Криволинейные координаты

см. Координаты.

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ координаты - координаты точки на плоскости, на поверхности или в пространстве, отличные от прямолинейных (декартовых) координат. На плоскости (поверхности) криволинейные координаты определяются при помощи таких двух семейств кривых (координатных линий), что любая кривая одного семейства пересекает любую кривую другого семейства не более чем в одной точке; координатами этой системы считаются соответствующие значения параметров семейств.Криволинейные координаты впервые использовал Я. Бернулли (1691). С именем К. Гаусса связаны криволинейные координаты на поверхности. Криволинейные координаты в пространстве и название "криволинейные координаты" впервые ввел Г. Ламе (1833).

curvilinear coordinates

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ

- набор вещественных чисел q₁,......., q_n, определяющих положение точки Р в нек-рой области G n -мерного евклидова пространства и связанных с декартовыми координатами x₁,..., х _п этой точки посредством преобразований q_i=q₁ (x₁,.......,x_n), i = l, 2,..., п, где q_i (x₁,..., х _п) - однозначные непрерывно дифференцируемые ф-ции в G.

Если в каждой точке G якобиан (детерминант J = = det( ) не равен нулю, то существует однозначное обратное преобразование X_j=x_j(q₁,..., q_n), j = 1,..., п. Поверхности, определяемые ур-ниями q_i( х₁,..., х _п) = с _i где c_i = const, i = l,..., n, наз. координатными поверхностями, а их попарные пересечения - координатными линиями. Система К. к. наз. ортогональной, если в каждой точке области G единичные векторы, касательные к координатным линиям, образуют ортонормированную систему векторов. Квадрат расстояния ds² между двумя бесконечно близкими точками в G определяется квадратичной формой =, где - метрический тензор, детерминант к-рого равен J². Необходимое и достаточное условие ортогональности системы К. к. заключается в равенстве g_ij=0для в каждой точке G. В последнем случае величины h_i= наз. коэффициентами Ламе. Напр., в ортогональной трёхмерной системе К. к. квадрат элемента длины ds² имеет вид , а элемент объёма dV равен . Векторные операции со скалярами f и векторами А выражаются след. образом: градиент, Лапласа оператор, дивергенция, суммирование производится по круговым перестановкам индексов,

остальные компоненты rot А получаются круговой перестановкой индексов. Наиб. распространёнными ортогональными системами К. к. в трёхмерном пространстве являются сферич. система координат , связанных с декартовыми координатами х ₁=х, х ₂=у, x₃ = z равенствами x =

; о<r<,

, , ицилиндрич. система координат , , , для к-рых , , z= z; В сферич. системе координат J=r²sin, а Лапласа оператор имеет вид

В цилиндрич. системе координат для соответствующих величин имеем J=r,

Лит.: Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1, М., 1958; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд, М., 1977. В. И. Алхимов.