Квантовая механика

волновая механика, теория устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем (например, кристаллов) а также связь величин, характеризующих частицы и системы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми в макроскопических опытах.

Законы К. м. составляют фундамент изучения строения вещества. Они позволили выяснить строение Атомов, установить природу химической связи (См. Химическая связь), объяснить периодическую систему элементов (См. Периодическая система элементов), понять строение ядер атомных (См. Ядро атомное), изучать свойства элементарных частиц (См. Элементарные частицы). Поскольку свойства макроскопических тел определяются движением и взаимодействием частиц, из которых они состоят, законы К. м. лежат в основе понимания большинства макроскопических явлений. К. м. позволила, например, объяснить температурную зависимость и вычислить величину теплоёмкости (См. Теплоёмкость) газов и твёрдых тел, определить строение и понять многие свойства твёрдых тел (металлов, диэлектриков, полупроводников). Только на основе К. м. удалось последовательно объяснить такие явления, как Ферромагнетизм,Сверхтекучесть,Сверхпроводимость, понять природу таких астрофизических объектов, как Белые карлики, Нейтронные звёзды, выяснить механизм протекания термоядерных реакций (См. Термоядерные реакции) в Солнце и звёздах. Существуют также явления (например, Джозефсона эффект), в которых законы К. м. непосредственно проявляются в поведении макроскопических объектов.

Ряд крупнейших технических достижений 20 в. основан по существу на специфических законах К. м. Так, квантово-механические законы лежат в основе работы ядерных реакторов (См. Ядерный реактор), обусловливают возможность осуществления в земных условиях термоядерных реакций, проявляются в ряде явлений в металлах и полупроводниках, используемых в новейшей технике, и т.д. Фундамент такой бурно развивающейся области физики, как Квантовая электроника, составляет квантовомеханическая теория излучения (См. Излучение). Законы К. м. используются при целенаправленном поиске и создании новых материалов (особенно магнитных, полупроводниковых и сверхпроводящих). Т. о., К. м. становится в значительной мере «инженерной» наукой, знание которой необходимо не только физикам-исследователям, но и инженерам.

Место квантовой механики среди других наук о движении. В начале 20 в. выяснилось, что классическая механика И. Ньютона имеет ограниченную область применимости и нуждается в обобщении. Во-первых, она не применима при больших скоростях движения тел — скоростях, сравнимых со скоростью света. Здесь её заменила релятивистская механика, построенная на основе специальной теории относительности А. Эйнштейна (см. Относительности теория). Релятивистская механика включает в себя Ньютонову (нерелятивистскую) механику как частный случай. Ниже термин «классическая механика» будет объединять Ньютонову и релятивистскую механику.

Для классической механики в целом характерно описание частиц путём задания их положения в пространстве (координат) и скоростей и зависимости этих величин от времени. Такому описанию соответствует движение частиц по вполне определенным траекториям. Однако опыт показал, что это описание не всегда справедливо, особенно для частиц с очень малой массой (микрочастиц). В этом состоит второе ограничение применимости механики Ньютона. Более общее описание движения дает К. М., которая включает в себя как частный случай классическую механику. К. м., как и классическая, делится на нерелятивистскую, справедливую в случае малых скоростей, и релятивистскую, удовлетворяющую требованиям специальной теории относительности. В статье изложены основы нерелятивистской К. м. (Однако некоторые общие положения относятся к К. м. в целом. Нерелятивистская К. м. (как и механика Ньютона для своей области применимости) — вполне законченная и логически непротиворечивая теория, способная в области своей компетентности количественно решать в принципе любую физическую задачу. Релятивистская К. м. не является в такой степени завершенной и свободной от противоречий теорией. Если в нерелятивистской области можно считать, что движение определяется силами, действующими (мгновенно) на расстоянии, то в релятивистской области это несправедливо. Поскольку, согласно теории относительности, взаимодействие передается (распространяется) с конечной скоростью, должен существовать физический агент, переносящий взаимодействие; таким агентом является поле. Трудности релятивистской теории — это трудности теории поля, с которыми встречается как релятивистская классическая механика, так и релятивистская К. м. В этой статье не будут рассматриваться вопросы релятивистской К. м., связанные с квантовой теорией поля (См. Квантовая теория поля).

Критерий применимости классической механики.

Соотношение между Ньютоновой и релятивистской механикой определяется существованием фундаментальной величины — предельной скорости распространения сигналов, равной скорости света с (с 3․10¹⁰ см/сек). Если скорости тел (значительно меньше скорости света (т. е. υ/c с бесконечно большой), то применима Ньютонова механика.

Соотношение между классической механикой и К. м. носит менее наглядный характер. Оно определяется существование другой универсальной мировой постоянной — постоянной Планка h. Постоянная h (называемая также квантом действия) имеет размерность действия (См. Действие) (энергии, умноженной на время) и равно h= 6,662․10^–27 эрг․сек. (В теории чаще используется величина h =h/2π = 1,0545919․10^–27эрг․сек, которую также называют постоянной Планка.) Формально критерий применимости классической механики заключается в следующем: если в условиях данной задачи физические величины размерности действия значительно больше h (так чтоh можно считать очень малой), применима классическая механика. Более подробно этот критерий будет разъяснен при изложении физических основ К. м.

История создания квантовой механики. В начале 20 в. были обнаружены две (казалось, не связанные между собой) группы явлений, свидетельствующих о неприменимости обычной классической теории электромагнитного поля (классической электродинамики (См. Электродинамика)) к процессам взаимодействия света с веществом и к процессам, происходящим в атоме. Первая группа явлений была связана с установлением на опыте двойственной природы света (дуализм света); вторая — с невозможностью объяснить на основе классических представлений устойчивое существование атома, а также спектральные закономерности, открытые при изучении испускания света атомами. Установление связи между этими группами явлений и попытки объяснить их на основе новой теории и привели, в конечном счете, к открытию законов К. м.

Впервые квантовые представления (в т. ч. квантовая постоянная h) были введены в физику в работе М. Планка (1900), посвященной теории теплового излучения (см. Планка закон излучения). Существовавшая к тому времени теория теплового излучения, построенная на основе классической электродинамики и статистической физики (См. Статистическая физика), приводила к бессмысленному результату, состоявшему в том, что тепловое (термодинамическое) равновесие между излучением и веществом не может быть достигнуто, т.к. вся энергия рано или поздно должна перейти в излучение. Планк разрешил это противоречие и получил результаты, прекрасно согласующиеся с опытом, на основе чрезвычайно смелой гипотезы. В противоположность классической теории излучения, рассматривающей испускание электромагнитных волн как непрерывный процесс, Планк предположил, что свет испускается определенными порциями энергии — квантами. Величина такого кванта энергии зависит от частоты света ν и равна E=hν

От этой работы Планка можно проследить две взаимосвязанные линии развития, завершившиеся окончательной формулировкой К. м. в дух ее формах к 1927. Первая начинается с работы Эйнштейна (1905), в которой была дана теория Фотоэффекта — явления вырывания светом электронов из вещества. В развитие идеи Планка Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается дискретными порциями — квантами излучения, но и распространение света происходит такими квантами, т. е. что дискретность присуща самому свету — что сам свет состоит из отдельных порций — световых квантов (которые позднее были названы Фотонами). Энергия фотона E связана с частотой колебаний ν волны соотношением Планка E=hν

Дальнейшее доказательство корпускулярного характера света было получено в 1922 А. Комптоном, показавшим экспериментально, что рассеяние света свободными электронами происходит по законам упругого столкновения двух частиц — фотона и электрона (см. Комптона эффект). Кинематика такого столкновения определяется законами сохранения энергии и импульса, причем фотону наряду с энергией E=hν следует приписать импульс р = h/λ = hν/c, где λ — длина световой волны. Энергия и импульс фотона связаны соотношением E=cp,справедливым в релятивистской механике для частицы с нулевой массой.

Т. о., было доказано экспериментально, что наряду с известными волновыми свойствами (проявляющимися, например, в дифракции света (См. Дифракция света)) свет обладает и корпускулярными свойствами: он состоит как бы из частиц — фотонов. В этом проявляется дуализм света, его сложная корпускулярно-волновая природа. Дуализм содержится уже в формуле E=hν, не позволяющей выбрать какую-либо одну из двух концепций: в левой части равенства энергия E относится к частице, а в правой — частота ν является характеристикой волны. Возникло формальное логическое противоречие: для объяснения одних явлений необходимо было считать, что свет имеет волновую природу, а для объяснения других — корпускулярную. По существу разрешение этого противоречия и привело к созданию физических основ К. м.

В 1924 Л. Де Бройль, пытаясь найти объяснение постулированным в 1913 Н. Бором условиям квантования атомных орбит (см. ниже), выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю, каждой частице, независимо от ее природы, следует поставить в соответствие волну, длина которой λ связана с импульсом частицы р соотношением

По этой гипотезе не только фотоны, но и все «обыкновенные частицы» (электроны, протоны и др.) обладают волновыми свойствами, которые, в частности, должны проявляться в явлении дифракции. В 1927 К. Дэвиссон и Л. Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов. Позднее волновые свойства были обнаружены и у других частиц, и справедливость формулы де Бройля была подтверждена экспериментально (см. Дифракция частиц). В 1926 Э. Шрёдингер предложил уравнение, описывающее поведение таких «волн» во внешних силовых полях. Так возникла волновая механика. Волновое уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерялитивистской К. м. В 1928 П. Дирак сформулировал релятивистское уравнение, описывающее движение электрона во внешнем силовом поле; Дирака уравнение стало одним из основных уравнений релятивистской К. м.

Вторая линия развития начинается с работы Эйнштейна (1907), посвященной теории теплоемкости твердых тел (она также является обобщением гипотезы Планка). Электромагнитное излучение, представляющее собой набор электромагнитных волн различных частот, динамически эквивалентно некоторому набору Осцилляторов (колебательных систем). Излучение или поглощение волн эквивалентно возбуждению или затуханию соответствующих осцилляторов. Тот факт, что излучение и поглощение электромагнитного излучения веществом происходят квантами энергии hν. Эйнштейн обобщил эту идею квантования энергии осциллятора электромагнитного поля на осциллятор произвольной природы. Поскольку тепловое движение твердых тел сводится к колебаниям атомов, то и твердое тело динамически эквивалентно набору осцилляторов. Энергия таких осцилляторов тоже квантована, т. е. разность соседних уровней энергии (энергий, которыми может обладать осциллятор) должна равняться hν, где ν — частота колебаний атомов. Теория Эйнштейна, уточнённая П. Дебаем (См. Дебай), М. Борном и Т. Карманом, сыграла выдающуюся роль в развитии теории твёрдых тел.

В 1913 Н. Бор применил идею квантования энергии к теории строения атома, планетарная модель которого следовала из результатов опытов Э. Резерфорда (1911). Согласно этой модели, в центре атома находится положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома; вокруг ядра вращаются по орбитам отрицательно заряженные электроны. Рассмотрение такого движения на основе классических представлений приводило к парадоксальному результату — невозможности стабильного существования атомов: согласно классической электродинамике, электрон не может устойчиво двигаться по орбите, поскольку вращающийся электрический заряд должен излучать электромагнитные волны и, следовательно, терять энергию; радиус его орбиты должен уменьшаться, и за время порядка 10^–8 сек электрон должен упасть на ядро. Это означало, что законы классической физики неприменимы к движению электронов в атоме, т.к. атомы существуют и чрезвычайно устойчивы.

Для объяснения устойчивости атомов Бор предположил, что из всех орбит, допускаемых Ньютоновой механикой для движения электрона в электрическом поле атомного ядра, реально осуществляются лишь те, которые удовлетворяют определённым условиям квантования. Т. е. в атоме существуют (как в осцилляторе) дискретные уровни энергии. Эти уровни подчиняются определённой закономерности, выведенной Бором на основе комбинации законов Ньютоновой механики с условиями квантования, требующими, чтобы величина действия для классической орбиты была целым кратным постоянной Планка ħ. Бор постулировал, что, находясь на определённом уровне энергии (т. е. совершая допускаемое условиями квантования орбитальное движение), электрон не излучает световых волн. Излучение происходит лишь при переходе электрона с одной орбиты на другую, т. е. с одного уровня энергии E_i, на другой с меньшей энергией E_k, при этом рождается квант света с энергией, равной разности энергий уровней, между которыми осуществляется переход:

hν = E_i - E_k. (2)

Так возникает линейчатый спектр — основная особенность атомных спектров, Бор получил правильную формулу для частот спектральных линий атома водорода (и водородоподобных атомов), охватывающую совокупность открытых ранее эмпирических формул (см. Спектральные серии).

Существование уровней энергии в атомах было непосредственно подтверждено Франка — Герца опытами (См. Франка - Герца опыт) (1913—14). Было установлено, что электроны, бомбардирующие газ, теряют при столкновении с атомами только определённые порции энергии, равные разности энергетических уровней атома.

Т. о., Н. Бор, используя квантовую постоянную h, отражающую дуализм света, показал, что эта величина определяет также и движение электронов в атоме (и что законы этого движения существенно отличаются от законов классической механики). Этот факт позднее был объяснён на основе универсальности корпускулярно-волнового дуализма, содержащегося в гипотезе де Бройля.

Успех теории Бора, как и предыдущие успехи квантовой теории, был достигнут за счёт нарушения логической цельности теории: с одной стороны, использовалась Ньютонова механика, с другой — привлекались чуждые ей искусственные правила квантования, к тому же противоречащие классической электродинамике. Кроме того, теория Бора оказалась не в состоянии объяснить движение электронов в сложных атомах (даже в атоме гелия), возникновение молекулярной связи и т.д. «Полуклассическая» теория Бора не могла также ответить на вопрос, как движется электрон при переходе с одногоуровня энергии на другой. Дальнейшая напряжённая разработка вопросов теории атома привела к убеждению, что, сохраняя классическую картину движения электрона по орбите, логически стройную теорию построить невозможно. Осознание того факта, что движение электронов в атоме не описывается в терминах (понятиях) классической механики (как движение по определённой траектории), привело к мысли, что вопрос о движении электрона между уровнями несовместим с характером законов, определяющих поведение электронов в атоме, и что необходима новая теория, в которую входили бы только величины, относящиеся к начальному и конечному стационарным состояниям атома. В 1925 В. Гейзенбергу удалось построить такую формальную схему, в которой вместо координат и скоростей электрона фигурировали некие абстрактные алгебраические величины — матрицы (См. Матрица); связь матриц с наблюдаемыми величинами (энергетическими уровнями и интенсивностями квантовых переходов) давалась простыми непротиворечивыми правилами. Работа Гейзенберга была развита М. Борном и П. Иорданом. Так возникла матричная механика. Вскоре после появления уравнения Шрёдингера была показана математическая эквивалентность волновой (основанной на уравнении Шрёдингера) и матричной механики. В 1926 М. Борн дал вероятностную интерпретацию волн де Бройля (см. ниже).

Большую роль в создании К. м. сыграли работы Дирака, относящиеся к этому же времени. Окончательное формирование К. м. как последовательной физической теории с ясными основами и стройным математическим аппаратом произошло после работы Гейзенберга (1927), в которой было сформулировано Неопределённостей соотношение— важнейшее соотношение, освещающее физический смысл уравнений К. м., её связь с классической механикой и другие как принципиальные вопросы, так и качественные результаты К. м. Эта работа была продолжена и обобщена в трудах Бора и Гейзенберга.

Детальный анализ спектров атомов привёл к представлению (введённому впервые Дж. Ю. Уленбеком и С. Гаудсмитом и развитому В. Паули)о том, что электрону, кроме заряда и массы, должна быть приписана ещё одна внутренняя характеристика (квантовое число (См. Квантовые числа))—Спин. Важную роль сыграл открытый В. Паули (1925) так называемый принцип запрета (Паули принцип, см. ниже), имеющий фундаментальное значение в теории атома, молекулы (См. Молекула), ядра, твёрдого тела.

В течение короткого времени К. м. была с успехом применена к широкому кругу явлений. Были созданы теории атомных спектров, строения молекул, химической связи, периодической системы Д. И. Менделеева, металлической проводимости и ферромагнетизма. Эти и многие др. явления стали (по крайней мере качественно) понятными. Дальнейшее принципиальное развитие квантовой теории связано главным образом с релятивистской К. м. Нерелятивистская К. м. развивалась в основном в направлении охвата разнообразных конкретных задач физики атомов, молекул, твёрдых тел (металлов, полупроводников), плазмы (См. Плазма) и т.д., а также совершенствования математического аппарата и разработки количественных методов решения различных задач.

Вероятности и волны. Поскольку законы К. м. не обладают той степенью наглядности, которая свойственна законам классической механики, целесообразно проследить линию развития идей, составляющих фундамент К. м., и только после этого сформулировать её основные положения. Выбор фактов, на основе которых строится теория, конечно, не единствен поскольку К. м. описывает широчайший круг явлений и каждое из них способно дать материал для её обоснования. Будем исходить из требований простоты и возможной близости к истории.

Рассмотрим простейший опыт по распространению света (рис. 1). На пути пучка света ставится прозрачная пластинка S. Часть света проходит через пластинку, а часть отражается. Известно, что свет состоит из «частиц» — фотонов. Что же происходит с отдельным фотоном при попадании на пластинку? Если поставить опыт (например, с пучком света крайне малой интенсивности), в котором можно следить за судьбой каждого фотона, то можно убедиться, что фотон при встрече с пластинкой не расщепляется на два фотона, его индивидуальность как частицы сохраняется (иначе свет менял бы свою частоту, т. е. «цветность»). Оказывается, что некоторые фотоны проходят сквозь пластинку, а некоторые отражаются от нее. В чем причина этого? Может быть, имеется два разных сорта фотонов? Поставим контрольный опыт: внесем такую же пластинку на пути прошедшего света, который должен бы содержать только один из двух «сортов» фотонов. Однако будет наблюдаться та же картина: часть фотонов пройдет вторую пластинку, а часть отразится. Следовательно, одинаковые частицы в одинаковых условиях могут вести себя по-разному. А это означает, что поведение фотона при встрече с пластинкой непредсказуемо однозначно. Детерминизма в том смысле, как это понимается в классической механике, при движении фотонов не существует. Этот вывод является одним из отправных пунктов для устранения противоречия между корпускулярными и волновыми свойствами частиц и построения теории квантовомеханических явлений.

Задача отражения света от прозрачной пластинки не представляет какой-либо трудности для волновой теории: исходя из свойств пластинки, волновая оптика однозначно предсказывает отношение интенсивностей прошедшего и отражённого света. С корпускулярной точки зрения, интенсивность света пропорциональна числу фотонов. Обозначим через N общее число фотонов, через N₁ и N₂ — число прошедших и число отражённых фотонов (N₁ + N₂=N).Волновая оптика определяет отношение N₁/N₂, и о поведении одного фотона, естественно, ничего сказать нельзя. Отражение фотона от пластинки или прохождение через неё являются случайными событиями: некоторые фотоны проходят через пластинку, некоторые отражаются от неё, но при большом числе фотонов оказывается, что отношение N₁/N₂ находится в согласии с предсказанием волновой оптики. Количественно закономерности, проявляющиеся при случайных событиях, описываются с помощью понятия вероятности (см. Вероятностей теория). Фотон может с вероятностью ω₁пройти пластинку и с вероятностью ω₂ отразиться от неё. При общем числе фотонов N в среднем пройдёт пластинку ω₁N частиц, а отразится ω₂N частиц. Если N очень велико, то средние (ожидаемые) значения чисел частиц точно совпадают с истинными (хотя флуктуации существуют, и классическая оптика их учесть не может). Все соотношения оптики могут быть переведены с языка интенсивностей на язык вероятностей и тогда они будут относиться к поведению одного фотона. Вероятность того, что с фотоном произойдёт одно из двух альтернативных (взаимно исключающих) событий — прохождение или отражение, равна ω₁+ω₂= 1. Это закон сложения вероятностей, соответствующий сложению интенсивностей. Вероятность прохождения через две одинаковые пластинки равна ω²₁,а вероятность прохождения через первую и отражения от второй —ω₁․ω₂(это отвечает тому, что на второй пластинке свет, прошедший первую пластинку, разделяется на прошедший и отражённый в том же отношении, как и на первой). Это закон умножения вероятностей (справедливый для независимых событий).

