иррациональное число, определяемое рядом

b = b₀+ b₁/10 + b₂/10 +...

то ab = ab₀+ ab₁/10 + ab₂/10 +...

Если b отрицательное: b = — b₁, то

ab = — ab₁.

Если a = α + βi и b = γ + δi, то

ab = αγ — βδ + i(αδ + βγ).

Здесь i мнимая величина (см.), квадрат которой равен (— 1).

Свойства произведения выражаются следующими формулами:

ab = ba, (ab)с = а(bc), (а + b)с = ас + bc.

Произведение нескольких чисел, напр. a₁, a₂, a₃и а₄, определяется следующим образом. Если

a₁·a₂= b₁, b₁·a₃= b₂, b₂·a₄= b₃то b₃наз. произведением чисел a₁, a₂, a₃и а₄. Этот результат обозначают так:

а₁а₂а₃a₄= b₃.

От перестановки сомножителей произведение не меняется.

Д. С.

операция образования по двум данным объектам а и b, называемым сомножителями, третьего объекта с, называемого произведением. У. обозначается знаком Х (ввёл англ. математик У. Оутред в 1631) или • (ввёл нем. учёный Г. Лейбниц в 1698); в буквенном обозначении эти знаки опускаются и вместо а× b или а•b пишут ab. У. имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения. У. целых положительных чисел есть, по определению, действие, относящее числам а и b третье число с, равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а, так что ab = а + а +... + а(b слагаемых). Число а называется множимым, b –множителем. У. дробных чисел (см. Дробь). У. рациональных чисел даёт число, Абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей, имеющее знак плюс (+), если оба сомножителя одинакового знака, и знак минус (–), если они разного знака. У. иррациональных чисел (См. Иррациональное число) определяется при помощи У. их рациональных приближений. У. комплексных чисел (См. Комплексные числа), заданных в форме α = а + bi и β = с + di, определяется равенством αβ = ac – bd + (ad + bc) i.При У. комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:

α = r₁ (cosφ₁ + isin φ₁),

β = r₂ (cosφ₂ + isin φ₂),

их модули перемножаются, а аргументы складываются:

αβ = r₁r₂{cos (φ₁ + φ₂) + i sin ((φ₁ + φ₂)}.

У. чисел однозначно и обладает следующими свойствами:

1) ab = ba (коммутативность, переместительный закон);

2) a(bc)=(ab) c (ассоциативность, сочетательный закон);

3) a(b + c)= ab + ac(дистрибутивность, распределительный закон). При этом всегда а ․0 =0; a․1= а.Указанные свойства лежат в основе обычной техники У. многозначных чисел.

Дальнейшее обобщение понятия У. связано с возможностью рассматривать числа как операторы в совокупности векторов на плоскости. Например, комплексному числу r(cosφ + i sin φ) соответствует оператор растяжения всех векторов в r раз и поворота их на угол φ вокруг начала координат. При этом У. комплексных чисел отвечает У. соответствующих операторов, т. е. результатом У. будет оператор, получающийся последовательным применением двух данных операторов. Такое определение У. операторов переносится и на другие виды операторов, которые уже нельзя выразить при помощи чисел (например, линейные преобразования). Это приводит к операциям У. матриц, кватернионов, рассматриваемых как операторы поворота и растяжения в трёхмерном пространстве, ядер интегральных операторов и т.д. При таких обобщениях могут оказаться невыполненными некоторые из перечисленных выше свойств У., чаще всего – свойство коммутативности (некоммутативная алгебра). Изучение общих свойств операции У. входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец.

1. умноже́ние;
2. умноже́ния;
3. умноже́ния;
4. умноже́ний;
5. умноже́нию;
6. умноже́ниям;
7. умноже́ние;
8. умноже́ния;
9. умноже́нием;
10. умноже́ниями;
11. умноже́нии;
12. умноже́ниях.

УМНОЖЕ́НИЕ, -я, ср.

1. см. множить, -ся.

2. Математическое действие, посредством к-рого из двух чисел (или величин) получается новое число (или величина), к-рое (для целых чисел) содержит слагаемым первое число столько раз, сколько единиц во втором. Таблица умножения. Задача на у.

-я, ср.

1.

Действие по глаг. умножить—умножать (во 2 знач.); действие и состояние по знач. глаг. умножиться—умножаться.

По мере умножения семейства, присмотр делался сложнее. Помяловский, Данилушка.

— Нам необходимо умножение человеческих наслаждений и облегчение человеческих страданий. Вс. Иванов, Голубые пески.

2.

Обратное делению математическое действие, посредством которого из двух чисел (или величин) получается новое число (или величина), которое (для целых чисел) содержит слагаемым первое число столько раз, сколько единиц во втором.

Таблица умножения.

УМНОЖЕ́НИЕ, умножения, мн. нет, ср.

1. Действие по гл. умножить - умножать и состояние по гл. умножиться - умножаться. Умножение трех на два. Умножение доходов.

2. Арифметическое действие, повторение данного числа в качестве слагаемого столько раз, сколько единиц находится в другом данном числе (мат.). Таблица умножения. Умножение целых чисел.

I

1.

процесс действия по гл. умножать I, умножаться I 1.

2.

Результат такого действия; увеличение числа, количества силы, степени проявления чего-либо.

II

Обратное делению арифметическое действие, заключающееся в повторении множимого числа столько раз, сколько единиц во множителе.

