Шаровые функции

представим себе точку M на поверхности шара, центр которого есть точка C. Предположим, что дана точка O вне шара (I) или внутри его (II).

Введем обозначения: МС=R, СО=ρ, МО=r, угол МСО=ω.

Из треугольника MCO следует, что

Это выражение можно представить:

(в случае I) или

(в случае II).

Полагая cosω = x, R/ρ или ρ/R равным α, получим, что r выражается в обоих случаях через

, где α<>

Во многих вопросах математической физики приходится 1/r разлагать в ряд. Этот вопрос приводится к разложению функции по степеням α. Выполнив это разложение, получим:

где P₀= 1, P₁= x, P₂=³/₂x²-¹/₂, P₃=⁵/₂x³-³/₂x,... P_n=

Полученные здесь целые функции от x называются Лежандровыми функциями или, по Гауссу, шаровыми функциями.

При помощи строки Лагранжа доказывается, что Р_n(x) есть n-ая производная целой функции:

(x²-1)ⁿ/1∙2∙3∙...n∙2ⁿ.

Уравнение Р_n(x) = 0 имеет все корни вещественные, лежащие между -1 и +1.

Функция Р_n(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению:

(1-x²)y"-2xy' + n(n + 1)y = 0.

Между тремя последовательными функциями P_n, P_n-1и P_n-2имеет место соотношение:

nP_n- (2n-1)xP_n-1+ (n-1)P_n-2= 0.

Из сочинений, посвященных рассматриваемому вопросу, отметим следующие: Р. G. Lejeune-Dirichlet, "Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkende Kräfte" (изд. доктора F. Grube'a, Лейпциг, 1876); Dr. E. Heine, "Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendungen" (2 т., Б., 1878, 1881).

Д. С.

однородные функции u_n степени п от прямоугольных координат х,у,z, удовлетворяющие уравнению Лапласа:

Существуют 2n+ 1 линейно-независимых однородных многочленов от х,у,z целой положительной степени n, являющихся Ш. ф.: их линейная комбинация представляет общий вид такого многочлена степени n. Так, например,

u_o= a,u₁ = ax + by + cz;

u₂ = a(x²— z²)+ b(y² —z²)+ cxy + dyz + ezx,

где a,b,с,d,e — произвольные постоянные, представляют общий вид однородных многочленов степеней 0, 1, 2, являющихся Ш. ф. Если вместо прямоугольных координат х,у,z ввести Сферические координатыr, θ, φ, то Ш. ф. выражаются через Сферические функцииY_п (θ,φ) по формуле

u_n = rⁿ Y_n (θ,φ).

Каждой Ш. ф. u_n степени nсоответствует Ш. ф. r ^―2n―1 степени — n—1.

Ш. ф. применяются при нахождении общего решения уравнения Лапласа и при решении задач математической физики для областей, ограниченных сферическими поверхностями.

Лит. см. при статье Сферические функции.

шаровы́е фу́нкции

то же, что сферические функции.

* * *

ШАРОВЫ́Е ФУ́НКЦИИ, то же, что сферические функции(см. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ).

то же, что сферические функции.