Рассмотренный опыт не специфичен для света. Аналогичные опыты с пучком электронов или др. микрочастиц также показывают непредсказуемость поведения отдельной частицы. Однако не только прямые опыты говорят в пользу того, что и в самом общем случае следует перейти к вероятностному описанию поведения микрочастиц. Теоретически невозможно представить, что одни микрочастицы описываются вероятностно, а другие классически: взаимодействие «классических» частиц с «квантовыми» с необходимостью приводило бы к внесению квантовых неопределённостей и делало бы поведение «классических» частиц также непредсказуемым (в смысле классического детерминизма).

Предсказание вероятностей различных процессов — такова возможная формулировка задачи К. м., в отличие от задачи классической механики, состоящей в предсказании в принципе только достоверных событий. Конечно, вероятностное описание допустимо и в классической механике. Для получения достоверного предсказания классическая механика нуждается в абсолютно точном задании начальных условий, т. е. положений и скоростей всех образующих систему частиц. Если же начальные условия заданы не точно, а с некоторой степенью неопределённости, то и предсказания будут содержать неопределённости, т. е. носить в той или иной степени вероятностный характер. Примером служит классическая статистическая физика, оперирующая с некоторыми усреднёнными величинами. Поэтому дистанция между строем мысли квантовой и классическая механики была бы не столь велика, если бы основными понятиями К. м. были именно вероятности. Чтобы выяснить радикальное различие между К. м. и классической механикой, несколько усложним рассмотренный выше опыт по отражению света.

Пусть отражённый пучок света (или микрочастиц) при помощи зеркала 3 поворачивается и попадает в ту же область А (например, в тот же детектор, регистрирующий фотоны), что и прошедший пучок (рис. 2). Естественно было бы ожидать, что в этом случае измеренная интенсивность равна сумме интенсивностей прошедшего и отражённого пучков. Но хорошо известно, что это не так: интенсивность в зависимости от расположения зеркала и детектора может меняться в довольно широких пределах и в некоторых случаях (при равной интенсивности прошедшего и отражённого света) даже обращаться в ноль (пучки как бы гасят друг друга). Это — явление интерференции света (См. Интерференция света). Что же можно сказать о поведении отдельного фотона в интерференционном опыте? Вероятность его попадания в данный детектор существенно перераспределится по сравнению с первым опытом, и не будет равна сумме вероятностей прихода фотона в детектор первым и вторым путями. Следовательно, эти два пути не являются альтернативными (иначе вероятности складывались бы). Отсюда следует, что наличие двух путей прихода фотона от источника к детектору существенным образом влияет на распределение вероятностей, и поэтому нельзя сказать, каким путём прошёл фотон от источника к детектору. Приходится считать, что он одновременно мог придти двумя различными путями.

Необходимо подчеркнуть радикальность возникающих представлений. Действительно, невозможно представить себе движение частицы одновременно по двум путям. К. м. и не ставит такой задачи. Она лишь предсказывает результаты опытов с пучками частиц. Подчеркнём, что в данном случае не высказывается никаких гипотез, а даётся лишь интерпретация волнового опыта с точки зрения корпускулярных представлений. (Напомним, что речь идёт не только о свете, но и о любых пучках частиц, например электронов.) Полученный результат означает невозможность классического описания движения частиц по траекториям, отсутствие наглядности квантового описания.

Попытаемся всё же выяснить, каким путём прошла частица, поставив на возможных её путях детекторы. Естественно, что частица будет зарегистрирована в одном, а не сразу во всех возможных местах. Но как только измерение выделит определённую траекторию частицы, интерференционная картина исчезнет. Распределение вероятностей станет другим. Для возникновения интерференции нужны обе (все) возможные траектории. Т. о., регистрация траектории частицы так изменяет условия, что два пути становятся альтернативными, и в результате получается сложение интенсивностей, которое было бы в случае «классических» частиц, движущихся по определённым траекториям.

Для квантовых явлений очень важно точное описание условий опыта, в которых наблюдается данное явление. В условия, в частности, входят и измерительные приборы. В классической физике предполагается, что роль измерительного прибора может быть в принципе сведена только к регистрации движения и состояние системы при измерении не меняется. В квантовой физике такое предположение несправедливо: измерительный прибор наряду с др. факторами сам участвует в формировании изучаемого на опыте явления, и эту его роль нельзя не учитывать. Роль измерительного прибора в квантовых явлениях была всесторонне проанализирована Н. Бором и В. Гейзенбергом. Она тесно связана с соотношением неопределённостей, которое будет рассмотрено позже.

Внимание к роли измерений не означает, что в К. м. не изучаются физические явления безотносительно к приборам, например свойства частиц «самих по себе». Так, решаемые К. м. задачи об энергетических уровнях атомов, о рассеянии микрочастиц (См. Рассеяние микрочастиц)при их столкновениях друг с другом, об интерференционных явлениях — это задачи о свойствах частиц и их поведении. Роль прибора выступает на первое место тогда, когда ставятся специфические вопросы, некоторые из которых лишены, как выяснилось, смысла (например, вопрос о том, по какой траектории двигался электрон в интерференционном опыте, т.к. либо нет траектории, либо нет интерференции).

Вернёмся к интерференционному опыту. До сих пор было сделано лишь негативное утверждение: частица не движется по определённому пути, и вероятности не складываются. Конструктивное предложение для описания подобной ситуации можно почерпнуть снова из волновой оптики. В оптике каждая волна характеризуется не только интенсивностью, но и фазой (интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды). Совокупность этих двух действительных величин — амплитуды А и фазы φ — принято объединять в одно комплексное число, которое называют комплексной амплитудой: ψ = Ae^iφ. Тогда интенсивность равна I= |ψ|² = ψ*ψ = A², где ψ* —функция, комплексно сопряжённая с ψ. Т. к. непосредственно измеряется именно интенсивность, то для одной волны фаза никак не проявляется. В опыте с прохождением и отражением света ситуация именно такая: имеется две волны ψ₁ и ψ₂, но одна из них существует только справа, а другая только слева (см. рис. 1); интенсивности этих волн I₁=A₁²,I₂=A₂², и фазы не фигурируют (поэтому можно было обойтись только интенсивностями). В интерференционном опыте ситуация изменилась: волна ψ₂ с помощью зеркала была направлена в область нахождения волны ψ₁ (см. рис. 2). Волновое поле в области существования двух волн определяется в оптике с помощью принципа суперпозиции: волны налагаются друг на друга, т. е. складываются с учётом их фаз. Суммарная волна ψ имеет комплексную амплитуду, равную сумме комплексных амплитуд обеих волн:

Интенсивность суммарной волны зависит от разности фаз φ₁ — φ₂ (пропорциональной разности хода световых пучков по двум путям):

.(4)

В частности, при A₁ = A₂ и cos (φ₁ — φ₂) = — 1 |ψ|² = 0.

В этом примере рассмотрен простейший случай сложения амплитуд. В более общем случае из-за изменения условий (например, из-за свойств зеркала) амплитуды могут изменяться по величине и фазе, так что суммарная волна будет иметь вид

где c₁ и c₂ — комплексные числа:

Принципиальная суть явления при этом не изменяется. Характер явления не зависит также от общей интенсивности. Если увеличить ψ в С раз, то интенсивность увеличится в |С|² раз, т. е. |С|² будет общим множителем в формуле распределения интенсивностей. Число С можно считать как комплексным, так и действительным, физические результаты не содержат фазы числа С — она произвольна.

Для интерпретации волновых явлений с корпускулярной точки зрения необходимо перенесение принципа суперпозиции в К. м. Поскольку К. м. имеет дело не с интенсивностями, а с вероятностями, следует ввести амплитуду вероятности ψ = Ae^iφ, полагая (по аналогии с оптическими волнами), что вероятность ω = |cψ|² = |c|ψ*ψ. Здесь с — число, называемое нормировочным множителем, который должен быть подобран так, чтобы суммарная вероятность обнаружения частицы во всех возможных местах равнялась 1, т. е. с определён только по модулю, фаза его произвольна. Нормировочный множитель важен только для определения абсолютной вероятности; относительные вероятности определяются амплитудами вероятности в произвольной нормировке. Амплитуда вероятности называются в К. м. также волновой функцией (См. Волновая функция).

Амплитуды вероятности (как оптические амплитуды) удовлетворяют принципу суперпозиции: если ψ₁ и ψ₂ — амплитуды вероятности прохождения частицы соответственно первым и вторым путём, то амплитуда вероятности для случая, когда осуществляются оба пути, должна быть равна ψ = ψ₁+ψ₂. Тем самым фраза: «частица прошла двумя путями» приобретает волновой смысл, а вероятность ω= |ψ₁+ψ₂|² обнаруживает интерференционные свойства.

Следует подчеркнуть различие в смысле, вкладываемом в принцип суперпозиции в оптике (и др. волновых процессах) и К. м. Сложение (суперпозиция) обычных волн не противоречит наглядным представлениям, т.к. каждая из волн представляет возможный тип колебаний и суперпозиция соответствует сложению этих колебаний в каждой точке. В то же время квантовомеханические амплитуды вероятности описывают альтернативные (с классической точки зрения, исключающие друг друга) движения (например, волны ψ₁ и ψ₂ соответствуют частицам, приходящим в детектор двумя различными путями). С классической точки зрения, сложение таких движений представляется совершенно непонятным. В этом проявляется отсутствие наглядности квантовомеханического принципа суперпозиции. Избежать формального логического противоречия квантовомеханического принципа суперпозиции (возможность для частицы пройти одновременно двумя путями) позволяет вероятностная интерпретация. Постановка опыта по определению пути частицы (см. выше) приведёт к тому, что с вероятностью |ψ₁|² частица пройдёт первым и с вероятностью |ψ₂|² — вторым путём. Суммарное распределение частиц на экране будет определяться вероятностью |ψ₁|² + |ψ₂|², т. е. интерференция исчезнет.

Т. о., рассмотрение интерференционного опыта приводит к следующему выводу. Величиной, описывающей состояние физической системы в К. м., является амплитуда вероятности, или волновая функция, системы. Основная черта такого квантовомеханического описания — предположение о справедливости принципа суперпозиции состояний.

Принцип суперпозиции — основной принцип К. м. В общем виде он утверждает, что если в данных условиях возможны различные квантовые состояния частицы (или системы частиц), которым соответствуют волновые функции ψ₁, ψ₂,..., ψ_i,..., то существует и состояние, описываемое волновой функцией

где c_i — произвольные комплексные числа. Если ψ_i описывают альтернативные состояния, то |c_i|² определяет вероятность того, что система находится в состоянии с волновой функцией ψ_i, и

Волны де Бройля и соотношение неопределённостей. Одна из основных задач К. м. — нахождение волновой функции, отвечающей данному состоянию изучаемой системы. Рассмотрим решение этой задачи на простейшем (но важном) случае свободно движущейся частицы. Согласно де Бройлю, со свободной частицей, имеющей импульс р связана волна с длиной λ = h/p. Это означает, что волновая функция свободной частицы ψ(х) —волна де Бройля — должна быть такой функцией координаты х, чтобы при изменении х на λ волновая функция ψ возвращалась к прежнему значению. Этим свойством обладает функция e^i2πx/λ. Если ввести величину k= 2π/λ, называемую волновым числом, то соотношение де Бройля примет вид: р, то её состояние описывается волновой функцией

где С — постоянное комплексное число. Эта волновая функция обладает замечательным свойством: квадрат её модуля |ψ₁|² не зависит от х, т. е. вероятность нахождения частицы, описываемой такой волновой функцией, в любой точке пространства одинакова. Другими словами, частица со строго определённым импульсом совершенно нелокализована. Конечно, это идеализация — полностью нелокализованных частиц не существует. Но в той же мере идеализацией является и волна со строго определённой длиной волны, а следовательно, и строгая определённость импульса частицы. Поэтому точнее сказать иначе: чем более определённым является импульс частицы, тем менее определенно её положение (координата). В этом заключается специфический для К. м. принцип неопределённости. Чтобы получить количественное выражение этого принципа — соотношение неопределённостей, рассмотрим состояние, представляющее собой суперпозицию некоторого (точнее, бесконечно большого) числа де-бройлевских волн с близкими волновыми числами, заключёнными в малом интервале Δk. Получающаяся в результате суперпозиции волновая функция ψ(х) (она называется волновым пакетом (См. Волновой пакет)) имеет такой характер: вблизи некоторого фиксированного значения x₀все амплитуды сложатся, а вдали от x₀(|х — x₀| >> λ) будут гасить друг друга из-за большого разнобоя в фазах. Оказывается, что практически такая волновая функция сосредоточена в области шириной Δх, обратно пропорциональной интервалу Δk, т. е. Δх 1/Δk, или

Математически любую функцию ψ(х)можно представить как наложение простых периодических волн — это известное Фурье преобразование, на основании свойств которого соотношение неопределённостей между Δх и Δk получается математически строго. Точное соотношение имеет вид неравенства ΔхΔk ≥ ¹/₂, или

причём под неопределённостями Δр и Δх понимаются дисперсии, т. е. среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их средних значений. Физическая интерпретация соотношения (6) заключается в том, что (в противоположность классической механике) не существует такого состояния, в котором координата и импульс частицы имеют одновременно точные значения. Масштаб неопределённостей этих величин задаётся постоянной Планка ħ,в этом заключён важный смысл этой мировой постоянной. Если неопределённости, связанные соотношением Гейзенберга, можно считать в данной задаче малыми и пренебречь ими, то движение частицы будет описываться законами классической механики (как движение по определённой траектории).

Принцип неопределённости является фундаментальным принципом К. м., устанавливающим физическое содержание и структуру её математического аппарата. Кроме этого, он играет большую эвристическую роль, т.к. многие результаты К. м. могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классической механики с соотношением неопределённостей. Важным примером является проблема устойчивости атома, о которой говорилось выше. Рассмотрим эту задачу для атома водорода. Пусть электрон движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса r со скоростью υ.По закону Кулона сила притяжения электрона к ядру равна e²/r², где е — абсолютная величина заряда электрона, а центростремительное ускорение равно υ²/r. По второму закону Ньютона mυ²r=e²/r², где m— масса электрона. Отсюда следует, что радиус орбиты r = е²/mυ² может быть сколь угодно малым, если скорость υ достаточно велика. Но в К. м. должно выполняться соотношение неопределённостей. Если допустить неопределённость положения электрона в пределах радиуса его орбиты r, а неопределённость скорости — в пределах υ,т. е. импульса в пределах Δр = mυ, то соотношение неопределённостей примет вид: r, определяемой законом Ньютона, получим см,невозможно, электрон не может упасть на ядро — атом устойчив. Величина r₀ и является радиусом атома водорода («боровским радиусом»). Ему соответствует максимально возможная энергия связи атома E₀ (равная полной энергии электрона в атоме, т. е. сумме кинетической энергии mυ²/2 и потенциальной энергии — e²/r₀, что составляет E₀ -13,6 эв), определяющая его минимальную энергию — энергию основного состояния.

Т о., квантовомеханические представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры атома (выразив его радиус через мировые постоянные ħ, m, е). «Малость» атомных размеров оказалась связанной с тем, что «мала» постоянная ħ.

Примечательно, что современные представления об атомах, обладающих вполне определёнными устойчивыми состояниями, оказываются ближе к представлениям древних атомистов, чем основанная на законах классической механики планетарная модель атома, позволяющая электрону находиться на любых расстояниях от ядра.

Строгое решение задачи о движении электрона в атоме водорода получается из квантовомеханического уравнения движения — уравнения Шрёдингера (см. ниже); решение уравнения Шрёдингера даёт волновую функцию ψ, которая описывает состояние электрона, находящегося в области притяжения ядра. Но и не зная явного вида ψ, можно утверждать, что эта волновая функция представляет собой такую суперпозицию волн де Бройля, которая соответствует локализации электрона в области с размером ≥ r₀ и разбросу по импульсам

Соотношение неопределённостей позволяет также понять устойчивость молекул и оценить их размеры и минимальную энергию, объясняет существование вещества, которое ни при каких температурах не превращается при нормальном давлении в твёрдое состояние (гелий), даёт качественное представления о структуре и размерах ядра и т.д.

Существование уровней энергии — характерное квантовое явление, присущее всем физическим системам, не вытекает непосредственно из соотношения неопределённостей. Ниже будет показано, что дискретность уровней энергии связанной системы можно объяснить на основе уравнения Шрёдингера; отметим лишь, что возможные дискретные значения энергии (энергетические уровни) E_n > E₀ соответствуют возбуждённым состояниям квантовомеханической системы (см., например, Атом).

Стационарное уравнение Шрёдингера.Волны де Бройля описывают состояние частицы только в случае свободного движения. Если на частицу действует поле сил с потенциальной энергией V (называемой также потенциалом), зависящей от координат частицы, то волновая функция частицы ψ определяется дифференциальным уравнением, которое получается путём следующего обобщения гипотезы де Бройля. Для случая, когда движение частицы с заданной энергией E происходит в одном измерении (вдоль оси х), уравнение,. которому удовлетворяет волна де Бройля (5), может быть записано в виде:

где m). Если частица с энергией E движется в потенциальном поле V(x), не зависящем от времени, то квадрат её импульса (определяемый законом сохранения энергии) равен

Оно называется стационарным (не зависящим от времени) уравнением Шрёдингера и относится к основным уравнениям К. м. Решение этого уравнения зависит от вида сил, т. е. от вида потенциала V(x). Рассмотрим несколько типичных случаев.

1) V = const, E> V. Решением является волна де Бройля ψ = Ce^ikx, где E- V — кинетическая энергия частицы.

2) Потенциальная стенка:

V= 0 при х<>

V =V₁> 0 при х>0.

Если полная энергия частицы больше высоты стенки, т. е. E>V₁, и частица движется слева направо (рис. 3), то решение уравнения (7) в области x

где

(волна с волновым числом k= –k₀ соответствует движению справа налево с тем же импульсом p₀), а при х>0 —проходящей волны де Бройля:

Отношения |C₁/C₂|² и |C'₀/C₀|² определяют вероятности прохождения частицы над стенкой и отражения от неё. Наличие отражения — специфически квантовомеханическое (волновое) явление (аналогичное частичному отражению световой волны от границы раздела двух прозрачных сред): «классическая» частица проходит над барьером, и лишь импульс её уменьшается до значения

Если энергия частицы меньше высоты стенки, EV (рис. 4, а), то кинетическая энергия частицы E—V в области х>0отрицательна. В классической механике это невозможно, и частица не заходит в такую область пространства — она отражается от потенциальной стенки. Волновое движение имеет др. характер. Отрицательное значение k — чисто мнимая величина, k = iχ, где χ вещественно. Поэтому волна e^ikx превращается в e^—χx, т. е. колебательный режим сменяется затухающим (χ > 0, иначе получился бы лишённый физического смысла неограниченный рост волны с увеличением х). Это явление хорошо известно в теории колебаний. Под энергетической схемой на рис. 4, а (и рис. 4, б) изображено качественное поведение волновой функции ψ(х), точнее её действительной части.

3) Две области, свободные от сил, разделены прямоугольным потенциальным барьером (См. Потенциальный барьер)V, и частица движется к барьеру слева с энергией EV(рис. 4, б). Согласно классической механике, частица отразится от барьера; согласно К. м., волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а справа будет опять иметь вид волны де Бройля с тем же импульсом (т. е. с той же частотой, но, конечно, с меньшей амплитудой). Следовательно, частица может пройти сквозь барьер. Коэффициент (или вероятность) проникновения будет тем больше, чем меньше ширина и высота (чем меньше разность V — E) барьера. Этот типично квантовомеханический эффект, называемый туннельным эффектом (См. Туннельный эффект), имеет большое значение в практических приложениях К. м. Он объясняет, например, явление Альфа-распада— вылета из радиоактивных ядер α-частиц (ядер гелия). В термоядерных реакциях, протекающих при температурах в десятки и сотни млн. градусов, основная масса реагирующих ядер преодолевает электростатическое (кулоновское) отталкивание и сближается на расстояния порядка действия ядерных сил в результате туннельных (подбарьерных) переходов. Возможность туннельных переходов объясняет также автоэлектронную эмиссию — явление вырывания электронов из металла электрическим полем, контактные явления в металлах и полупроводниках и многие др. явления.