УМНОЖЕНИЕ - арифметическое действие. Обозначается точкой "." или знаком "?" (в буквенном исчислении знаки умножения опускаются). Умножение целых положительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab (произведение), равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а; а и b называются также сомножителями. Умножение дробных чисел а/b и с/d определяется равенством Умножение двух рациональных чисел дает число, абс. величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей и которое имеет знак плюс (+), если у обоих сомножителей одинаковые знаки, или минус (-), если у них различные знаки. Умножение иррациональных чисел определяется при помощи их рациональных приближений. Умножение комплексных чисел, данных в форме ? = а+bi и ? = с+di, определяется равенством ?? = ас - bd + (a + bc)i.

ср.
1) (увеличение) increase, augmentation
2) мат. multiplication таблица умноженияумножение: multiplication

multiplication

n.multiplication; умножение в кольце, ring multiplication

с

1)Vermehrung f, Vergrößerung f; Anwachsen n(рост)

2)мат. Multiplikation f

знак умножения — Multiplikationszeichen n

умножение с 1. Vermehrung f, Vergrößerung f; Anwachsen n 1 (рост) 2. мат. Multiplikation f c знак умножения Multiplikationszeichen n 1d

с.

1)augmentation f

умножение усилий — augmentation des efforts

2)мат. multiplication f

таблица умножения — table f de multiplication

с.

multiplicación f (тж. мат.); aumento m, incremento m, acrecentamiento m(увеличение, рост)

табли́ца умноже́ния — tabla de multiplicar

с.

1)мат. moltiplicazione f

таблица умножения — tavola pitagorica

2)(увеличение) aumento m, accrescimento m

умножение доходов населения — crescita del reddito della popolazione

УМНОЖЕНИЕ, арифметическая операция, обозначаемая символом (по сути представляет собой многократное СЛОЖЕНИЕ). Например, a3в можно записать иначе как а+а+...+а, где в показывает, сколько раз повторяется операция сложения. В выражении а3в («а» умножить на «в») а является множимым, в - множителем, а результат - произведением. см. также АРИФМЕТИКА.

УМНОЖЕ́НИЕ -я; ср.

1. к Умно́жить - умножа́ть (2 зн.) и Умно́житься - умножа́ться. У. населения. У. доходов семьи. У. выпуска продукции.

2. Математическое действие, посредством которого из двух чисел (или величин) получается новое число (или величина), которое (для целых чисел) содержит слагаемым первое число столько раз, сколько единиц во втором. Таблица умножения. Допустить ошибку в умножении чисел. Получить искомую величину умножением.

* * *

арифметическое действие. Обозначается точкой · или знаком x (в буквенном исчислении знаки умножения опускаются). Умножение целых положительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab (произведение), равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а; а и b называются также сомножителями. Умножение дробных чисел  и . Умножение двух рациональных чисел даёт число, абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей и которое имеет знак плюс (+), если у обоих сомножителей одинаковые знаки, или минус (-), если у них различные знаки. Умножение иррациональных чисел определяется при помощи их рациональных приближений. Умножение комплексных чисел, данных в форме α = а + bi и β = с + di, определяется равенством αβ = ас –bd + (ad + bc)i.

* * *

УМНОЖЕ́НИЕ, арифметическое действие. Обозначается точкой «^.» или знаком «ґ» (в буквенном исчислении знаки умножения опускаются). Умножение целых положительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab (произведение), равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а; а и b называются также сомножителями. Умножение дробных чисел а/b и с/d определяется равенством

Умножение двух рациональных чисел дает число, абс. величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей и которое имеет знак плюс (+), если у обоих сомножителей одинаковые знаки, или минус (-), если у них различные знаки. Умножение иррациональных чисел определяется при помощи их рациональных приближений. Умножение комплексных чисел, данных в форме a = а+bi и b = с+di, определяется равенством ab = ас — bd + (a + bc)i.

чисел - одна из основных арифметич. операций. У. заключается в сопоставлении двум числам а и . (называемым сомножителями) третьего числа с (называемого произведением). У. обозначается знаком или Х; в буквенном обозначении эти знаки, как правило, опускаются.

У. целых положительных чисел определяется следующим образом через сложение: произведением чисел аи bсчитается число с, равное сумме bслагаемых, каждое из к-рых равно а, так что

Число апри этом наз. множимым, b - множителем. У. положительных рациональных чисел и определяется равенством

(см. Дробь). Произведение двух отрицательных сомножителей положительно, а положительного и отрицательного - отрицательно, причем модуль произведения в том и другом случае равен произведению модулей сомножителей. Произведение иррациональных чисел определяется как предел произведений их рациональных приближений. У. комплексных чисел и задается формулой

или, в тригонометрич. форме,

У. чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно слева и справа относительно сложения (см. Коммутативность, Ассоциативность, Дистрибутивность). При этом

В общей алгебре У. может называться любая алгебраическая операция(n-арная, чаще всего - бинарная операция (группоид). В нек-рых случаях эти операции являются обобщением обычного У. чисел. Напр., У. кватернионов, У. матриц, У. преобразований. Однако свойства У. чисел (напр., коммутативность) в этих случаях могут утрачиваться.

О. А. Иванова.

УМНОЖЕНИЕ — основное арифметическое действие, с помощью которого по двум заданным числам — множимому (см.) и множителю (см.) — находят третье число (произведение), которое обозначают а∙b или. axb. Между буквами знак умножения обычно не ставят: вместо а∙b пишут ab. Если множимое и множитель меняются ролями, произведение остаётся тем же, поэтому и множитель и множимое называются сомножителями. Умножить множимое на множитель — значит повторить множимое слагаемым столько раз, сколько указывает множитель.