Толковый словарь Даля
ВЕНЬГАТЬ, вяньгать новг., пермяц., вят., влад. хныкать, плакать, плаксиво жалобиться или просить чего; канючить. О деньгах не веньгай.
| Говорить немо, ·т.е. картаво, вяло, медленно, с расстановкою, невнятно;
| говорить жалобно, нараспев, мямлить. Веньгаться ниж. упрямиться перекоряться, привередливо отказывать кому.
| ? новг. валяться или нежиться на постели, как бы по нездоровью. Веньганье, хныканье, плаксивый говор;
| вялая, картавая речь. Веньгала, веньга новг. веньгуша ·об., вят. перм веньгун, -нья вологод. плаксивый, писклявый человек;
| клянча;
| мямля.
Этимологический словарь русского языка Макса Фасмера
ве́ньгать вя́ньгать "хныкать, плакать", олонецк., тотемск. (РФВ 18, 280). См. ви́ньгать – то же. Заимств. из фин. vinkua, карельск. vungua или фин. vänkyä "плакать"; см. Калима 86 и сл.; Лесков, ЖСт., 1892, вып. 4, стр. 99; Миклошич (Mi.LP 223) пытался связать это слово со звягу́, звячь "лаять, кричать, браниться", что ошибочно.