Уровни энергии. Рассмотрим поведение частицы в поле произвольной потенциальной ямы (См. Потенциальная яма) (рис. 5). Пусть потенциал отличен от нуля в некоторой ограниченной области, причем VE частицы. При E> 0 «классическая» частица проходит над ямой и удаляется от неё. Отличие квантовомеханического движения от классического состоит в том, что происходит частичное отражение волны от ямы; при этом возможные значения энергии ничем не ограничены — энергия частицы имеет непрерывный спектр. При E Eе^—χ|х|.Однако решение, удовлетворяющее этому условию, существует не при всех значениях E, а только при определённых дискретных значениях. Число таких дискретных значений E_n может быть конечным или бесконечным, но оно всегда счётно, т. е. может быть перенумеровано, и всегда имеется низшее значение E₀ (лежащее выше дна потенциальной ямы); номер решения n называется квантовым числом. В этом случае говорят, что энергия системы имеет дискретный спектр. Дискретность допустимых значений энергии системы (или соответствующих частот Струна) или часто́ты электромагнитных волн в объёмном резонаторе (См. Объёмный резонатор) дискретны и определяются размерами и свойствами границ области, в которой происходят колебания. Действительно, уравнение Шрёдингера математически подобно соответствующим уравнениям для струны или резонатора.

Проиллюстрируем дискретный спектр энергии на примере квантового осциллятора. На рис.6 по оси абсцисс отложено расстояние частицы от положения равновесия. Кривая (парабола) представляет потенциальную энергию частицы. В этом случае частица при всех энергиях «заперта» внутри ямы, поэтому спектр энергии дискретен. Горизонтальные прямые изображают уровни энергии частицы. Энергия низшего уровня E = 0) означало бы точное равновесие, при котором и х =0,ир =0, что невозможно, согласно принципу неопределённости. Следующие, более высокие уровни энергии осциллятора расположены на равных расстояниях через интервал ħω; формула для энергии n-го уровня:

E_n =

Над каждой горизонтальной прямой на рис.6 приведено условное изображение волновой функции данного состояния. Характерно, что число узлов волновой функции (т. е. число прохождений через 0) равно квантовому числу n энергетического уровня. По др. сторону ямы (за точкой пересечения уровня с кривой потенциала) волновая функция быстро затухает, в соответствии с тем, что говорилось выше.

В общем случае каждая квантовомеханическая система характеризуется своим энергетическим спектром. В зависимости от вида потенциала (точнее, от характера взаимодействия в системе) энергетический спектр может быть либо дискретным (как у осциллятора), либо непрерывным (как у свободной частицы, — её кинетическая энергия может иметь произвольное положительное значение), либо частично дискретным, частично непрерывным (например, уровни атома при энергиях возбуждения, меньших энергии ионизации, дискретны, а при больших энергиях — непрерывны).

Особенно важным является случай, имеющий место в атомах, молекулах, ядрах и др. системах, когда наинизшее значение энергии, соответствующее основному состоянию системы, лежит в области дискретного спектра и, следовательно, основное состояние отделено от первого возбуждённого состояния энергетической щелью. Благодаря этому внутренняя структура системы не проявляется де тех пор, пока обмен энергией при её взаимодействиях с др. системами не превысит определённого значения — ширины энергетической щели. Поэтому при ограниченном обмене энергией сложная система (например, ядро или атом) ведёт себя как бесструктурная частица (материальная точка). Это имеет первостепенное значение для понимания, например, теплового движения. Так, при энергиях теплового движения, меньших энергии возбуждения атомных уровней, электроны атомов не могут участвовать в обмене энергией и не дают вклада в теплоёмкость.

Временное уравнение Шрёдингера. До сих пор рассматривались лишь возможные квантовые состояния системы и не рассматривалась эволюция системы во времени (её динамика), определяемая зависимостью волновой функции от времени. Полное решение задач К. м. должно давать волновую функцию ψ как функцию координат и времени t. Для одномерного движения она определяется уравнением

являющимся уравнением движения в К. м. Это уравнение называется временным уравнением Шрёдингера. Оно справедливо и в том случае, когда потенциальная энергия зависит от времени: V = V(x, t).

Частными решениями уравнения (9) являются функции

Здесь E — энергия частицы, а ψ(х)удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера (7); для свободного движения ψ(х) является волной де Бройля e^ikx.

Волновые функции (10) обладают тем важным свойством, что соответствующие распределения вероятностей не зависят от времени, т.к. |ψ(x,t)|² = |ψ(x)|². Поэтому состояния, описываемые такими волновыми функциями, называемые стационарными; они играют особую роль в приложениях К. м.

Общее решение временного уравнения Шрёдингера представляет собой суперпозицию стационарных состояний. В этом общем (нестационарном) случае, когда вероятности существенно меняются со временем, энергия E не имеет определённого значения. Так, если

то E= C₁∣² и E= C₂∣². Для энергии и времени существует соотношение неопределенностей:

где ΔE — дисперсия энергии, а Δt — промежуток времени, в течение которого энергия может быть измерена.

Трехмерное движение. Момент количества движения. До сих пор рассматривалось (ради простоты) одномерное движение. Обобщение на движение частицы в трех измерениях не содержит принципиально новых элементов. В этом случае волновая функция зависит от трех координат х,у, z (и времени): ψ = ψ (х, у, z, t), а волна де Бройля имеет вид

где p_x, p_y,p_z,— три проекции импульса на оси координат, а

Временное уравнение Шредингера имеет вид:

Это уравнение принято записывать в символической форме

где

— дифференциальный оператор, называемый оператором Гамильтона, или гамильтонианом.

Стационарным решением уравнения (14) является:

где ψ₀ — решение уравнения Шредингера для стационарных состояний:

Eψ₀ (16)

или

При трёхмерном движении спектр энергии также может быть непрерывным и дискретным. Возможен и случай, когда несколько разных состояний имеют одинаковую энергию; такие состояния называются вырожденными. В случае непрерывного спектра частица уходит на бесконечно большое расстояние от центра сил. Но, в отличие от одномерного движения (когда были только две возможности — прохождение или отражение), при трёхмерном движении частица может удалиться от центра под произвольным углом к направлению первоначального движения, т. е. рассеяться. Волновая функция частицы теперь является суперпозицией не двух, а бесконечного числа волн де Бройля, распространяющихся по всевозможным направлениям. Рассеянные частицы удобно описывать в сферических координатах, т. е. определять их положение расстоянием от центра (радиусом) r и двумя углами — широтой θ и азимутом φ. Соответствующая волновая функция на больших расстояниях r от центра сил имеет вид:

Первый член (пропорциональный волне де Бройля, распространяющейся вдоль оси z) описывает падающие частицы, а второй (пропорциональный «радиальной волне де Бройля») — рассеянные. Функция f(ϑ,φ) называется амплитудой рассеяния; она определяет так называемое дифференциальное сечение рассеяния dσ, характеризующее вероятность рассеяния под данными углами:

dσ=|f(ϑ, φ)|²dΩ, (18)

где dΩ—элемент телесного угла, в который происходит рассеяние.

Дискретный спектр энергии возникает, как и при одномерном движении, когда частица оказывается внутри потенциальной ямы. Энергетические уровни нумеруют квантовыми числами, причём, в отличие от одномерного движения, не одним, а тремя. Наибольшее значение имеет задача о движении в поле центральных сил притяжения. В этом случае также удобно пользоваться сферическими координатами.

Момент количества движения. Угловая часть движения (вращение) определяется в К. м., как и в классической механике, заданием момента количества движения, который при движении в поле центральных сил сохраняется. Но, в отличие от классической механики, в К. м. момент имеет дискретный спектр, т. е. может принимать только вполне определённые значения. Это можно показать на примере азимутального движения — вращения вокруг заданной оси (примем её за ось z). Волновая функция в этом случае имеет вид «угловой волны де Бройля» e^imφ, где φ — азимут, а число m также связано с моментом M_z, как в плоской волне де Бройля волновое число k с импульсом р, т. е. m = M_z/h. Т. к. углы φ и φ + 2π описывают одно и то же положение, то и волновая функция при изменении φ на 2π должна возвращаться к прежнему значению. Отсюда вытекает, чтоm может принимать только целочисленные значения:m=0, ± 1, ± 2,..., т. е. момент может быть равен

M_z = mh =0, ±h, ± 2h,... (19)

Вращение вокруг оси z есть только часть углового движения (это проекция движения на плоскость ху), а M_z —не полный момент, а только его проекция на ось z. Чтобы узнать полный момент, надо определить две остальные его проекции. Но в К. м. нельзя одновременно точно задать все три составляющие момента. Действительно, проекция момента содержит произведение проекции импульса на соответствующее плечо (координату, перпендикулярную импульсу), а все проекции импульса и все плечи, согласно соотношениям неопределённостей (13), одновременно не могут иметь точные значения. Оказывается, что, кроме проекции M_z момента количества движения на ось z (задаваемой числом m), можно одновременно точно задать величину момента М, определяемую целым числом l:

M² = h²l(l+ 1), l= 0, 1, 2,... (20)

Т. о., угловое движение даёт два квантовых числа —l и m. Число l называют орбитальным квантовым числом, от него может зависеть значение энергии частицы (как в классической механике от вытянутости орбиты). Число mназывают магнитным квантовым числом и при данном l может принимать значения m = 0, ± 1, ± 2,..., ±l —всего 2l+ 1 значений; от m энергия не зависит, т.к. само значение m зависит от выбора оси z, а поле имеет сферическую симметрию. Поэтому уровень с квантовым числом l имеет (2l+ 1)-кратное вырождение. Энергия уровня начинает зависеть от m лишь тогда, когда сферическая симметрия нарушается, например при помещении системы в магнитное поле (Зеемана эффект).

При заданном моменте радиальное движение похоже на одномерное движение с тем отличием, что вращение вызывает центробежные силы. Их учитывают введением (кроме обычного потенциала) центробежного потенциала, который имеет вид М²/2mr², как и в классической механике (здесь m —масса частицы), При этом квадрат момента M² следует заменять на величину h²l(l+ 1). Решение уравнения Шрёдингера для радиальной части волновой функции атома определяет его уровни энергии и вводит третье квантовое число — радиальное n_r или главное n, которые связаны соотношением n = n_r + l+ 1, n_r = 0, 1, 2,..., n= 1, 2, 3,... В частности, для движения электрона в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (водородоподобный атом) уровни энергии определяются формулой

E_n =

т. е. энергия зависит только от главного квантового числа n. Для многоэлектронных атомов в которых каждый электрон движется не только в поле ядра, но и в поле остальных электронов, уровни энергии зависят также и от l.

На рис. 3 в статье Атом приведены радиальные и угловые распределения электронной плотности (т. е. плотности вероятности или плотности заряда) вокруг ядра. Видно, что задание момента (т. е. чисел l и m) полностью определяет угловое распределение. В частности, при l= 0 (M² = 0) распределение электродной плотности сферически симметрично. Т. о., квантовое движение при малых l, совершенно непохоже на классическое. Так, сферически симметричное состояние со средним значением радиуса r≠ 0 в некоторой степени, отвечает как бы классическому движению по круговой орбите (или по совокупности круговых орбит, наклоненных под разными углами), т. е. движению с ненулевым моментом (нулевой момент в классической механике соответствует нулевому плечу, а здесь плечо r≠ 0). Это различие между квантовомеханическим и классическим движением является следствием соотношения неопределённостей и может быть истолковано на его основе. При больших квантовых числах (например, при l >> 1, n_r>> 1) длина волны де Бройля становится значительно меньше расстояний L, характерных для движения данной системы:

В этом случае квантовомеханические законы движения приближённо переходят в классические законы движения по определённым траекториям, подобно тому, как законы волновой оптики в аналогичных условиях переходят в законы геометрической оптики (описывающей распространение света с помощью лучей). Условие малости длины де-бройлевской волны (22) означает, что pL >> h, где pL по порядку величины равно классическому действию для системы. В этих условиях квант действия ħ можно считать очень малой величиной, т. е. формально переход квантовомеханических законов в классические осуществляется при ħ→ 0. В этом пределе исчезают все специфические квантовомеханические явления, например обращается в нуль вероятность туннельного эффекта.

Спин.В К. м. частица (как сложная, например ядро, так и элементарная, например электрон) может иметь собственный момент количества движения, называемый спином частицы. Это означает, что частице можно приписать квантовое число (s), аналогичное орбитальному квантовому числу l. Квадрат собственного момента количества движения имеет величину ħ²s(s+1), а проекция момента на определённое направление может принимать 2s+ 1 значений от —ħs до +ħs с интервалом ħ. Т. о., состояние частицы (2s+ 1) кратно вырождено. Поэтому волна де Бройля частицы со спином аналогична волне с поляризацией: при данной частоте и длине волны она имеет 2s+ 1 поляризаций. Число таких поляризаций может быть произвольным целым числом, т. е. спиновое квантовое число s может быть как целым (0, 1, 2,...), так и полуцелым (¹/₂, ³/₂, ⁵/₂,...) числом. Спин электрона, протона и нейтрона равен ¹/₂ (в единицах ħ). Спин ядер, состоящих из чётного числа нуклонов (протонов и нейтронов), — целый или нулевой, а из нечётного — полуцелый. Отметим, что для фотона соотношение между числом поляризаций и спином (который равен 1) другое: фотон не имеет массы покоя, а (как показывает релятивистская К. м.) для таких частиц число поляризаций равно двум (а не 2s+ 1 = 3).

Системы многих частиц. Тождественные частицы. Квантовомеханичское уравнение движения для системы N частиц получается соответствующим обобщениемуравнения Шредингера для одной частицы. Оно содержит потенциальную энергию, зависящую от координат всех N частиц, и включает как воздействие на них внешнего поля, так и взаимодействие частиц между собой. Волновая функция также является функцией от координат всех частиц. Её можно рассматривать как волну в 3N-мерном пространстве; следовательно, наглядная аналогия с распространением волн в обычном пространстве утрачивается. Но это теперь несущественно, поскольку известен смысл волновой функции как амплитуды вероятности.

Если квантовомеханические системы состоят из одинаковых частиц, то в них наблюдается специфическое явление, не имеющее аналогии в классической механике. В классической механике случай одинаковых частиц тоже имеет некоторую особенность. Пусть, например, столкнулись две одинаковые классические частицы (первая двигалась слева, а вторая — справа) и после столкновения разлетелись в разные стороны (например, первая — вверх, вторая — вниз). Для результата столкновения не имеет значения, какая из частиц пошла, например, вверх, поскольку частицы одинаковы, — практически надо учесть обе возможности (рис. 7, аи 7, б). Однако в принципе в классической механике можно различить эти два процесса, т.к. можно проследить за траекториями частиц во время столкновения. В К. м. траекторий, в строгом смысле этого слова, нет, и область столкновения обе частицы проходят с некоторой неопределённостью, с «размытыми траекториями» (рис. 7, в).

В процессе столкновения области размытия перекрываются и невозможно даже в принципе различить эти два случая рассеяния. Следовательно, одинаковые частицы становятся полностью неразличимыми — тождественными. Не имеет смысла говорить о двух разных случаях рассеяния, есть только один случай — одна частица пошла вверх, другая — вниз, индивидуальности у частиц нет.

Этот квантовомеханический принцип неразличимости одинаковых частиц можно сформулировать математически на языке волновых функций. Обнаружение частицы в данном месте пространства определяется квадратом модуля волновой функции, зависящей от координат обеих частиц, |ψ(1, 2)|² где 1 и 2 означают совокупность координат (включая и спин) соответственно первой и второй частицы. Тождественность частиц требует, чтобы при перемене местами частиц 1 и 2 вероятности были одинаковыми, т. е.

|ψ(1, 2)|² = |ψ(2, 1)|² (23)

Отсюда следует, что может быть два случая:

ψ(1, 2) = ψ(2, 1) (24, а)

ψ(1, 2) = – ψ(2, 1) (24,б)

Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной [случай (24, а)], а если меняет, — антисимметричной [случай (24,б)]. Т. к. все взаимодействия одинаковых частиц симметричны относительно переменных 1, 2, то свойства симметрии или антисимметрии волновой функции сохраняются во времени.

В системе из произвольного числа тождественных частиц должна иметь место симметрия или антисимметрия относительно перестановки любой пары частиц. Поэтому свойство симметрии или антисимметрии является характерным признаком данного сорта частиц. Соответственно, все частицы делятся на два класса: частицы с симметричными волновыми функциями называемыми Бозонами, с антисимметричными — Фермионами. Существует связь между значением спина частиц и симметрией их волновых функций: частицы с целым спином являются бозонами, с полуцелым — фермионами (так называемая связь спина и статистики; см. ниже). Это правило сначала было установлено эмпирически, а затем доказано В. Паули теоретически (оно является одной из основных теорем релятивистской К. м.). В частности, электроны, протоны и нейтроны являются фермионами, а фотоны, Пи-мезоны,К-мезоны—бозонами. Сложные частицы, состоящие из фермионов, являются фермионами, если состоят из нечётного числа частиц, и бозонами, если состоят из чётного числа частиц; этими свойствами обладают, например, атомные ядра.

Свойства симметрии волновой функции существенно определяют статистические свойства системы. Пусть, например, невзаимодействующие тождественные частицы находятся в одинаковых внешних условиях (например, во внешнем поле). Состояние такой системы можно определить, задав Числа заполнения— числа частиц, находящихся в каждом данном (индивидуальном) состоянии, т. е. имеющих одинаковые наборы квантовых чисел. Но если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, т.к. для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной. Это свойство называется принципом запрета Паули. Т. о., числа заполнения для фермионов могут принимать лишь значения 0 или 1. Т. к. электроны являются фермионами, то принцип Паули существенно влияет на поведение электронов в атомах, в металлах и т.д. Для бозонов (имеющих симметричную волновую функцию) числа заполнения могут принимать произвольные целые значения. Поэтому с учётом квантовомеханических свойств тождественных частиц существует два типа статистик частиц: Ферми — Дирака статистика (См. Ферми - Дирака статистика) для фермионов и Бозе - Эйнштейна статистика для бозонов. Примером системы, состоящей из фермионов (ферми-системы), является электронный газ в металле, примером бозе-системы — газ фотонов (т. е. равновесное электромагнитное излучение), жидкий ⁴Не и др.

Принцип Паули является определяющим для понимания структуры периодической системы элементов Менделеева. В сложном атоме на каждом уровне энергии может находиться число электронов, равное кратности вырождения этого уровня (числу разных состояний с одинаковой энергией). Кратность вырождения зависит от орбитального квантового числа и от спина электрона; она равна

(2l + 1) (2s + 1) = 2(2l + 1).

Так возникает представление об электронных оболочках атома, отвечающих периодам в таблице элементов Менделеева (см. Атом).

Обменное взаимодействие. Молекула.Молекула представляет собой систему ядер и электронов, между которыми действуют электрические (кулоновские) силы (притяжения и отталкивания). Т. к. ядра значительно тяжелее электронов, электроны движутся гораздо быстрее и образуют некоторое распределение отрицательного заряда, в поле которого находятся ядра. В классической механике и электростатике доказывается, что такого типа система не имеет устойчивого равновесия. Поэтому, даже если принять устойчивость атомов (которую, как говорилось выше, нельзя объяснить на основе законов классической физики), невозможно без специфически квантовомеханических закономерностей объяснять устойчивость молекул. Особенно непонятным с точки зрения классических представлений является существование молекул из одинаковых атомов, т. е. с так называемой ковалентной химической связью (например, простейшей молекулы — H₂). Оказалось, что свойство антисимметрии электронной волновой функции так изменяет характер взаимодействия электронов, находящихся у разных ядер, что возникновение такой связи становится возможным.

Рассмотрим для примера молекулу водорода H₂, состоящую из двух протонов и двух электронов. Волновая функция такой системы представляет собой произведение двух функций, одна из которых зависит только от координат, а другая — только от спиновых переменных обоих электронов. Если суммарный спин двух электронов равен нулю (спины антипараллельны), спиновая функция антисимметрична относительно перестановки спиновых переменных электронов. Следовательно, для того чтобы полная волновая функция в соответствии с принципом Паули была антисимметричной, координатная функция должна быть симметричной относительно перестановки координат обоих электронов. Это означает, что координатная часть волновой функции имеет вид:

где ψ_a (i), ψ_b (i) — волновые функции i-го электрона (i = 1, 2) соответственно у ядра а и b.

Кулоновское взаимодействие пропорционально плотности электрического заряда ρ= e|ψ|² = eψ*ψ). При учёте свойств симметрии координатной волновой функции (25), помимо плотности обычного вида

соответствующих движению отдельных электронов у разных ядер, появляется плотность вида

Она называется обменной плотностью, потому что возникает как бы за счёт обмена электронами между двумя атомами. Именно эта обменная плотность, приводящая к увеличению плотности отрицательного заряда между двумя положительно заряженными ядрами, и обеспечивает устойчивость молекулы в случае ковалентной химической связи.

