Софокусные кривые

(Confocales). — В статье Кривые (см.) упоминалось о конфокальной или софокусной сети эллипсов и гипербол и на листе I, где приведены виды различных кривых, на черт. 12, изображена такая сеть, состоящая из системы эллипсов, имеющих общие фокусы, и из системы гипербол, имеющих те же два общих с эллипсами фокуса. Эти две системы кривых взаимно ортогональны (см.) в точках их пересечения и представляют пример ортогональной системы координат (см.) на плоскости.

Д. Б.

конфокальные кривые [от лат. con (cum) — с, вместе и Фокус], Линии второго порядка, имеющие общие фокусы. Если F и F'— две данные точки плоскости, то через каждую точку плоскости проходит один эллипс и одна гипербола, имеющие F и F' своими фокусами (рис. 1).

Каждый эллипс ортогонален любой софокусной с ним гиперболе, т. е. пересекается с ней (в четырёх точках) под прямым углом (углом между двумя кривыми в точке пересечения называется угол между их касательными). Всё множество софокусных эллипсов и гипербол в надлежащей системе координат определяется уравнением

(*)

где с — расстояние фокусов от начала координат, а λ — переменный параметр. При λ > с² это уравнение определяет эллипс, при 0<><>с² — гиперболу (при λ Эллиптические координаты).Именно, если М(х, у)—произвольная точка плоскости, то, подставляя ее координаты хи у в уравнение (*), получим квадратное уравнение для λ; корни его λ₁, λ₂ называются эллиптическими координатами точки М. Сами софокусные эллипсы и гиперболы составляют координатную сеть эллиптической координатной системы, т. с. определяются уравнениями λ = const. λ₂ = const.

Рис. 1 к ст. Софокусные кривые.

Рис. 2 к ст. Софокусные кривые.

СОФОКУСНЫЕ КРИВЫЕ - кривые 2-го порядка, имеющие общие фокусы.

мат. confocal curves

confocal curves

софо́кусные кривы́е

кривые 2-го порядка, имеющие общие фокусы.

* * *

СОФО́КУСНЫЕ КРИВЫ́Е, кривые 2-го порядка, имеющие общие фокусы.

конфокальные кривые,- линии 2-го порядка, имеющие общие фокусы. Если Fи F' - две данные точки плоскости, то через каждую точку плоскости проходит один эллипс и одна гипербола, имеющие Fи F' своими фокусами (рис. 1).

Каждый эллипс ортогонален любой софокусной с ним гиперболе, т. е. пересекается с ней (в четырех точках) под прямым углом. Все множество софокусных эллипсов и гипербол в надлежащей системе координат определяется уравнением

где с - расстояние фокусов от начала координат, а - переменный параметр. При это уравнение определяет эллипс, при - гиперболу (при -мнимую линию 2-го порядка). Если один из фокусов стремится к бесконечности, то в пределе получаются два семейства софокусных парабол (рис. 2); любые две параболы, относящиеся к разным семействам, также ортогональны друг другу. При помощи софокусных эллипсов и гипербол на плоскости вводится система так наз. эллиптических координат.

Именно, если М( х, у) - произвольная точка плоскости, то, подставляя ее координаты х и ув уравнение (*), получают квадратное уравнение для корни его и наз. эллиптич. координатами точки М. Сами софокусные эллипсы и гиперболы составляют координатную сеть эллиптической координатной системы, т. е. определяются уравнениями

БСЭ-З.

confocal curves

кривые 2-го порядка, имеющие общие фокусы.