Толковый словарь Ожегова
ГРАНЬ, -и, ж.
Толковый словарь Ефремовой
I
предик. разг.О состоянии перехода в другое - обычно худшее, тяжёлое - состояние.
II
предл. с род.Употребляется при указании на крайнее - обычно негативное - состояние, которое может наступить.
Большой англо-русский и русско-английский словарь
on the verge of, on the brink of на грани безумия ≈ on the verge of insanity на грани фантастики ≈ almost unreal находящийся на грани ≈ border-line перен. политика на грани войны ≈ brinkmanship