Очевидно, что при суммарном спине двух электронов, равном 1, координатная часть волновой функции антисимметрична, т. е. в (25) перед вторым слагаемым стоит знак минус, и обменная плотность имеет отрицательный знак; это означает, что обменная плотность будет уменьшать плотность отрицательного электрического заряда между ядрами, т. е. приводить как бы к дополнительному отталкиванию ядер.

Т. о., симметрия волновой функции приводит к «дополнительному» обменному взаимодействию (См. Обменное взаимодействие). Характерна зависимость обменного взаимодействия от спинов электронов. Непосредственно спины не участвуют во взаимодействии — источником взаимодействия являются электрические силы, зависящие только от расстояния между зарядами. Но в зависимости от ориентации спинов волновая функция, антисимметричная относительно полной перестановки двух электронов (вместе с их спинами), может быть симметричной или антисимметричной относительно перестановки только положения электронов (их координат). А от типа симметрии координатной части волновой функции зависит знак обменной плотности и, соответственно, эффективное притяжение или отталкивание частиц в результате обменного взаимодействия. Так, не участвуя непосредственно динамически во взаимодействии, спины электронов благодаря квантовомеханической специфике свойств тождественных частиц фактически определяют химическую связь.

Обменное взаимодействие играет существенную роль во многих явлениях. Оно объясняет, например, ферромагнетизм: благодаря обменному взаимодействию спиновые, а следовательно, и магнитные моменты атомов ферромагнетика выстраиваются параллельно друг другу. Огромное число явлений в конденсированных телах (жидкости, твёрдом теле) тесно связано со статистикой образующих их частиц и с обменным взаимодействием. Условие антисимметрии волновой функции для фермионов приводит к тому, что фермионы при большой плотности как бы эффективно отталкиваются друг от друга (даже если между ними не действуют никакие силы). В то же время между бозонами, которые описываются симметричными волновыми функциями, возникают как бы силы притяжения: чем больше бозонов находится в каком-либо состоянии, тем больше вероятность перехода др. бозонов системы в это состояние (подобного рода эффекты лежат, например, в основе явлений сверхтекучести и сверхпроводимости, принципа работы квантовых генераторов (См. Квантовый генератор) и квантовых усилителей (См. Квантовый усилитель)).

Математическая схема квантовой механики. Нерелятивистская К. м. может быть построена на основе немногих формальных принципов. Математический аппарат К. м. обладает логической безупречностью и изяществом. Чёткие правила устанавливают соотношение между элементами математической схемы и физическими величинами.

Первым основным понятием К. м. является квантовое состояние. Выбор математического аппарата К. м. диктуется физическим принципом суперпозиции квантовых состояний, вытекающим из волновых свойств частиц. Согласно этому принципу, суперпозиция любых возможных состояний системы, взятых с произвольными (комплексными) коэффициентами, является также возможным состоянием системы. Объекты, для которых определены понятия сложения и умножения на комплексное число, называется векторами. Т. о., принцип суперпозиции требует, чтобы состояние системы описывалось некоторым вектором — вектором состояния (с которым тесно связано понятие амплитуды вероятности, или волновой функции), являющимся элементом линейного «пространства состояний». Это позволяет использовать математический аппарат, развитый для линейных (векторных) пространств. Вектор состояния обозначается по П. Дираку |ψ〉.

Кроме сложения и умножения на комплексное число, вектор |ψ〉 может подвергаться ещё двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на др. вектор, т. е. составить скалярное произведение |ψ〉 с любым др. вектором состояния |Ψ'〉; оно обозначается как

= *. (26)

Скалярное произведение вектора |ψ〉 с самим собой,

Во-вторых, можно рассмотреть операцию перехода от вектора |ψ〉 к др. вектору |Ψ'〉 (или произвести преобразование ОператораL̂:

При этом вектор |Ψ'〉 может отличаться от |ψ〉 «длиной» и «направлением». Линейные операторы, в силу принципа суперпозиции состояний, имеют в К. м. особое значение; в результате воздействия линейного оператора на суперпозицию произвольных векторов

Важную роль для оператора L̂ играют такие векторы совпадает по направлению с |ψ〉, т. е.

Векторы |Ψ₂〉 называют собственными векторами оператора L̂,а числа λ — его собственными значениями. Собственные векторы |Ψ₂〉 принято обозначать просто |λ〉, т. е. L̂ имеет дискретный спектр), либо непрерывный набор (непрерывный спектр), либо частично дискретный, частично непрерывный.

Очень важный для К. м. класс операторов составляют линейные эрмитовы операторы (См. Эрмитов оператор). Собственные значения λ эрмитового оператора L̂ вещественны. Собственные векторы эрмитового оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг к другу, т. е.

0. (30)

Из них можно построить ортогональный базис («декартовы оси координат») в пространстве состояний. Удобно нормировать эти базисные векторы на 1, можно разложить по этому базису:

При этом:

что эквивалентно теореме Пифагора; если |ψ〉 нормирован на 1, то

Принципиальное значение для построения математического аппарата К. м. имеет тот факт, что для каждой физической величины существуют некоторые выделенные состояния системы, в которых эта величина принимает вполне определённое (единственное) значение. По существу это свойство является определением измеримой (физической) величины, а состояния, в которых физическая величина имеет определённое значение, называются собственными состояниями этой величины.

Согласно принципу суперпозиции, любое состояние системы может быть представлено в виде суперпозиции собственных состояний какой-либо физической величины. Возможность такого представления математически аналогична возможности разложения произвольного вектора по собственным векторам линейного эрмитового оператора. В соответствии с этим в К. м. каждой физической величине, или наблюдаемой, L(координате, импульсу, моменту количества движения, энергии и т.д.) ставится в соответствие линейный эрмитов оператор L̂. Собственное значение λ оператора L̂ интерпретируются как возможные значения физической величины L, проявляющиеся при измерениях. Если вектор состояния |ψ〉 — собственный вектор оператора L̂, то физическая величина L имеет определённое значение. В противном случае Lпринимает различные значения λ с вероятностью |c_λ|², где c_λ — коэффициент разложения |ψ〉 по |λ〉:

Коэффициент c_λ= х) представляет собой коэффициент разложения |ψ〉 по собственным векторам оператора координаты

Среднее значение L̅ наблюдаемой L в данном состоянии определяется коэффициентами с_λ, согласно общему соотношению между вероятностью и средним значением

Значение L̅ можно найти непосредственно через оператор L̂ и вектор состояния |ψ〉 (без определения коэффициентов с_λ) по формуле:

Вид линейных эрмитовых операторов, соответствующих таким физическим величинам, как импульс, момент количества движения, энергия, постулируется на основе общих принципов определения этих величин и Соответствия принципа, требующего, чтобы в пределе Чётность).

С операторами можно производить алгебраические действия сложения и умножения. Но, в отличие от обыкновенных чисел (которые в К. м. называют с-числами), операторы являются такими «числами» (q-числами), для которых операция умножения некоммутативна. Если L̂и — два оператора, то в общем случае их действие на произвольный вектор |ψ〉 в различном порядке даёт разные векторы: Величина L и М могут одновременно иметь определённые (точные) значения λ и μ. В остальных случаях эти величины не имеют одновременно определённых значений, и тогда они связаны соотношением неопределённостей. Можно показать, что, если LΔM ≥ |c|/2, где ΔL и ΔМ — среднеквадратичные отклонения от средних для соответствующих величин.

Возможна такая математическая формулировка, в которой формальный переход от классической механики к К. м. осуществляется заменой с-чисел соответствующими q-числами. Сохраняются и уравнения движения, но теперь это уравнения для операторов. Из этой формальной аналогии между К. м. и классической механикой можно найти основные коммутационные (перестановочные) соотношения. Так, для координаты и импульса х–)представлении. Тогда волновая функция есть ψ(х),а оператор импульса — дифференциальный оператор

Можно показать, что спектр его собственных значений непрерывен, а амплитуда вероятности p̂). Если задана энергия системы как функция координат и импульсов частиц, Н(р,х), то знание коммутатора Ĥ.

На основании определения момента количества движения M_z = хр_у— ур_х,... можно получить, что j— целое или полуцелое число, и его проекции M_l = mħ, m = -j, -j + 1, …, + j.

Уравнения движения квантовомеханической системы могут быть записаны в двух формах: в виде уравнения для вектора состояния

— шрёдингеровская форма уравнения движения, и в виде уравнения для операторов (q-чисел)

— гейзенберговская форма уравнений движения, наиболее близкая классической механике. Из гейзенберговской формы уравнений движения, в частности, следует, что средние значения физических величин изменяются по законам классической механики; это положение называется теоремой Эренфеста.

Для логической структуры К. м. характерно присутствие двух совершенно разнородных по своей природе составляющих. Вектор состояния (волновая функция) однозначно определён в любой момент времени, если задан в начальный момент. В этой части теория вполне детерминистична. Но вектор состояния не есть наблюдаемая величина. О наблюдаемых на основе знания |ψ〉 можно сделать лишь статистические (вероятностные) предсказания. Результаты индивидуального измерения над квантовым объектом в общем случае, строго говоря, непредсказуемы. Предпринимались попытки восстановить идею полного детерминизма в классическом смысле введением предположения о неполноте квантовомеханического описания. Например, высказывалась гипотеза о наличии у квантовых объектов дополнительных степеней свободы — «скрытых параметров», учёт которых сделал бы поведение системы полностью детерминированным в смысле классической механики; неопределённость возникает только вследствие того, что эти «скрытые параметры» неизвестны и не учитываются. Однако Дж. Нейман доказал теорему о невозможности нестатистической интерпретации К. м. при сохранении её основного положения о соответствии между наблюдаемыми (физическими величинами) и операторами.

Лит.: Классич. труды — Гейзенберг В., Физические принципы квантовой теории, Л. — М., 1932; Дирак П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., М., 1960; Паули В., Общие принципы волновой механики, пер. с нем., М. — Л., 1947; Нейман И., Математические основы квантовой механики, пер. с нем., М., 1964. Учебники — Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, 2 изд., М., 1963 (Теоретическая физика, т. 3); Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 4 изд., М., 1963; Давыдов А. С., Квантовая механика, М., 1963; Соколов А. А., Лоскутов Ю. М., Тернов И. М., Квантовая механика, М., 1962; Бом Д., Квантовая теория, пер. с англ., М., 1961; Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике, пер. с англ., в. 8 и 9, М.,1966—67; Шифф Л., Квантовая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1959; Ферми Э., Квантовая механика, пер. с англ., М., 1965. Популярные книги — Борн М., Атомная физика, пер. с англ., 3 изд., М., 1970; Пайерлс Р. Е., Законы природы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962.

В. Б. Берестецкий.

Рис. 1 к ст. Квантовая механика.

Рис. 2 к ст. Квантовая механика.

Рис. 3 к ст. Квантовая механика.

Рис. 4 к ст. Квантовая механика.

Рис. 5 к ст. Квантовая механика.

Рис. 6 к ст. Квантовая механика.

Рис. 7 к ст. Квантовая механика.

КВАНТОВАЯ механика (волновая механика) - теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц в заданных внешних полях; один из основных разделов квантовой теории. Квантовая механика впервые позволила описать структуру атомов и понять их спектры, установить природу химической связи, объяснить периодическую систему элементов и т. д. Т. к. свойства макроскопических тел определяются движением и взаимодействием образующих их частиц, законы квантовой механики лежат в основе понимания большинства макроскопических явлений. Так, квантовая механика позволила понять многие свойства твердых тел, объяснить явления сверхпроводимости, ферромагнетизма, сверхтекучести и многое др.; квантовомеханические законы лежат в основе ядерной энергетики, квантовой электроники и т. д. В отличие от классической теории, все частицы выступают в квантовой механике как носители и корпускулярных, и волновых свойств, которые не исключают, а дополняют друг друга. Волновая природа электронов, протонов и других "частиц" подтверждена опытами по дифракции частиц. Корпускулярно-волновой дуализм материи потребовал нового подхода к описанию состояния физических систем и их изменения со временем. Состояние квантовой системы описывается волновой функцией, квадрат модуля которой определяет вероятность данного состояния и, следовательно, вероятности для значений физических величин, его характеризующих; из квантовой механики вытекает, что не все физические величины могут одновременно иметь точные значения (см. Неопределенности принцип). Волновая функция подчиняется суперпозиции принципу, что и объясняет, в частности, дифракцию частиц. Отличительная черта квантовой теории - дискретность возможных значений для ряда физических величин: энергии электронов в атомах, момента количества движения и его проекции на произвольное направление и т. д.; в классической теории все эти величины могут изменяться лишь непрерывно. Фундаментальную роль в квантовой механике играет Планка постоянная . - один из основных масштабов природы, разграничивающий области явлений, которые можно описывать классической физикой (в этих случаях можно считать ??0), от областей, для правильного истолкования которых необходима квантовая теория. Нерелятивистская (относящаяся к малым скоростям движения частиц по сравнению со скоростью света) квантовая механика - законченная, логически непротиворечивая теория, полностью согласующаяся с опытом для того круга явлений и процессов, в которых не происходит рождения, уничтожения или взаимопревращения частиц.

КВАНТОВАЯ механика (волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц в заданных внешних полях. Все частицы в квантовой механике являются носителями как корпускулярных, так и волновых свойств (корпускулярно-волновой дуализм, Л. де Бройль, 1924). Из квантовой механики вытекает, что не все физические величины могут одновременно иметь точные значения (неопределенности принцип, В. Гейзенберг, 1927). Отличительная черта квантовой механики - дискретность возможных значений для ряда физических величин, например энергии электронов в атомах (идея дискретности высказана Н. Бором в 1913); в классической теории все эти величины могут изменяться лишь непрерывно. Фундаментальную роль в квантовой механике играет постоянная Планка h (введена М. Планком в 1900) - один из основных масштабов природы, разграничивающий области явлений, которые можно описывать классическими законами (в этих случаях можно считать h=0), от областей, для правильного истолкования которых необходима квантовая механика. В частности, существуют макроскопические эффекты, в которых проявляются законы квантовой механики(сверхпроводимость, сверхтекучесть, ферромагнетизм).

quantum mechanics

quantum mechanics

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

(волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элем. ч-ц, атомов, молекул, ат. ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих ч-цы и системы, с физ. величинами, непосредственно измеряемыми на опыте.

Законы К. м. составляют фундамент изучения строения в-ва. Они позволили выяснить строение атомов, установить природу хим. связи, объяснить периодич. систему элементов, понять строение ат. ядер, изучать св-ва элем. ч-ц. Поскольку св-ва макроскопич. тел определяются движением и вз-ствием ч-ц, из к-рых они состоят, законы К. м. лежат в основе понимания большинства макроскопич. явлений. К. м. позволила, напр., объяснить температурную зависимость теплоёмкостей газов и тв. тел и вычислить их величину, определить строение и понять мн. св-ва тв. тел (металлов, диэлектриков, ПП). Только на основе К. м. удалось последовательно объяснить такие явления, как ферромагнетизм, сверхтекучесть, сверхпроводимость, понять природу таких астрофиз. объектов, как белые карлики, нейтронные звёзды, выяснить механизм протекания термоядерных реакций в Солнце и звёздах. Существуют также явления (напр., (см. ДЖОЗЕФСОНА ЭФФЕКТ)), в к-рых законы К. м. непосредственно проявляются в поведении макроскопич. объектов.

Ряд крупнейших техн. достижений 20 в. основан по существу на специфич. законах К. м. Так, квантовомеханич. законы лежат в основе работы яд. реакторов, обусловливают возможность осуществления в земных условиях термояд. реакций, проявляются в ряде явлений в металлах и ПП, используемых в новейшей технике, и т. д. Фундамент квантовой электроники составляет квантовомеханич. теория излучения. Законы К. м. используются при целенаправл. поиске и создании новых материалов (особенно магнитных, полупроводниковых и сверхпроводящих). Т. о., К. м. стала в значит. мере «инженерной» наукой, знание к-рой необходимо не только физикам-исследователям, но и инженерам.

Место К. м. среди других наук о движении. В нач. 20 в. выяснилось, что классич. механика Ньютона имеет огранич. область применимости и нуждается в обобщении. Во-первых, она неприменима при скоростях движения тел, сравнимых со скоростью света. Здесь её заменила релятив. механика, построенная на основе спец. теории относительности Эйнштейна (см. ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ). Релятив. механика включает в себя Ньютонову (нерелятивистскую) механику как частный случай. (Ниже термин «классич. механика» будет объединять Ньютонову и релятив. механику.)

Для классич. механики в целом характерно описание ч-ц путём задания их положения в пр-ве (координат) и скоростей и зависимости этих величин от времени. Такому описанию соответствует движение ч-ц но вполне определ. траекториям. Однако опыт показал, что это описание не всегда справедливо, особенно для ч-ц с очень малой массой (микрочастиц). В этом состоит второе ограничение применимости механики Ньютона. Более общее описание движения даёт К. м., к-рая включает в себя, как частный случай, классич. механику. К. м. делится на нерелятивистскую, справедливую в случае малых скоростей, и релятивистскую, удовлетворяющую требованиям спец. теории относительности. В статье изложены основы нерелятив. К. м. (однако нек-рые общие положения относятся к квант. теории в целом). Нерелятив. К. м. (как и механика Ньютона для своей области применимости) — вполне законченная и логически непротиворечивая теория, способная в области своей компетентности количественно решать в принципе любую физ. задачу. Релятив. К. м. не явл. в такой степени завершённой и свободной от противоречий теорией. Если в нерелятив. области можно считать, что движение определяется силами, действующими (мгновенно) на расстоянии, то в релятив. области это несправедливо. Поскольку, согласно теории относительности, вз-ствие передаётся (распространяется) с кон. скоростью, должен существовать физ. агент, переносящий вз-ствие; таким агентом явл. физ. поле. Трудности релятив. теории — это трудности теории поля, с к-рыми встречается как релятив. классич. механика, так и релятив. К. м. В статье не будут рассматриваться вопросы релятив. К. м., связанные с квантовой теорией поля.

Соотношение между классической и К. м. определяется существованием универсальной мировой постоянной— постоянной Планка h (или h=h/2p). Постоянная h, наз. также квантом действия, имеет размерность действия и равна: h»6,62
• 10-27 эрг
• с h=1,05
• 10-27 эрг
• с). Если в условиях данной задачи физ. величины размерности действия значительно больше h (так что h можно считать очень малой величиной), применима классич. механика. Формально это условие и явл. критерием применимости классической механики. Более подробно этот критерий будет разъяснён при изложении физических основ К. м.

История создания К. м.

В нач. 20 в. были обнаружены две (казалось, не связанные между собой) группы явлений, свидетельствующих о неприменимости механики Ньютона и классич. электродинамики к процессам вз-ствия света с в-вом и к процессам, происходящим в атоме. Первая группа явлений была связана с установлением на опыте двойственной природы света — дуализмом света (см. ниже); вторая — с невозможностью объяснить на основе классич. представлений существование устойчивых атомов, а также их оптич. спектры. Установление связи между этими группами явлений и попытки объяснить их на основе новой теории и привели, в конечном счёте, к открытию законов К. ж.

Впервые квант. представления (в т. ч. h) были введены в 1900 нем. физиком М. Планком в работе, посвящённой теории теплового излучения тел (см. ПЛАНКА ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ). Существовавшая к тому времени теория теплового излучения, построенная на основе классич. электродинамики и статистич. физики, приводила к бессмысленному результату, состоявшему в том, что тепловое (термодинамич.) равновесие между излучением и в-вом не может быть достигнуто, т. к. вся энергия должна перейти в излучение. Планк разрешил это противоречие и получил результаты, прекрасно согласующиеся с опытом, предположив, что свет испускается не непрерывно (как это следовало из классич. теории излучения), а определёнными дискр. порциями энергии — квантами. Величина такого кванта энергии зависит от частоты света v и равна:?=hn.

От этой работы Планка можно проследить две взаимосвязанные линии развития, завершившиеся к 1927 окончат. формулировкой К. м. в двух её формах. Первая начинается с работы Эйнштейна (1905), в к-рой была дана теория фотоэффекта. Развивая идею Планка, Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается, но и распространяется квантами, т. е. что дискретность присуща самому свету: свет состоит из отд. порций — световых квантов, названных позднее фотонами. Энергия фотона?=hn. На основании этой гипотезы Эйнштейн объяснил установленные на опыте закономерности фотоэффекта, к-рые противоречили классической (базирующейся на классич. электродинамике) теории света.

Дальнейшее доказательство корпускулярного хар-ра света было получено в 1922 амер. физиком А. Комптоном, показавшим экспериментально, что рассеяние света свободными эл-нами происходит по законам упругого столкновения двух ч-ц — фотона и эл-на (см. КОМПТОНА ЭФФЕКТ). Кинематика такого столкновения определяется законами сохранения энергии и импульса, причём фотону наряду с энергией?=hn следует приписать импульс p=h/l= hn/c, где l — длина световой волны. Энергия и импульс фотона связаны соотношением?=ср, справедливым в релятив. механике для ч-цы с нулевой массой покоя. Т. о., было доказано экспериментально, что наряду с известными волн. св-вами (проявляющимися, напр., в дифракции света) свет обладает и корпускулярными св-вами: он состоит как бы из ч-ц — фотонов. В этом проявляется дуализм света, его корпускулярно-волн. природа. Дуализм содержится уже в ф-ле?=hn, не позволяющей выбрать к.-л. одну из двух концепций: энергия? относится к ч-це, а частота n явл. хар-кой волны. Возникло формальное логич. противоречие: для объяснения одних явлений необходимо было считать, что свет имеет волн. природу, а для объяснения других — корпускулярную. По существу разрешение этого противоречия и привело к созданию физ. основ К. м.

В 1924 франц. физик Л: де Бройль, пытаясь найти объяснение постулированным в 1913 дат. физиком Н. Бором условиям квантования ат. орбит (см. ниже), выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю, каждой ч-це, независимо от её природы, следует поставить в соответствие волну, длина к-рой l связана с импульсом ч-цы р соотношением:

l=h/p. (1)

По этой гипотезе не только фотоны, но и все «обыкновенные ч-цы» (эл-ны, протоны и др.) обладают волн. св-ва ми, к-рые, в частности, должны проявляться в дифракции ч-ц. В 1927 амер. физики К. Дэвиссон и Л. Джермер впервые наблюдали дифракцию эл-нов. Позднее волн. св-ва были обнаружены и у др. ч-ц, и справедливость ф-лы де Бройля была подтверждена экспериментально (см. ДИФРАКЦИЯ МИКРОЧАСТИЦ). В 1926 австр. физик Э. Шредингер предложил ур-ние, описывающее поведение таких «волн» во внеш. силовых полях. Так возникла волновая механика. Волн. ур-ние Шредингера явл. основным ур-нием нерелятив. К. м. В 1928 англ. физик П. Дирак сформулировал релятив. ур-ние, описывающее движение эл-на во внеш. силовом поле; Дирака уравнение стало одним из осн. ур-ний релятив. К. м.

Вторая линия развития (также являющаяся обобщением гипотезы Планка) начинается с работы Эйнштейна (1907), посвящённой теории теплоёмкости тв. тел. Эл.-магн. излучение, представляющее собой набор эл.-магн. волн разл. частот, динамически эквивалентно нек-рому набору осцилляторов. Испускание или поглощение волн эквивалентно возбуждению или затуханию соответствующих осцилляторов. Тот факт, что испускание и поглощение эл.-магн. излучения в-вом происходят квантами с энергией hn, можно выразить так: осциллятор поля не может обладать произвольной энергией, он может иметь только определ. значения энергии — дискр. уровни энергии, расстояние между к-рыми равно hn. Эйнштейн обобщил идею квантования энергии осциллятора эл.-магн. поля на осциллятор произвольной природы. Поскольку тепловое движение тв. тел сводится к колебаниям атомов, то и тв. тело динамически эквивалентно набору осцилляторов. Энергия таких осцилляторов тоже квантованна, т. е. разность соседних уровней энергии должна равняться hn, где n — частота колебаний атомов. Теория Эйнштейна, уточнённая П. Дебаем, М. Борном и Т. Карманом (Германия), сыграла выдающуюся роль в развитии теории тв. тел.

В 1913 Бор применил идею квантования энергии к теории строения атома, планетарная модель к-рого вытекала из результатов опытов англ. физика Э. Резерфорда (1911). Согласно этой модели, в центре атома находится положительно заряж. ядро, в к-ром сосредоточена почти вся масса атома; вокруг ядра вращаются по орбитам отрицательно заряж. эл-ны. Рассмотрение такого движения на основе классич. представлений приводило к парадоксальному результату — невозможности существования стабильных атомов: согласно классич. электродинамике, эл-н не может устойчиво двигаться по орбите, поскольку вращающийся электрич. заряд должен излучать эл.-магн. волны и, следовательно, терять энергию; радиус его орбиты должен непрерывно уменьшаться, и за время = 10-8 с эл-н должен упасть на ядро. Это означало, что законы классич. физики неприменимы к движению эл-нов в атоме, т. к. атомы не только существуют, но и весьма устойчивы.

Для объяснения устойчивости атомов Бор предположил, что из всех орбит, допускаемых Ньютоновой механикой для движения эл-на в электрич. поле ат. ядра, реально осуществляются лишь те, к-рые удовлетворяют определ. условиям квантования, требующим, чтобы величина действия для классич. орбиты была целым кратным постоянной Планка h. Бор постулировал, что, совершая допускаемое условиями квантования орбит. движение (т. е. находясь на определ. уровне энергии), эл-н не испускает световых волн. Излучение происходит лишь при переходе эл-на с одной орбиты на другую, т. е. с одного уровня энергии?i на другой, с меньшей энергией?k при этом рождается квант света с энергией

hn=?i-?k. (2)

Так возникает линейчатый спектр атома. Бор получил правильную ф-лу для частот спектр. линий атома водорода (и водородоподобных атомов), охватывающую совокупность открытых ранее эмпирич. ф-л (см. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ). Существование уровней энергии в атомах было непосредственно подтверждено Франка — Герца опытами (1913—14).

Т. о., Бор, используя квант. постоянную h, отражающую дуализм света, показал, что эта величина определяет также и движение эл-нов в атоме, законы к-рого существенно отличаются от законов классич. механики. Этот факт позднее был объяснён на основе универсальности корпускулярно-волн. дуализма.

Успех теории Бора, как и предыдущие успехи квант. теории, был достигнут за счёт нарушения логич. цельности теории: с одной стороны, использовалась Ньютонова механика, с другой — привлекались чуждые ей искусств. правила квантования, к тому же противоречащие классич. электродинамике. Кроме того, теория Бора оказалась не в состоянии объяснить движение эл-нов в сложных атомах (даже в атоме гелия), возникновение связи между атомами, приводящей к образованию молекулы, и др. «Полуклассич.» теория Бора не могла также ответить на вопрос, как движется эл-н при переходе с одного уровня энергии на другой. Дальнейшая разработка вопросов теории атома привела к убеждению, что движение эл-нов в атоме нельзя описывать в терминах (понятиях) классич. механики (как движение по определ. траектории, или орбите), что вопрос о движении эл-на между уровнями несовместим с хар-ром законов, определяющих поведение эл-нов в атоме, и что необходима новая теория, в к-рую входили бы только величины, относящиеся к начальному и конечному стационарным состояниям атома. В 1925 нем. физик В. Гейзенберг построил такую формальную схему, в к-рой вместо координат и скоростей эл-на фигурировали некие абстрактные алгебр. величины — матрицы; связь матриц с наблюдаемыми величинами (уровнями энергии и интенсивностями квант. переходов) давалась простыми непротиворечивыми правилами. Работа Гейзенберга была развита Борном и П. Иорданом (Германия). Так возникла матричная механика. Вскоре после появления ур-ния Шредингера была показана матем. эквивалентность волновой (основанной на ур-нии Шредингера) и матричной механики. В 1926 Борн дал вероятностную интерпретацию волн де Бройля (см. ниже).

Большую роль в создании К. м. сыграли работы Дирака, относящиеся к этому же времени. Окончат. формирование К. м. как последоват. теории с ясными физ. основами и стройным матем. аппаратом произошло после работы Гейзенберга (1927), в к-рой было сформулировано неопределённостей соотношение — важнейшее соотношение, освещающее физ. смысл ур-ний К. м., её связь с классич. механикой и другие как принципиальные вопросы, так и качеств. результаты К. м. Эта работа была продолжена и обобщена в трудах Бора и Гейзенберга.

Детальный анализ спектров атомов привёл к представлению (введённому впервые амер. физиками Дж. Ю. Уленбеком и С. Гаудсмитом и развитому швейц. физиком В. Паули) о том, что эл-ну, кроме заряда и массы, должна быть приписана ещё одна внутр. хар-ка — спин. Важную роль сыграл открытый Паули (1925) т. н. принцип запрета ((см. ПАУЛИ ПРИНЦИП), см. ниже), имеющий фундам. значение в теории атома, молекулы, ядра, тв. тела.

В течение короткого времени К. м. была с успехом применена к широкому кругу явлений. Были созданы теории ат. спектров, строения молекул, хим. связи, периодич. системы элементов, металлич. проводимости и ферромагнетизма. Дальнейшее принципиальное развитие квант. теории связано гл. обр. с релятив. К. м. Нерелятив. К. м. развивалась в осн. в направлении охвата разнообразных конкретных задач физики атомов, молекул, тв. тел (металлов, ПП), плазмы и т. д., а также совершенствования матем. аппарата и разработки количеств. методов решения разл. задач.

Вероятности и волны.

Законы К. м. не обладают той степенью наглядности, к-рая свойственна законам классич. механики. Поэтому целесообразно проследить линию развития идей, составляющих фундамент К. м., и только после этого сформулировать её осн. положения. Выбор фактов, на базе к-рых строится теория, не единствен, поскольку К. м. описывает широчайший круг явлений и каждое из них способно дать материал для её обоснования.

Рассмотрим простейший опыт по распространению света (рис. 1). На пути пучка света ставится прозрачная пластинка S. Часть света проходит через пластинку, часть отражается от неё. Известно, что свет состоит из «ч-ц» — фотонов.

Что же происходит с отдельным фотоном при попадании его на пластинку? Если поставить опыт (напр., с пучком света крайне малой интенсивности), в к-ром можно следить за судьбой каждого фотона, то можно убедиться, что при встрече с пластинкой фотон не расщепляется на два, его индивидуальность как ч-цы сохраняется (иначе свет менял бы свою частоту). Оказывается, что нек-рые фотоны проходят сквозь пластинку, а нек-рые отражаются от неё. Если поместить такую же пластинку на пути прошедшего (или отражённого) света, то будет наблюдаться та же картина: часть фотонов пройдёт вторую пластинку, часть отразится. Следовательно, одинаковые ч-цы в одинаковых условиях могут вести себя по-разному, т. е. поведение фотона при встрече с пластинкой не предсказуемо однозначно. Детерминизма в том смысле, как это понимается в классич. механике, при движении фотонов не существует. Этот вывод явл. одним из отправных пунктов для устранения противоречия между корпускулярными и волн. св-вами ч-ц и построения теории квантовомеханич. явлений.

Волн. теория легко объясняет отражение света от прозрачной пластинки и прохождение через неё, однозначно предсказывая отношение интенсивностей прошедшего и отражённого света. С корпускулярной точки зрения интенсивность света пропорц. числу фотонов, следовательно, волн. оптика позволяет определить отношение чисел прошедших (N1) и отражённых (N2) фотонов, N1/N2(N1+N2)=N—полное число падающих на пластинку фотонов). Поведение же одного фотона, естественно, ею не описывается. Отражение фотона от пластинки или прохождение через неё — случайные события: нек-рые фотоны проходят через пластинку, нек-рые отражаются от неё, но при большом N отношение N1/N2 находится в согласии с предсказанием волн. оптики. Количественно закономерности, проявляющиеся при случайных событиях, описываются с помощью теории вероятностей. Фотон может с вероятностью w1 пройти через пластинку и с вероятностью w2 отразиться от неё, так что в ср. пройдёт пластинку w1N ч-ц, а отразится w2N ч-ц. Если N очень велико, то средние (ожидаемые) значения чисел ч-ц точно совпадают с истинными. Все соотношения оптики могут быть переведены с языка интенсивностей на язык вероятностей, и тогда они будут относиться к поведению одного фотона. Вероятность того, что с фотоном произойдёт одно из двух альтернативных (взаимоисключающих) событий — прохождение или отражение, равна w1+w2=1. Это закон сложения вероятностей, соответствующий сложению интенсивностей. Вероятность прохождения через две одинаковые пластинки равна w21, а вероятность прохождения через первую и отражения от второй — w1w2 (что соответствует разделению света второй пластинкой на прошедший и отражённый в том же отношении, что и первой). Это закон умножения вероятностей, справедливый для независимых событий. Аналогичные опыты с пучком эл-нов или др. микрочастиц также показывают непредсказуемость поведения отд. ч-цы. Однако не только прямые опыты говорят в пользу того, что и в самом общем случае следует перейти к вероятностному описанию поведения микрочастиц. Теоретически невозможно представить, что одни микрочастицы описываются вероятностно, а другие классически: вз-ствие «классич.» ч-ц с «квантовыми» с необходимостью приводило бы к внесению квант. неопределённостей и делало бы поведение «классич.» ч-ц также непредсказуемым (в смысле классич. детерминизма). Т. о., возможная формулировка задачи К. м.— предсказание вероятностей разл. процессов (в отличие от классич. механики, предсказывающей в принципе достоверные события). Вероятностное описание возможно и в классич. механике: когда нач. условия заданы не точно, а с нек-рой степенью неопределённости, то и предсказания будут содержать неопределённости, т. е. носить в той или иной степени вероятностный хар-р. Примером служит классич. статистич. физика, оперирующая с усреднёнными величинами. Поэтому дистанция между строем мысли квант. и классич. механики была бы не столь велика, если бы осн. понятиями К. м. были именно вероятности.

Чтобы выяснить радикальное различие между К. м. и классич. механикой, усложним рассмотренный выше опыт по отражению света. Пусть отражённый пучок света (или микрочастиц) при помощи зеркала 3 (рис. 2) меняет направление и попадает в ту же область А (напр., в тот же детектор, регистрирующий фотоны), что и прошедший пучок. Естественно было бы ожидать, что в этом случае измеренная интенсивность равна сумме интенсивностей прошедшего и отражённого пучков. Однако известно, что в результате интерференции света интенсивность в зависимости от расположения зеркала и детектора может меняться в довольно широких пределах и даже обращаться в ноль (пучки как бы гасят друг друга). Что же можно сказать о поведении отд. фотона в пнтерференц. опыте? Вероятность его попадания в данный детектор существенно перераспределится по сравнению с первым опытом (рис. 1) и не будет равна сумме вероятностей прихода фотона в детектор первым и вторым путями, т. е. эти два пути не явл. альтернативными. Т. о., наличие двух возможных путей прихода фотона от источника к детектору существ. образом влияет на распределение вероятностей, и поэтому нельзя сказать, каким путём прошёл фотон от источника к детектору. Приходится считать, что он одновременно мог прийти двумя разл. путями. Аналогичный опыт, проведённый с пучками др. микрочастиц, даёт тот же результат. Возникающие представления действительно радикально отличаются от классических: невозможно представить себе движение ч-цы одновременно по двум путям. Но К. м. и не ставит такой задачи. Она лишь предсказывает результаты опытов с пучками ч-ц. Подчеркнём, что в данном случае не высказывается никаких гипотез, а даётся лишь интерпретация волн. опыта с точки зрения корпускулярных представлений. Полученный результат означает невозможность классич. описания движения ч-ц по траекториям, отсутствие наглядности квант. описания.

Попытаемся всё же выяснить, каким путём прошла ч-ца, поставив на возможных её путях детекторы. Естественно, что ч-ца будет зарегистрирована в к.-л. одном детекторе. Но как только измерение выделит определ. траекторию ч-цы, интерференц. картина исчезнет. Распределение вероятностей станет другим. Для возникновения интерференции нужны обе (все) возможные траектории. Т. о., регистрация траектории ч-цы так изменяет условия, что два пути становятся альтернативными, и в результате получается сложение интенсивностей (или вероятностей), к-рое было бы в случае «классич.» ч-ц, движущихся по определ. траекториям.

Для квант. явлений очень важно точное описание условий опыта, в к-рых наблюдается данное явление. В условия, в частности, входят и измерит. приборы. В классич. физике предполагается, что состояние системы при измерении не меняется. В квант. физике такое предположение несправедливо: измерит. прибор сам участвует в формировании изучаемого на опыте явления, и эту его роль нельзя не учитывать. Роль измерит. прибора в квант. явлениях была всесторонне проанализирована Бором и Гейзенбергом. Она тесно связана с соотношением неопределённостей (см. ниже).

Внимание к роли измерений не означает, что в К. м. не изучаются физ. явления безотносительно к приборам, напр. св-ва ч-ц «самих по себе». Примерами могут служить решаемые К. м. задачи об уровнях энергии атомов, о рассеянии микрочастиц при их столкновениях, об интерференц. явлениях. Роль прибора выступает на первое место тогда, когда ставятся специфич. вопросы, лишённые, как выяснилось, смысла, напр. вопрос о том, по какой траектории двигался эл-н в интерференц. опыте (т. к. либо нет траектории, либо нет интерференции).

Интерференц. опыт, как и опыт по отражению света, легко объясняется на основе волн. оптики. В оптике каждая волна характеризуется не только интенсивностью I или амплитудой А (I = А2), но и фазой j. Совокупность действит. величин А и j принято объединять в одно комплексное число — комплексную амплитуду: y=Aeij. Тогда

I=|y|2=y
• y=A2,

где y* — ф-ция, комплексно сопряжённая с y.

Т..к. непосредственно измеряется именно интенсивность, то для одной волны фаза не проявляется. В опыте с прохождением и отражением света (рис. 1) ситуация именно такая: имеются две волны с комплексными амплитудами y1 и y2, но одна из них существует только справа, а другая только слева от пластинки; интенсивности этих волн

I1=A21, I2=A22,

т. е. фазы не фигурируют. В интерференц. опыте (рис. 2) ситуация иная: волна с амплитудой y2 с помощью зеркала попадает в область нахождения волны с амплитудой y1. Волн. поле в области существования двух волн определяется с помощью принципа суперпозиции: волны складываются с учётом их фаз. Амплитуда суммарной волны y равна сумме комплексных амплитуд обеих волн:

y=y1+y2=A1еij1+A2еij2. (3)

Интенсивность суммарной волны зависит от разности фаз j1-j2 (к-рая пропорц. разности хода световых пучков по двум путям):

|y|2 =|А1еij2+A2еijj2|2=A21+A22+ 2A1A2cos(j1-j2). (4)

Если А1=А2 и cos(j1-j2)=-1, то|y|2=0.

В более общем случае из-за изменения условий опыта (напр., св-в зеркала) амплитуды могут изменяться по величине и фазе, так что комплексной амплитудой суммарной волны будет y=c1y1+с2y2, где c1 и с2 — комплексные числа. Суть явления при этом остаётся прежней. Хар-р явления не зависит также от общей интенсивности. Если увеличить y в С раз (С может быть как комплексным, так и действительным), то интенсивность увеличится в|С|2 раз, т. е.|С|2 будет общим множителем в ф-ле распределения интенсивностей.

Для интерпретации волн. явлений с корпускулярной точки зрения необходимо перенесение принципа суперпозиции в К. м. Поскольку К. м. имеет дело не с интенсивностями, а с вероятностями, следует ввести амплитуду вероятности y=Aeij, полагая (по аналогии с оптич. волнами), что вероятность w=|Cy|2=|C|2y*y. Здесь С — число, наз. нормировочным множителем, к-рый должен быть подобран так, чтобы суммарная вероятность обнаружения ч-цы во всех возможных местах равнялась единице, т. <е. Siwi=1. Множитель С определён только по модулю, фаза его произвольна. Нормировочный множитель важен только для определения абс. вероятности; относит. вероятности определяются амплитудами вероятности в произвольной нормировке. Амплитуда вероятности наз. в К. м. волновой функцией. Амплитуды вероятности, как и оптич. амплитуды, удовлетворяют принципу суперпозиции: если y1 и y2 — амплитуды вероятности прохождения ч-цы соотв. первым и вторым путём, то амплитуда вероятности для случая, когда осуществляются оба пути, должна быть равна: y=y1+y2. Тем самым фраза: «Ч-ца прошла двумя путями», приобретает волн. смысл, а вероятность w=|y1+y2|2 обнаруживает интерференц. св-ва.

Следует подчеркнуть, что смысл, вкладываемый в понятие суперпозиции в оптике (и др. волн. процессах) и в К. м., различен. Сложение (суперпозиция) обычных волн не противоречит наглядным представлениям, т. к. каждая из волн представляет возможный тип колебаний и суперпозиция соответствует сложению этих колебаний в каждой точке. Квантово-механические же амплитуды вероятности описывают альтернативные, с классич. точки зрения исключающие друг друга движения (напр., волны y1 и y2 соответствуют ч-цам, приходящим в детектор двумя разл. путями). Сложение таких движений совершенно непонятно с позиции классич. физики. В этом проявляется отсутствие наглядности квантовомеханич. принципа суперпозиции. Избежать формального логич. противоречия этого принципа в К. м. (возможность для ч-цы пройти одновременно двумя путями) позволяет вероятностная интерпретация. Постановка опыта по определению пути ч-цы приведет к тому, что с вероятностью|y1|2 ч-ца пройдёт первым и с вероятностью|y2|2 — вторым путём; суммарное распределение ч-ц на экране будет определяться вероятностью|y1|2+|y2l'2, т. е. интерференция исчезнет.

Т. о., рассмотрение интерференц. опыта приводит к след. выводам. Величиной, описывающей состояние физ. системы в К. м., явл. амплитуда вероятности, или волн. ф-ция системы; осн. черта такого квантовомеханич. описания — предположение о справедливости принципа суперпозиции состояний.

В общем виде принцип суперпозиции утверждает, что если в данных условиях возможны разл. квант. состояния ч-цы (или системы ч-ц), к-рым соответствуют волн. ф-ции y1, y2,..., yi..., то существует и состояние, описываемое волн. ф-цией

Siciyi,

где ci — произвольные комплексные числа. Если yi описывают альтернативные состояния, то|ci|2 определяет вероятность того, что система находится в состоянии с волн. ф-цией yi и

S|ci|2=1.

Волны де Бройля и соотношение неопределённостей. Одна из осн. задач К. м.— нахождение волн. ф-ции, отвечающей данному состоянию изучаемой системы. Рассмотрим решение этой задачи на простейшем (но важном) случае свободно движущейся ч-цы. Согласно де Бройлю, со свободной ч-цей, имеющей импульс р, связана волна с длиной l=h/p. Это означает, что волн. ф-ция свободной ч-цы y(z) — волна де Бройля — должна быть такой ф-цией координаты х, чтобы при изменении x на l волн. ф-ция y возвращалась к прежнему значению: y(x+l)=y(x). Таким св-вом обладает ф-ция ei2px/l=elkx, где k=2p/l — волн. число. Т. о., состояние ч-цы с определ. импульсом p=(h/2p)k=ћk описывается волновой ф-цией:

y=Ceikx=Ceipx/Ћ, (5)

где С — постоянное комплексное число. Квадрат модуля волн. ф-ции,|y|2, не зависит от х, т. е. вероятность нахождения ч-цы, описываемой такой y, в любой точке пр-ва одинакова. Другими словами, ч-ца со строго определ. импульсом совершенно нелокализована. Конечно, такая ч-ца — идеализация (но идеализацией явл. и волна со строго определ. длиной волны, а следовательно, и строгая определённость импульса ч-цы). Поэтому точнее сказать иначе: чем более определённым явл. импульс ч-цы, тем менее определённо её положение (координата). В этом заключается специфический для К. м. принцип неопределённости. Чтобы получить количеств. выражение этого принципа — соотношение неопределённостей, рассмотрим состояние, представляющее собой суперпозицию нек-рого (точнее, бесконечно большого) числа де-бройлевских волн с близкими k, заключёнными в малом интервале Dk. Получающаяся в результате суперпозиции волн. ф-ция y(x), наз. волновым пакетом, имеет такой хар-р: вблизи нек-рого фиксиров. значения x0 все амплитуды сложатся, а вдали от х0(|х—х0|->l) будут гасить друг друга из-за большого разнобоя в фазах. Оказывается, что практически такая волн. ф-ция сосредоточена в области шириной Ах, обратно пропорц. интервалу Dk, т. е.

Dx»1/Dk, или DxDp»Ћ,

где Dр=ћDk:—неопределённость импульса ч-цы. Это соотношение и представляет собой соотношение неопределённостей Гейзенберга.

Математически любую ф-цию y(x) с помощью преобразования Фурье можно представить как наложение простых периодич. волн, при этом соотношение неопределённостей между Dх и Dk получается математически строго. Точное соотношение имеет вид неравенства DxD?l/2, или

DрDх?ћ/2, (6)

где под неопределённостями Ар и Ах понимаются среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их ср. значений (т. е. дисперсии). Физ. интерпретация соотношения (6) заключается в том, что (в противоположность классич. механике) не существует такого состояния, в к-ром координата и импульс ч-цы имеют одновременно точные значения. Масштаб их неопределённостей задаётся постоянной Планка Ћ. Если неопределённости, связанные соотношением Гейзенберга, можно считать в данной задаче малыми и пренебречь ими, то движение ч-цы будет описываться законами классич. механики — как движение по определ. траектории.

Принцип неопределённости — фундам. принцип К. м., устанавливающий физ. содержание и структуру её матем. аппарата. Кроме того, он играет большую эвристич. роль, т. к. мн. результаты задач, рассматриваемых в К. м., могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классич. механики с соотношением неопределённостей. Важный пример — проблема устойчивости атома. Рассмотрим эту задачу для атома водорода. Пусть эл-н движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса r со скоростью v. По закону Кулона, сила притяжения эл-на к ядру равна

е2/r2,

где е — заряд эл-на, а центростремит. ускорение равно v2/r.

По второму закону Ньютона,

mv2/r=е2/r2,

где m — масса эл-на, т. е. радиус орбиты r=e2/mv2 может быть сколь угодно малым, если v достаточно велика.

Но в К. м. должно выполняться соотношение неопределённостей. Если допустить неопределённость положения эл-на в пределах радиуса его орбиты r, а неопределённость скорости — в пределах v, т. е. импульса в пределах Dp=mv, то соотношение неопределённостей примет вид: mvr?ћ. Учитывая связь между v и r, получим v?е2/ћ и r?ћ2/me2. Следовательно, движение эл-на по орбите с r• 10-8 см невозможно: эл-н не может упасть на ядро — атом устойчив. Величина r0 и явл. радиусом атома водорода (боровским радиусом). Ему соответствует максимально возможная энергия связи атома?0 (равная полной энергии эл-на в атоме, т. е. сумме кинетич. энергии mv2/2 и потенц. энергии — е2/r0, что составляет:?0=-е2/2r0»13,6 эВ), определяющая его мин. энергию — энергию осн. состояния.

Т. о., квантовомеханич. представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры атома, выразив его радиус через мировые постоянные ћ, т, е. «Малость» ат. размеров оказалась связанной с тем, что мала ћ.

Строгое решение задачи о движении эл-на в атоме водорода получается из квантовомеханич. ур-ния движения — ур-ния Шредингера (см. ниже); решение ур-ния Шредингера даёт волн. ф-цию y, к-рая описывает состояние эл-на, находящегося в области притяжения ядра. Но и не зная явного вида y, можно утверждать, что эта волн. ф-ция представляет собой такую суперпозицию волн де Бройля, к-рая соответствует локализации эл-на в области размером?r0 и разбросу по импульсам Dр = ћ/r0.

Соотношение неопределённостей позволяет также понять устойчивость молекул и оценить их размеры и мин. энергию, объясняет св-ва гелия, к-рый при норм. давлении ни при каких темп-pax не превращается в тв. состояние, даёт качеств. представления о структуре и размерах ядра и т. д.

Стационарное уравнение Шредингера. Волны де Бройля описывают состояние ч-цы только в случае свободного движения. Если на ч-цу действует поле сил с потенц. энергией V, зависящей от координат ч-цы, то её волн. ф-ция y определяется дифф. ур-нием, к-рое получается путём след. обобщения гипотезы де Бройля. Для случая одномерного свободного движения ч-цы (вдоль оси х) с пост. энергией? ур-ние, к-рому удовлетворяет волна де Бройля (5), может быть записано в виде:

где р=?2m? — импульс свободно движущейся ч-цы массы m. Если ч-ца с энергией? движется в потенц. поле, не зависящем от времени, то квадрат её импульса (определяемый законом сохранения энергии) равен: р2=2m(?-V(x)). Простейшим обобщением ур-ния (*) явл. поэтому ур-ние

Оно наз. стационарным (не зависящим от времени) уравнением Шрёдингера и относится к осн. ур-ниям К. м. Решение этого ур-ния зависит от вида сил, т. е. от вида потенциала, определяющего V(x). Рассмотрим два типичных случая.

1) Потенциальная стенка:

V=0 при х<0, V=V1>0 при х>0.

Если полная энергия ч-цы больше высоты стенки, т. е.?>V, и ч-ца движется слева направо (рис. 3), то решение ур-ния (7) в области x<0 имеет вид двух волн де Бройля — падающей и отражённой:

где ћ2k20/2m=p20/2m=? (волна с волн. числом k-=-k0 соответствует движению справа налево с тем же импульсом р0),

а при х > 0 — проходящей волны де Бройля:

y=C1eik1x,

где ћ2k21/2m=p21l2m=?-V1. Отношения|C1/C0|2 и|С'0/С0|2 определяют вероятности прохождения ч-цы над стенкой и отражения от неё. Наличие отражения (т. н. надбарьерное отражение) — специфически квантовомеханическое (волновое) явление (аналогичное частичному отражению световой волны от границы раздела двух прозрачных сред): «классич.» ч-ца свободно проходит над таким барьером (стенкой), и лишь импульс её уменьшается до значения р1=?((2m(e-V1)).

Если?0 отрицательна. В классич. механике это невозможно, и ч-ца не заходит в такую область пр-ва — она отражается от потенц. стенки. Волн. движение имеет др. хар-р. Отрицат. значение k2(p2/2m.=ћ2k2/2m<0) означает, что k — чисто мнимая величина, k=ic, где c вещественно. Поэтому волна eikx превращается в е-cx, т. е. колебат. режим сменяется затухающим (c>0, иначе получился бы лишённый физ. смысла неогранич. рост волны с увеличением х). Под энергетич. схемой на рис. 4,а (и рис. 4, б) изображено качеств. поведение y(x), точнее, её действит. части.

2) Две области, свободные от сил, разделены прямоуг. потенциальным барьером, и ч-ца движется к барьеру слева с энергией?

барьер. Коэфф. (или вероятность) проникновения будет тем больше, чем меньше ширина и высота (чем меньше разность V-?) барьера. Этот типично квантовомеханич. эффект, наз. туннельным эффектом, имеет большое значение в практич. приложениях К. м. Он объясняет, напр., явление альфа-распада (вылет из радио-акт. ядер a-частиц). В термояд. реакциях, протекающих при темп-рах в десятки и сотни млн. градусов, осн. масса реагирующих ядер преодолевает электростатическое (кулоновское) отталкивание и сближается на расстояния порядка действия яд. сил в результате туннельных переходов. Туннельный эффект объясняет также автоэлектронную эмиссию, контактные явления в металлах и ПП и мн. др. Уровни энергии. Рассмотрим поведение ч-цы в поле произвольной потенциальной ямы (рис. 5). Пусть V(x)?0 в нек-рой огранич. области, причём V(x)<0 (что соответствует силам притяжения). Как классическое, так и квант. движение существенно различны в зависимости от того, положительна или отрицательна полная энергия? ч-цы.

При?>0 «классич.» ч-ца проходит над ямой и удаляется от неё. В отличие от классич. случая, при квантовомеханич. движении происходит частичное отражение волны от ямы; при этом возможные значения энергии ч-цы ничем не ограничены — её энергия имеет непрерывный спектр. При?<0 ч-ца оказывается «запертой» внутри ямы. В классич. механике эта ограниченность области движения абсолютна и возможна при любых значениях?<0. В К. м. ситуация иная.

Волн. ф-ция должна затухать по обе стороны от ямы, т. е. иметь вид е-cc. Однако решение, удовлетворяющее этому условию, существует не при всех значениях?, а только при определённых дискретных значениях. Число таких дискр. значений?n может быть конечным или бесконечным, но всегда счётно, т. е. может быть перенумеровано, и всегда имеется низшее значение?0, лежащее выше дна потенц. ямы; номер решения n наз. квант. числом. Т. о., энергия ч-цы (или физ. системы) имеет дискретный спектр. Дискретность допустимых значений энергии системы (или соответствующих частот w=-?n/ћ, где w=2pn — круговая частота) — типично волн. явление. Его аналогии наблюдаются в классич. физике, когда волн. движение происходит в огранич. пр-ве. Так, частоты колебаний струны или частоты эл.-магн. волн в объёмном резонаторе дискретны и определяются размерами и св-вами границ области, в к-рой происходят колебания. Действительно, математически ур-ние Шредингера подобно соответствующим ур-ниям для струны или резонатора. Проиллюстрируем дискр. спектр энергии на примере квант. осциллятора. На рис. 6 по оси абсцисс отложено расстояние ч-цы от положения

равновесия. Кривая (парабола) изображает собой потенц. энергию ч-цы. В этом случае ч-ца при всех энергиях «заперта» внутри ямы, поэтому спектр энергии дискретен. Горизонтальные прямые изображают уровни энергии ч-цы. Энергия низшего уровня?=Ћw/2 — наименьшее значение энергии, совместимое с соотношением неопределённостей: положение ч-цы на дне ямы (?=0) означало бы точное равновесие, при к-ром x=0 и р=0, что невозможно, согласно принципу неопределённости. Следующие, более высокие уровни энергии осциллятора расположены на равных расстояниях с интервалом Ћw; ф-ла для энергии n-го уровня:

Над каждой горизонтальной прямой на рис. 6 приведена действит. часть волн. ф-ции данного состояния. Характерно, что число узлов волн. ф-ции равно квант. числу n уровня энергии. За пределами ямы волн. ф-ция быстро затухает.

В общем случае каждая квантовомеханич. система характеризуется своим энергетич. спектром. В зависимости от вида потенциала поля, определяющего потенц. энергию ч-цы (а следовательно, от хар-ра вз-ствия в системе), энергетич. спектр может быть либо дискретным (как у осциллятора), либо непрерывным (как у свободной ч-цы), либо частично дискретным, частично непрерывным (напр., уровни атома при энергиях возбуждения, меньших энергии ионизации, дискретны, а при больших энергиях — непрерывны).

Особенно важен случай, когда наинизшее значение энергии, соответствующее осн. состоянию системы, лежит в области дискр. спектра и, следовательно, осн. состояние отделено от первого возбуждённого состояния энергетич. интервалом, наз. энергетической щелью. Такая ситуация характерна для атомов, молекул, ядер и др. квант. систем. Благодаря энергетич. щели внутр. структура системы не проявляется до тех пор, пока обмен энергией при её вз-ствиях с др. системами не превысит определ. значения — ширины щели. Поэтому при огранич. обмене энергией сложная система (напр., ядро или атом) ведёт себя как бесструктурная ч-ца (матер. точка). Это имеет первостепенное значение для понимания, в частности, особенностей теплового движения ч-ц. Так, при энергиях теплового движения, меньших энергии возбуждения атома, ат. эл-ны не могут участвовать в обмене энергией и не дают вклада в теплоёмкость.

Временное уравнение Шредингера.

До сих пор рассматривались лишь возможные квант. состояния системы и не рассматривалась эволюция системы во времени (её динамика). Полное решение задач К. м. должно давать y как ф-цию координат и времени t. Для одномерного движения (вдоль оси х) она определяется ур-нием

являющимся ур-нием движения в К. м. и наз. временным уравнением Шредингера. Оно справедливо и в случае, когда потенц. энергия зависит от времени: V=V(х, t). Частными решениями ур-ния (9) явл. ф-ции

Здесь? — энергия ч-цы, a y(х) удовлетворяет стационарному ур-нию Шредингера (7); для свободного движения y(х) представляет собой волну де Бройля eikx и y(x, t) = ei(kx-wt). Волн. ф-ции (10) обладают тем важным св-вом, что соответствующие распределения вероятностей не зависят от времени, т. к.?y(x,t)?2=?y(x)?2. Поэтому состояния, описываемые такими волн. ф-циями, наз. стационарными; они играют особую роль в приложениях К. м. Общим решением временного ур-ния Шредингера явл. суперпозиция стационарных состояний. В этом (нестационарном) случае, когда вероятности существенно меняются со временем, энергия? системы не имеет определ. значения. Так, если y(x, t)=С1e(k1x-ww1t)+ + C2ei(k2x-w2t), то? =Ћw1 с вероятностью|С1|2 и?=Ћw2 с вероятностью|С2|2. Для энергии и времени существует соотношение неопределённостей:

D?Dt=ћ, (11)

где D? — дисперсия энергии, а Dt — промежуток времени, в течение к-рого энергия может быть измерена.

Трёхмерное движение. В общем случае движения ч-цы в трёх измерениях волн. ф-ция зависит от координат х, у, z и времени: y=y(х, у, z, t), а волна де Бройля имеет вид:

где рх, py, pz — три проекции импульса на оси координат, а?= (p2x+p2y +p2z)/2m. Соотв. имеются три соотношения неопределённостей:

Временное ур-ние Шредингера имеет вид:

Это ур-ние принято записывать в символич. форме:

дифф. оператор, наз. оператором Гамильтона или гамильтонианом. Стационарным решением ур-ния (14) является

y0 — решения ур-ния Шредингера для стационарных состояний:

При трёхмерном движении спектр энергии также может быть непрерывным и дискретным. Возможен и случай, когда неск. разных состояний, описываемых разными волн. ф-циями, имеют одинаковую энергию; такие состояния наз. вырожденными. В случае непрерывного спектра ч-ца уходит на бесконечно большое расстояние от центра сил. Но, в отличие от одномерного движения (когда были только две возможности — прохождение или отражение), при трёхмерном движении ч-ца может удалиться от центра под произвольным углом к направлению первонач. движения, т. е. рассеяться. Волн. ф-ция ч-цы теперь явл. суперпозицией не двух, а бесконечного числа волн де Бройля, распространяющихся по всевозможным направлениям. Рассеянные ч-цы удобно описывать в сферич. координатах, т. е. определять их положение расстоянием от центра (радиусом) r и двумя углами — широтой q и азимутом j. Соответствующая волн. ф-ция на больших расстояниях от центра сил имеет вид:

Первый член (пропорц. волне де Бройля, распространяющейся вдоль оси z) описывает падающие ч-цы, а второй (пропорц. «радиальной волне де Бройля») — рассеянные. Ф-ция f(q, j) наз. амплитудой рассеяния; она определяет дифф. сечение рассеяния da, характеризующее вероятность рассеяния под данными углами:

ds=|f(q, j)|2dW, (18)

где dW — элемент телесного угла, в к-рый происходит рассеяние.

Дискр. спектр энергии возникает (как и при одномерном движении), когда ч-ца оказывается внутри потенц. ямы. Уровни энергии нумеруют квант. числами, причём, в отличие от одномерного движения, не одним, а тремя.

Момент количества движения.

Очень важной задачей явл. движение в поле центр. сил притяжения. Угл. часть движения (вращение) определяется в К. м., как и в классической, заданием момента кол-ва движения М, к-рый при движении в поле центр. сил сохраняется. Но, в отличие от классич. механики, в К. м. момент может принимать только вполне определённые дискр. значения, т. е. имеет дискр. спектр. Это можно показать на примере орбитального (азимутального) движения ч-цы — вращения вокруг заданной оси (принимаемой за ось z). Волн. ф-ция в этом случае имеет вид «угл. волны де Бройля» еimj, где j — азимут, а число m так же связано с моментом Mz, как в плоской волне де Бройля волн. число k с импульсом р, т. е. m=Мz/ћ. Т. к. углы j и j+2p описывают одно и то же положение системы, то и волн. ф-ция при изменении j на 2p должна возвращаться к прежнему значению. Отсюда вытекает, что т может принимать только целые значения: m=0, ±1, ±2,..., т. <е. Мz может быть равен:

Mz=mћ=0, ±ћ, ±2ћ,... (19)

Вращение вокруг оси z — только часть угл. движения (проекция движения на плоскость ху), а Мz — проекция полного момента М на ось r.

Для определения М надо знать две остальные его проекции. Но в К. м. три составляющие момента не могут одновременно иметь точные значения. Действительно, проекция момента содержит произведение проекции импульса на соответствующее плечо — координату, перпендикулярную импульсу, а все проекции импульса и все плечи, согласно соотношениям неопределённостей (13), одновременно не могут принимать точно определ. значения. Оказывается, что кроме Mz, задаваемой числом m, можно одновременно точно задать величину момента, определяемую целым числом l:

M2=ћ2l(l+1), l=0, 1, 2,... (20)

Т. о., при описании угл. движения ч-цы вводятся два квант. числа — l и т. Число l наз. орбитальным квантовым числом; от него может зависеть значение энергии ч-цы (как в классич. механике от вытянутости орбиты). Число т наз. магнитным квантовым числом и при данном l может принимать значения 0, ±1, ±2,..., ±l — всего 2l+1 значений; от m энергия не зависит, т. к. само значение т зависит от выбора оси z, а поле сферически симметрично. Поэтому уровень с квант. числом l имеет (2l+1)-кратное вырождение. Энергия уровня начинает зависеть от т лишь тогда, когда сферич. симметрия нарушается, напр. при помещении системы в магн. поле (Зеемана эффект).

При заданном моменте радиальное движение похоже на одномерное движение с тем отличием, что вращение вызывает центробежные силы. Их учитывают введением (кроме обычной потенц. энергии) центробежной энергии М2/2m0r2=ћ2l(l+1)/2m0r2 (здесь m0 — масса ч-цы). Решение ур-ния Шредингера для радиальной части волн. ф-ции атома определяет его уровни энергии; при этом вводится третье квант. число — радиальное nr или главное n, к-рые связаны соотношением: n=nr+l+1, nr=0, 1, 2,..., n=1, 2, 3,.... В частности, для движения эл-на в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (водородоподобный атом) уровни энергии определяются ф-лой:

(me — масса эл-на), т. е. энергия зависит только от га. Для многоэлектронных атомов, в к-рых каждый эл-н движется не только в поле ядра, но и в поле остальных эл-нов, уровни энергии зависят также и от l.

На рис. 3 в статье Атом приведены распределения электронной плотности вокруг ядра в атоме водорода для состояний с низшими значениями квант. чисел n, l и m. Видно, что задание момента (чисел l и m) полностью определяет угл. распределение. В частности, при l=0(M2=0) распределение электронной плотности сферически симметрично. Т. о., квант. движение при малых l совершенно непохоже на классическое. Так, сферически симметричное состояние со ср. значением радиуса r?0 отвечает как бы классич. движению по круговой орбите (или по совокупности круговых орбит, наклонённых под разными углами), т. е. движению с ненулевым моментом. Это различие между квантовомеханич. и классич. движениями — следствие соотношения неопределённостей и может быть истолковано на его основе. При больших квант. числах длина волны де Бройля становится значительно меньше расстояний L, характерных для движения данной системы:

В этом случае квантовомеханич. законы движения приближённо переходят в классич. законы движения ч-ц по определ. траекториям, подобно тому как законы волн. оптики в аналогичных условиях переходят в законы геом. оптики. Условие малости де-бройлевской длины волны (22) означает, что pL ->ћ, где pL по порядку величины равно классич. действию для системы. В этих условиях квант действия ћ можно считать очень малой величиной, т. е. формально переход квантовомеханич. законов в классические осуществляется при ћ®0. В этом пределе исчезают все спецнфич. квантовомеханич. явления, напр. обращается в нуль вероятность туннельного эффекта.

Спин.

В К. м. ч-ца (как сложная, напр. ядро, так и элементарная, напр. эл-н) может иметь собств. момент кол-ва движения, наз. спином. Это означает, что ч-це можно приписать квант. число (J), аналогичное орбит. квант. числу l. Квадрат собств. момента кол-ва движения имеет величину ћ2/(J+1), а проекция момента на определ. направление может принимать 2J+1 значений от -ћJ до +ћJ с интервалом ћ. Т. о., состояние ч-цы (2J+1)-кратно вырождено. Поэтому волна де Бройля ч-цы со спином аналогична волне с поляризацией: при данной частоте и длине волны она имеет 2J+1 поляризаций. Число поляризаций может быть произвольным целым числом, т. е. спиновое квант. число J может быть как целым (0,1,2,...), так и полуцелым (1/2, 3/2, 5/2,...) числом. Напр., спин эл-на, протона, нейтрона равен 1/2 (в единицах ћ); спин ядер, состоящих из чётного числа нуклонов,— целый (или нулевой), а из нечётного — полуцелый. Отметим, что для фотона соотношение между числом поляризаций и спином (равным 1) другое: фотон не имеет массы покоя, а (как показывает релятив. К. м.) для таких ч-ц число поляризаций равно двум (а не 2J+1=3).

Системы многих частиц. Тождественные частицы.

Квантовомеханич. ур-ние движения для системы, состоящей из N ч-ц, получается соответствующим обобщением ур-ния Шредингера для одной ч-цы. Оно содержит потенц. энергию, зависящую от координат всех ч-ц, и включает как воздействие на них внеш. поля, так и вз-ствие ч-ц между собой. Волн. ф-ция также явл. ф-цией от координат всех ч-ц. Её можно рассматривать как волну в ЗN-мерном пр-ве; следовательно, наглядная аналогия с распространением волн в обычном пр-ве утрачивается. Но теперь это несущественно, поскольку известен смысл волн. ф-ции как амплитуды вероятности.

Если Квантовомеханич. системы состоят из одинаковых ч-ц, то в них наблюдается специфич. явление, не имеющее аналогии в классич. механике. В классич. механике случай одинаковых ч-ц тоже имеет нек-рую особенность. Пусть, напр., столкнулись две одинаковые «классич.» ч-цы (первая двигалась слева, а вторая — справа) и после столкновения разлетелись в разные стороны (напр., первая — вверх, вторая — вниз). Для результата столкновения не имеет значения, какая из ч-ц пошла, напр., вверх, поскольку ч-цы одинаковы,— практически надо учесть обе возможности (рис. 7, а и 7, б).

Однако в принципе в классич. механике можно различить эти два процесса, т. к. можно проследить за траекториями ч-ц во время столкновения. В К. м. траекторий, в строгом смысле этого слова, нет, и область столкновения обе ч-цы проходят с нек-рой неопределённостью, с «размытыми траекториями» (рис. 7, в). В процессе столкновения области размытия перекрываются, и невозможно даже в принципе различить эти два случая рассеяния. Следовательно, одинаковые ч-цы становятся полностью неразличимыми — тождественными. Не имеет смысла говорить о двух разных случаях рассеяния, есть только один случай — одна ч-ца пошла вверх, другая — вниз, индивидуальности у ч-ц нет. Этот квантовомеханич. принцип неразличимости одинаковых ч-ц можно сформулировать математически на языке волн. ф-ций. Нахождение ч-цы в данном месте пр-ва определяется квадратом модуля волн. ф-ции, зависящей от координат обеих ч-ц,|y(l, 2)|2, где 1 и 2 означают совокупность координат и спин соотв. первой и второй ч-цы. Тождественность ч-ц требует, чтобы при перемене местами ч-ц вероятности были одинаковыми, т. е.

|y(1, 2)|2=|y(2, 1)|2. (23)

Отсюда вытекают две возможности:

y(1, 2)=y(2, 1), (24, а)

y(1, 2) =-y(2, 1). (24, б)

Если при перемене ч-ц местами волн. ф-ция не меняет знака, то она наз. симметричной (случай (24,а)), если меняет,— антисимметричной (случай (24, б)). Т. к. все вз-ствия одинаковых ч-ц симметричны относительно переменных 1, 2, то св-ва симметрии или антисимметрии волн. ф-ции сохраняются во времени.

В системе из произвольного числа тождеств. ч-ц должна иметь место симметрия или антисимметрия относительно перестановки любой пары ч-ц. Поэтому св-во симметрии или антисимметрии — характерный признак данного сорта ч-ц. Соответственно, все ч-цы делятся на два класса: ч-цы с симметричными волн ф-циями наз. бозонами, с антисимметричными— фермионами. Существует связь между значением спина ч-ц и симметрией их волн. ф-ций: ч-цы с целым спином явл. бозонами, с полуцелым — фермионами (т. н. связь спина и статистики; см. ниже). Это правило сначала было установлено эмпирически, а затем доказано Паули теоретически (оно явл. одной из осн. теорем релятив. К. м.). В частности, эл-ны, протоны, нейтроны явл. фермионами, а фотоны, пи-мезоны, К-мезоны — бозонами. Сложные ч-цы (напр., ат. ядра), состоящие из нечётного числа фермионов, явл. фермионамн, а из чётного — бозонами.

Св-ва симметрии волн. ф-ции определяют статистические св-ва системы. Пусть, напр., невзаимодействующие тождеств. ч-цы находятся в одинаковых внеш. условиях (напр., во внеш. поле). Состояние такой системы можно определить, задав числа заполнения — числа ч-ц, находящихся в каждом данном (индивидуальном) состоянии, т. е. имеющих одинаковые наборы квант. чисел. Но если тождеств. ч-цы имеют одинаковые квант. числа, то их волн. ф-ция симметрична относительно перестановки ч-ц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, т. к. для фермионов волн. ф-ция должна быть антисимметричной. Это св-во наз. принципом запрета Паули или Паули принципом. Т. о., числа заполнения для фермионов могут принимать лишь значения 0 или 1. Т. <к. эл-ны явл. фермионами, то принцип Паули существенно влияет на поведение эл-нов в атомах, в молекулах и т. д. Для бозонов же числа заполнения могут принимать произвольные целые значения. Поэтому с учетом квантовомеханич. св-в тождеств. ч-ц существует два типа статистик ч-ц: Ферми — Дирака статистика для фермионов и Бозе — Эйнштейна статистика для бозонов. Пример системы, состоящей из фермионов (ферми-системы),— электронный газ в металле, пример бозе-системы — газ фотонов (т. е. равновесное эл.-магн. излучение), жидкий 4Не.

Принцип Паули явл. определяющим для понимания структуры периодич. системы элементов Менделеева. В сложном атоме на каждом уровне энергии может находиться число эл-нов, равное кратности вырождения этого уровня. Кратность вырождения зависит от орбит. квант. числа и от спина эл-на (s); она равна:

(2l+1)(2s+1)=2(2l+1).

Так возникает представление об электронных оболочках атома, отвечающих периодам в таблице элементов Менделеева (см. АТОМ).

Обменное взаимодействие. Химическая связь.

Молекула представляет собой связ. систему ядер и эл-нов, между к-рыми действуют электрические (кулоновскне) силы (притяжения и отталкивания). Т. к. ядра значительно тяжелее эл-нов, эл-ны движутся гораздо быстрее и образуют нек-рое распределение отрицат. заряда, в поле к-рого находятся ядра. В классич. механике и электростатике доказывается, что система такого типа не имеет устойчивого равновесия. Поэтому, даже если принять устойчивость атомов (к-рую нельзя объяснить на основе законов классич. физики), невозможно без специфически квантовомеханич. закономерностей объяснить устойчивость молекул. Особенно непонятно с точки зрения классич. представлений существование молекул из одинаковых атомов, т. е. с ковалентной хим. связью (напр., простейшей молекулы — Н2). Оказалось, что св-во антисимметрии электронной волн. ф-ции так изменяет хар-р вз-ствия эл-нов, находящихся у разных ядер, что возникновение такой связи становится возможным.

Рассмотрим для примера молекулу водорода Н2, состоящую из двух протонов и двух эл-нов. Волн. ф-ция такой системы представляет собой произведение двух ф-ций, одна из к-рых зависит только от координат, а другая — только от спиновых переменных обоих эл-нов. Если суммарный спин эл-нов равен нулю (спины антипараллельны), спиновая ф-ция антисимметрична относительно нерестановки спиновых переменных эл-нов, и для того чтобы полная волн. ф-ция (в соответствии с принципом Паули) была антисимметричной, координатная часть волн. ф-ции yr должна быть симметричной относительно перестановки координат эл-нов. Это означает, что yr имеет вид:

yr=ya(1) yb(2)+yb(1) ya(2), (25)

где ya(i), yb(i) — волн. ф-ции i-того эл-на (i=1,2) соотв. у ядра a и b.

Кулоновское вз-ствие пропорц. плотности электрич. заряда r=e|y|2=еyy*. При учёте св-в симметрии e|y|2, помимо плотности обычного вида:

e|y|(1)|2|2|yb(2)|2, e|yb(1)|2|ya(2)|2, соответствующих движению отд. эл-нов у разных ядер, появляется плотность вида:

ey*a(1)y*b(2)ya(2),

ey*b(1)y*b(2)ya(2), ey*b(l)ya(l)y*a(2)yb(2).

Она паз. обменной плотностью, потому что возникает как бы за счёт обмена эл-нами между двумя атомами. Именно эта обменная плотность, приводящая к увеличению плотности отрицат. заряда между двумя положительно заряж. ядрами, и обеспечивает устойчивость молекулы в случае ковалентной хим. связи. При суммарном спине эл-нов, равном единице, yr антисимметрична, т. е. в (25) перед вторым слагаемым стоит знак минус, и обменная плотность имеет отрицат. знак, а следовательно, уменьшает плотность отрицат. электрич. заряда между ядрами, приводит как бы к дополнит. отталкиванию ядер. Т. о., симметрия волн. ф-ции приводит к «дополнительному», обменному взаимодействию. Характерна зависимость этого вз-ствия от спинов эл-нов. Непосредственно динамически спины не участвуют во вз-ствии — источником вз-ствия явл. электрич. силы, зависящие только от расстояния между зарядами, но в зависимости от ориентации спинов волн. ф-ция, антисимметричная относительно перестановки двух эл-нов (вместе с их спинами), может быть симметричной или антисимметричной относительно перестановки только положения эл-нов (их координат). От типа же симметрии yr зависит знак обменной плотности и соотв. эфф. притяжение или отталкивание ч-ц в результате обменного вз-ствия. Так, спины эл-нов благодаря квантовомеханич. специфике св-в тождеств. ч-ц фактически определяют хим. связь. Расчёты строения и св-в молекул на основе К. м. явл. предметом квантовой химии.

Обменное вз-ствие играет существ. роль во мн. явлениях, напр. объясняет ферромагнетизм. Множество явлений в конденсиров. телах тесно связано со статистикой образующих их ч-ц и с обменным вз-ствием. Условие антисимметрии волн. ф-ции для фермионов приводит к тому, что они при большой плотности как бы эффективно отталкиваются друг от друга, даже если между ними не действуют никакие силы. В то же время между бозонами, к-рые описываются симметричными волн. ф-циями, возникают как бы силы притяжения: чем больше бозонов находится в к.-л. состоянии, тем больше вероятность перехода др. бозонов системы в это состояние (подобного рода эффекты лежат в основе сверхтекучести и сверхпроводимости, принципа работы квант. генераторов и квант. усилителей).

Математическая схема квантовой механики. Нерелятив. К. м. может быть построена на основе немногих формальных принципов. Матем. аппарат К. м. обладает логич. безупречностью и изяществом. Чёткие правила устанавливают соотношение между элементами матем. схемы и физ. величинами.

Первым осп. понятием К. м. явл. квантовое состояние. Выбор матем, аппарата К. м. диктуется физ. принципом суперпозиции квант. состояний, вытекающим из волн. св-в ч-ц. Согласно этому принципу, суперпозиция любых возможных состояний системы, взятых с произвольными (комплексными) коэффициентами, явл. также возможным состоянием системы. Объекты, для к-рых определены понятия сложения и умножения на комплексное число, наз. векторами. Т. о., принцип суперпозиции требует, чтобы состояние системы описывалось нек-рым вектором — вектором состояния (с к-рым тесно связано понятие амплитуды вероятности, или волн. ф-ции), являющимся элементом линейного «пр-ва состояний». Это позволяет использовать матем. аппарат, развитый для линейных (векторных) пр-в. Вектор состояния обозначается, по Дираку,|y>. Кроме сложения и умножения на комплексное число, вектор|y> может подвергаться ещё двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на другой вектор, т. е. составить скалярное произведение|y> с любым другим вектором состояния|y'>; оно обозначается как и явл. комплексным числом, причём

*. (26)

Скалярное произведение вектора|y|> с самим собой, ,— положит. число; оно определяет длину (норму) вектора. Длину вектора состояния удобно выбрать равной единице; его общий фазовый множитель произволен. Разл. состояния отличаются друг от друга направлением вектора состояния в пр-ве состояний.

Во-вторых, можно рассмотреть операцию перехода от вектора|y> к другому вектору|y'> или произвести преобразование|y>®|y'>. Символически эту операцию можно записать как результат действия на|y> нек-рого линейного оператора L^:

При этом|y'> может отличаться от|y> длиной и направлением. Линейные операторы, в силу принципа суперпозиции состояний, имеют в К. <м. особое значение; в результате воздействия линейного оператора на суперпозицию произвольных векторов|y1> и|y2> получается суперпозиция преобразованных векторов:

Важную роль для оператора L^ играют такие векторы|y>?|yl>, для к-рых|y'> совпадает по направлению с|y>, т. е.

где l — число. Векторы|yl > наз. собственными векторами оператора L^, а числа l, — его собственными значениями. Собств. векторы|yl> принято обозначать просто|l>, т. е.|yl>?|l>. Собств. значения l образуют либо дискр. ряд чисел (тогда говорят, что оператор L^ имеет дискр. спектр), либо непрерывный набор (непрерывный спектр), либо частично дискретный, частично непрерывный.

Очень важный для К. м. класс операторов составляют линейные эрмитовы операторы, собств. значения l к-рых вещественны. Собств. векторы эрмитового оператора, принадлежащие разл. собств. значениям, ортогональны друг к другу, т. е.

Из них можно построить ортогональный базис («декартовы оси координат») в пр-ве состояний. Удобно нормировать эти базисные векторы на единицу: можно разложить по этому базису:

При этом:

что эквивалентно теореме Пифагора; если|y> нормирован на единицу, то

Принципиальное значение для построения матем. аппарата К. м. имеет тот факт, что для каждой физ. величины существуют нек-рые выделенные состояния системы, в к-рых эта величина принимает вполне определённое (единств.) значение. По существу это св-во явл. определением измеримой (физ.) величины, а состояния, в к-рых физ. величина имеет определ. значение, наз. собственными состояниями этой, величины.

Согласно принципу суперпозиции, любое состояние системы может быть представлено в виде суперпозиции собств. состояний к.-л. физ. величины. Возможность такого представления математически аналогична возможности разложения произвольного вектора по собств. векторам линейного эрмитового оператора. В соответствии с этим в К. м. каждой физ. величине, или наблюдаемой, L (координате, импульсу, моменту кол-ва движения, энергии и т. д.) ставится в соответствие линейный эрмитов оператор L^. Собств. значения l оператора L^ интерпретируются как возможные значения физ. величины L, получающиеся при измерениях. Если вектор состояния|y> — собств. вектор оператора L^, то физ. величина L имеет определ. значение. В противном случае L принимает разл. значения l с вероятностью|сl|2, где сl — коэфф. разложения|y> по|l>:

|y?Slcl|l>. (34)

Коэфф. cl= разложения|y> в базисе|l> наз. также волн. ф-цией в l-представлении. В частности, волн. ф-ция y(х) представляет собой коэфф. разложения вектора состояния|y> по собств. векторам оператора координаты х^:

y(x)=

Ср. значение L наблюдаемой L в данном состоянии определяется коэфф. сl, согласно общему соотношению между вероятностью и ср. значением:

Значение L можно найти непосредственно через L^ и|y> (без определения коэфф. сl) по ф-ле:

Вид линейных эрмитовых операторов, соответствующих таким физ. величинам, как импульс, момент кол-ва движения, энергия, постулируется на основе общих принципов определения этих величин и соответствия принципа, требующего, чтобы в пределе Ћ®0 рассматриваемые физ. величины принимали «классич.» значения. Вместе с тем в К. м. вводятся нек-рые линейные эрмитовы операторы (напр., отвечающие преобразованию векторов состояния при отражении осей координат (пространственной инверсии), перестановке одинаковых ч-ц), к-рым соответствуют измеримые физ. величины, не имеющие классич. аналогов (напр., чётность).

С операторами можно производить алгебр. действия сложения и умножения. Но, в отличие от обычных чисел (к-рые в К. м. наз. с-числами), операторы явл. такими «числами» (q-числами), для к-рых операция умножения некоммутативна. Если L^ и М^ — два оператора, то в общем случае их действие на произвольный вектор|y> в разл. порядке даёт разные векторы: L^М^|y>?М^L^|y>, т. е. L^M^? M^L^. Величина L^M^-M^L^ обозначается как (L^, M^) и наз. коммутатором. Только если два оператора переставимы (коммутируют), т. е. (L^, М^)=0, у них могут быть общие собств. векторы и, следовательно, наблюдаемые L и М могут одновременно иметь определённые (точные) значения l и m. В остальных случаях эти величины не имеют одновременно определ. значений, и тогда они связаны соотношением неопределённостей. Можно показать, что если (L^, М^)=с, то

DLDM?|c|/2,

где DL и DM — среднеквадратичные отклонения от ср. значений для соответствующих величин.

Возможна такая матем. формулировка, в к-рой формальный переход от классич. механики к К. м. осуществляется заменой с-чисел соответствующими q-числами. Сохраняются и ур-ния движения, но они превращаются в уравнения для операторов. Из этой формальной аналогии между К. м. и классич. механикой можно найти осн. коммутационные (перестановочные) соотношения. Так, для координаты и импульса (х^, p^)=iћ. Отсюда следует соотношение неопределённостей DрDх?ћ/2. Из перестановочных соотношений можно получить, в частности, явный вид оператора импульса в координатном представлении. Тогда волн. ф-ция есть y(x), a оператор импульса — дифф. оператор

Можно показать, что спектр его собств значений непрерывен, а амплитуда вероятности есть де-бройлевская волна (|р> — собств. вектор оператора импульса р^). Если задана энергия системы Н(р, х) как ф-цня координат и импульсов ч-ц, то знание коммутатора (х^, р^) достаточно для нахождения (Н^, р^), (Н^, х^), а также уровней энергии как собств. значений оператора полной энергии Н^.

На основании определения момента кол-ва движения Mz=xpy- урх,... можно получить, что|Мx, Мy|=iћM^z. Эти коммутац. соотношения справедливы и при учёте спинов ч-ц; оказывается, что они достаточны для определения собств. значения квадрата полного момента: M2=Ћ2j (j+1), где квант. число j — целое или полуцелое число, и его проекции:

Mz=mћ, m=-j,-j+1,...,+j. Ур-ния движения квантовомеханич. системы могут быть записаны в двух формах:

в виде ур-ния для вектора состояния

наз. шрёдингеровской формой ур-ния движения,

и в виде ур-ния для операторов (q-чисел)

наз. гейзенберговской формой ур-ний движения (наиб. близкой классич. механике). Из (38), в частности, следует, что ср. значения физ. величин изменяются по законам классич. механики; это положение наз. теоремой Эренфеста.

Для логич. структуры К. м. характерно присутствие двух разнородных по своей природе составляющих. Вектор состояния (волн. ф-ция) однозначно определён в любой момент времени, если задан в нач. момент при известном вз-ствии системы. В этой части теория вполне детерминистична. Но вектор состояния не есть наблюдаемая величина. О наблюдаемых на основе знания|y> можно сделать лишь статистические (вероятностные) предсказания. Результаты индивидуального измерения над квант. объектом в общем случае непредсказуемы. Предпринимались попытки восстановить идею полного детерминизма в классич. смысле введением предположения о неполноте квантовомеханнч. описания. Напр., высказывалась гипотеза о наличии у квант. объектов дополнит. степеней свободы — «скрытых параметров», учёт к-рых сделал бы поведение системы полностью детерминированным в смысле классич. механики; неопределённость возникает только вследствие того, что эти «скрытые параметры» неизвестны и не учитываются. Однако амер. учёный Дж. фон Нейман доказал теорему о невозможности нестатистич. интерпретации К. м. при сохранении её осн. положения о соответствии между наблюдаемыми (физ. величинами) и операторами.

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, в физике - приложение КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ к объяснению поведения элементарных частиц, например, ЭЛЕКТРОНОВ. В свете этой теории волны и частицы являются взаимозаменяемыми понятиями. Еще в 1905 г. Альберт ЭЙНШТЕЙН выдвинул утверждение, что волновое излучение обладает некоторыми свойствами вещества. Однако начало развитию этой теории положил в 1924 г. французский физик Луи де БРОЙЛЬ, который предположил обратное, т.е. что частицы обладают волновыми свойствами. В 1926 г. австрийский физик Эрвин ШРЕДИНГЕР использовал эту гипотезу для предсказания поведения частиц на основе волновых свойств, но годом раньше немецкий физик Вернер ГЕЙЗЕНБЕРГ разработал математическую модель, эквивалентную теории Шредингера, не используя понятия волны вообще.

В 1928 г. английский физик Поль ДИРАК объединил все эти подходы, введя в квантовую механику понятие относительности. На этой основе в 1940-е гг. американский физик Ричард ФЕЙНМАН разработал КВАНТОВУЮ ЭЛЕКТРОДИНАМИКУ. см. такжеКВАНТОВЫЕ ЧИСЛА.

Физика девятнадцатого столетия не сумела объяснить некоторые замеченные феномены, прежде всего, наличие определенного спектра длины волны излучения, испускаемого разогретыми объектами. На рисунке кривая А представляет собой спектр излучения (интенсивность при различной длине волны), который согласно теории дол жен был бы наблюдаться при температурах около 1400°С (по горизонтали отложена шкала с делениями по 1(Н см). Кривая В — это реально наблюдаемый спектр. Отметим, что теоретический спектр совершенно не совпадает с реальным, поскольку предсказывает бесконечную интенсивность при самых коротких волнах — прогноз такого рода называют «ультрафиолетовой катастрофой». Теория XIX в. основывалась на представлении, что излучение испускается вибрирующими, электрически поляризованными единицами — диполями (1), энергия и частота вибрации которых в принципе могла иметь любую величину. Затруднение было разрешено в начале XX в., когда Планк предложил считать, что каждый диполь может вибрировать только при некоторых уровнях энергии, связанных с его частотой формулой Е = nftv, где п равно 1.2,3 и т. д., а А—универсальная постоянная; в этом случае вибрация с более высокой частотой (3) будет иметь более высокую минимальную энергию.

фундаментальная физическая теория динамического поведения всех элементарных форм вещества и излучения, а также их взаимодействий. Квантовая механика представляет собой теоретическую основу, на которой строится современная теория атомов, атомных ядер, молекул и физических тел, а также элементарных частиц, из которых все это состоит. Квантовая механика была создана учеными, стремившимися понять, как устроен атом. Атомные процессы в течение многих лет изучали физики и особенно химики; при изложении данного вопроса мы будем, не вдаваясь в подробности теории, следовать историческому ходу развития предмета. См. также АТОМ.

Зарождение теории. Когда Э.Резерфорд и Н.Бор предложили в 1911 ядерную модель атома, это было подобно чуду. В самом деле, она была построена из того, что было известно уже более 200 лет. Это была, в сущности, коперниковская модель Солнечной системы, воспроизведенная в микроскопическом масштабе: в центре находится тяжелая масса, вскоре получившая название ядра, вокруг которой вращаются электроны, числом которых определяются химические свойства атома. Но мало того, за этой наглядной моделью стояла теория, которая позволила начать расчеты некоторых химических и физических свойств веществ, по крайней мере построенных из наименьших и наиболее простых атомов. Теория Бора - Резерфорда содержала ряд положений, которые здесь полезно напомнить, поскольку все они в том или ином виде сохранились и в современной теории. Во-первых, важен вопрос о природе сил, связывающих атом. С 18 в. было известно, что электрически заряженные тела притягивают или отталкивают друг друга с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Используя в качестве пробных тел альфа-частицы, возникающие в результате радиоактивных превращений, Резерфорд показал, что тот же самый закон электрического взаимодействия (закон Кулона) справедлив в масштабах, в миллион миллионов раз меньших тех, для которых он был первоначально экспериментально установлен. Во-вторых, нужно было ответить на вопрос о том, как электроны движутся по орбитам под действием этих сил. Здесь вновь опыты Резерфорда, казалось бы, показывали (и Бор принял это в своей теории), что законы движения Ньютона, сформулированные в его Началах (Principia Mathematica, 1687), можно использовать для описания движения частиц в этих новых масштабах микромира. В-третьих, вставал вопрос о стабильности. В ньютоновско-кулоновском атоме, как и в Солнечной системе, размеры орбит произвольны и зависят лишь от того, каким образом система была первоначально приведена в движение. Однако все атомы одного вещества одинаковы и к тому же стабильны, что совсем необъяснимо с точки зрения старых представлений. Бор высказал предположение, что атомные электроны следует рассматривать как движущиеся вокруг ядра лишь по определенным орбитам, которым отвечают определенные энергетические уровни, причем они должны испускать квант энергии в виде света, переходя с орбиты с более высокой энергией на орбиту с меньшей энергией. Такие "условия квантования" не вытекали ни из каких экспериментальных данных или теорий; они были приняты как постулаты. На основе этих концептуальных элементов, дополненных только что развитыми в то время представлениями М.Планка и А.Эйнштейна о природе света, Бору удалось количественно объяснить весь спектр излучения атомов водорода в газоразрядной трубке и дать качественное объяснение всех основных закономерностей периодической системы элементов. К 1920 пришло время взяться за проблему спектра излучения более тяжелых атомов и вычислить интенсивность химических сил, связывающих атомы в соединениях. Но здесь иллюзия успеха померкла. На протяжении ряда лет Бор и другие исследователи безуспешно пытались рассчитать спектр гелия - следующего за водородом простейшего атома с двумя электронами. Сначала вообще ничего не получалось; в конце концов несколько исследователей различными способами решили эту задачу, но ответ оказался неверным - он противоречил эксперименту. Затем выяснилось, что вообще невозможно построить сколько-нибудь приемлемую теорию химического взаимодействия. К началу 1920-х годов теория Бора исчерпала себя. Пришло время признать справедливость пророческого замечания, которое Бор еще в 1914 сделал в письме другу в присущем ему замысловатом стиле: "Я склонен полагать, что проблема связана с исключительно большими трудностями, которые можно будет преодолеть, лишь гораздо дальше отойдя от обычных соображений, чем требовалось до сих пор, и что достигнутый ранее успех был обусловлен исключительно простотой рассматривавшихся систем".

См. также

БОР Нильс Хенрик Давид;

СВЕТ;

РЕЗЕРФОРД Эрнест;

СПЕКТРОСКОПИЯ.

Первые шаги. Поскольку использованная Бором комбинация существовавших ранее представлений из области электричества и механики с условиями квантования привела к неверным результатам, все это нужно было полностью или частично изменить. Основные положения теории Бора были приведены выше, а для соответствующих расчетов было достаточно не очень сложных выкладок с использованием обычной алгебры и математического анализа. В 1925 молодой немецкий физик В.Гейзенберг посетил Бора в Копенгагене, где провел с ним долгие часы в беседах, выясняя, что из теории Бора обязательно должно войти в будущую теорию, а от чего в принципе можно и отказаться. Бор и Гейзенберг сразу же согласились, что в будущей теории обязательно должно быть представлено все непосредственно наблюдаемое, а все не поддающееся наблюдению может быть изменено или исключено из рассмотрения. С самого начала Гейзенберг считал, что следует сохранить атомы, но орбиту электрона в атоме считать абстрактной идеей, поскольку ни один эксперимент не позволяет определить электронную орбиту по результатам измерений наподобие того, как это можно сделать для орбит планет. Читатель может заметить, что тут есть определенная нелогичность: строго говоря, атом столь же ненаблюдаем непосредственно, как и электронные орбиты, и вообще в нашем восприятии окружающего мира нет ни одного ощущения, которое не требовало бы разъяснения. В наши дни физики все чаще цитируют известный афоризм, который был впервые произнесен Эйнштейном в беседе с Гейзенбергом: "Что именно мы наблюдаем, нам говорит теория". Таким образом, различие между наблюдаемыми и ненаблюдаемыми величинами носит чисто практический характер, не имея никакого обоснования ни в строгой логике, ни в психологии, причем это различие, как бы оно ни проводилось, должно рассматриваться как часть самой теории. Поэтому гейзенберговский идеал теории, очищенной от всего ненаблюдаемого, есть некое направление мысли, но отнюдь не последовательный научный подход. Тем не менее он доминировал в атомной теории почти полвека после того, как был впервые сформулирован. Мы уже напоминали о составных элементах ранней модели Бора, таких, как закон Кулона для электрических сил, законы динамики Ньютона и обычные правила алгебры. Путем тонкого анализа Гейзенберг показал, что можно сохранить известные законы электричества и динамики, если найти надлежащее выражение для динамики Ньютона, а затем изменить правила алгебры. В частности, Гейзенберг высказал мысль, что, поскольку ни положение q, ни импульс p электрона не являются измеримыми величинами в том смысле, в каком ими являются, например, положение и импульс автомобиля, мы можем при желании сохранить их в теории, лишь рассматривая как математические символы, обозначаемые буквами, но не как числа. Он принял для p и q алгебраические правила, согласно которым произведение pq не совпадает с произведением qp. Гейзенберг показал, что простые расчеты атомных систем дают приемлемые результаты, если принять, что для положения q и импульса p выполняется соотношение

где h - постоянная Планка, уже известная из квантовой теории излучения и фигурировавшая в теории Бора, а. Постоянная Планка h представляет собой обычное число, но очень малое, приблизительно 6,6Ч10-34 Дж*с. Таким образом, если p и q - величины обычного масштаба, то разность произведений pq и qp будет крайне мала по сравнению с самими этими произведениями, так что p и q можно считать обычными числами. Построенная для описания явлений микромира, теория Гейзенберга почти полностью согласуется с механикой Ньютона, когда ее применяют к макроскопическим объектам. Уже в самых ранних работах Гейзенберга было показано, что при всей неясности физического содержания новой теории она предсказывает существование дискретных энергетических состояний, характерных для квантовых явлений (например, для испускания света атомом). В более поздней работе, выполненной совместно с М. Борном и П. Йорданом в Геттингене, Гейзенберг развил формальный математический аппарат теории. Практические вычисления остались, однако, крайне сложными. После нескольких недель напряженной работы В.Паули вывел формулу для энергетических уровней атома водорода, совпадающую с формулой Бора. Но прежде чем удалось упростить вычисления, появились новые и совершенно неожиданные идеи. См. также

АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ;

ПЛАНКА ПОСТОЯННАЯ.

Частицы и волны. К 1920 физики были уже довольно хорошо знакомы с двойственной природой света: результаты одних экспериментов со светом можно было объяснить, предполагая, что свет представляет собой волны, а в других он вел себя подобно потоку частиц. Поскольку казалось очевидным, что ничто не может быть в одно и тоже время и волной, и частицей, ситуация оставалась непонятной, вызывая горячие споры в среде специалистов. В 1923 французский физик Л.де Бройль в опубликованных им заметках высказал предположение, что столь парадоксальное поведение, может быть, не является спецификой света, но и вещество тоже может в одних случаях вести себя подобно частицам, а в других подобно волнам. Исходя из теории относительности, де Бройль показал, что если импульс частицы равен p, то "ассоциированная" с этой частицей волна должна иметь длину волны l = h/p. Это соотношение аналогично впервые полученному Планком и Эйнштейном соотношению E = hn между энергией светового кванта Е и частотой n соответствующей волны. Де Бройль показал также, что эту гипотезу можно легко проверить в экспериментах, аналогичных опыту, демонстрирующему волновую природу света, и настойчиво призывал к проведению таких опытов. Заметки де Бройля привлекли внимание Эйнштейна, и к 1927 К.Дэвиссон и Л.Джермер в Соединенных Штатах, а также Дж. Томсон в Англии подтвердили для электронов не только основную идею де Бройля, но и его формулу для длины волны. В 1926 работавший тогда в Цюрихе австрийский физик Э. Шредингер, прослышав о работе де Бройля и предварительных результатах экспериментов, подтверждавших ее, опубликовал четыре статьи, в которых представил новую теорию, явившуюся прочным математическим обоснованием этих идей. Такая ситуация имеет свой аналог в истории оптики. Одной уверенности в том, что свет есть волна определенной длины, недостаточно для детального описания поведения света. Необходимо еще написать и решить выведенные Дж.Максвеллом дифференциальные уравнения, подробно описывающие процессы взаимодействия света с веществом и распространение света в пространстве в виде электромагнитного поля. Шредингер написал дифференциальное уравнение для материальных волн де Бройля, аналогичное уравнениям Максвелла для света. Уравнение Шредингера для одной частицы имеет вид

где m - масса частицы, Е - ее полная энергия, V(x) - потенциальная энергия, а y - величина, описывающая электронную волну. В ряде работ Шредингер показал, как можно использовать его уравнение для вычисления энергетических уровней атома водорода. Он установил также, что существуют простые и эффективные способы приближенного решения задач, не поддающихся точному решению, и что его теория волн материи в математическом отношении полностью эквивалентна алгебраической теории наблюдаемых величин Гейзенберга и во всех случаях приводит к тем же результатам. П.Дирак из Кембриджского университета показал, что теории Гейзенберга и Шредингера представляют собой лишь две из множества возможных форм теории. Теория преобразований Дирака, в которой важнейшую роль играет соотношение (1), обеспечила ясную общую формулировку квантовой механики, охватывающую все остальные ее формулировки в качестве частных случаев. Вскоре Дирак добился неожиданно крупного успеха, продемонстрировав, каким образом квантовая механика обобщается на область очень больших скоростей, т.е. приобретает вид, удовлетворяющий требованиям теории относительности. Постепенно стало ясно, что существует несколько релятивистских волновых уравнений, каждое из которых в случае малых скоростей можно аппрокcимировать уравнением Шредингера, и что эти уравнения описывают частицы совершенно разных типов. Например, частицы могут иметь разный "спин"; это предусматривается теорией Дирака. Кроме того, согласно релятивистской теории, каждой из частиц должна соответствовать античастица с противоположным знаком электрического заряда. В то время, когда вышла работа Дирака, были известны только три элементарные частицы: фотон, электрон и протон. В 1932 была открыта античастица электрона - позитрон. На протяжении нескольких последующих десятилетий было обнаружено много других античастиц, большинство из которых, как оказалось, удовлетворяли уравнению Дирака или его обобщениям. Созданная в 1925-1928 усилиями выдающихся физиков квантовая механика не претерпела с тех пор в своих основах каких-либо существенных изменений.

См. также АНТИВЕЩЕСТВО.

Приложения. Во всех разделах физики, биологии, химии и техники, в которых существенны свойства вещества в малых масштабах, теперь систематически обращаются к квантовой механике. Приведем несколько примеров. Всесторонне исследована структура электронных орбит, наиболее удаленных от ядра атомов. Методы квантовой механики были применены к проблемам строения молекул, что привело к революции в химии. Структура молекул обусловлена химическими связями атомов, и сегодня сложные задачи, возникающие при последовательном применении квантовой механики в этой области, решаются с помощью компьютеров. Большое внимание привлекли к себе теория кристаллической структуры твердых тел и особенно теория электрических свойств кристаллов. Практические результаты впечатляют: примерами их могут служить изобретение лазеров и транзисторов, а также значительные успехи в объяснении явления сверхпроводимости.

См. также

ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА;

ЛАЗЕР;

ТРАНЗИСТОР;

СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ. Многие проблемы еще не решены. Это касается структуры атомного ядра и физики элементарных частиц. Время от времени обсуждается вопрос о том, не лежат ли проблемы физики элементарных частиц за пределами квантовой механики, подобно тому как структура атомов оказалась вне области применимости динамики Ньютона. Однако до сих пор нет никаких указаний на то, что принципы квантовой механики или ее обобщения в области динамики полей где-то оказались неприменимыми. Более полувека квантовая механика остается научным инструментом с уникальной "объясняющей способностью" и не требует существенных изменений своей математической структуры. Поэтому может показаться удивительным, что до сих пор ведутся острые дебаты (см. ниже) по поводу физического смысла квантовой механики и ее истолкования.

См. также

АТОМА СТРОЕНИЕ;

АТОМНОГО ЯДРА СТРОЕНИЕ;

МОЛЕКУЛ СТРОЕНИЕ;

ЧАСТИЦЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ.

Вопрос о физическом смысле. Корпускулярно-волновой дуализм, столь очевидный в эксперименте, создает одну из самых трудных проблем физической интерпретации математического формализма квантовой механики. Рассмотрим, например, волновую функцию, которая описывает частицу, свободно движущуюся в пространстве. Традиционное представление о частице, помимо прочего, предполагает, что она движется по определенной траектории с определенным импульсом p. Волновой функции приписывается длина волны де Бройля l = h/p, но это характеристика такой волны, которая бесконечна в пространстве, а потому не несет информации о местонахождении частицы. Волновую функцию, локализующую частицу в определенной области пространства протяженностью Dx, можно построить в виде суперпозиции (пакета) волн с соответствующим набором импульсов, и если искомый диапазон импульсов равен Dp, то довольно просто показать, что для величин Dx и Dp должно выполняться соотношение DxDp і h/4p. Этим соотношением, впервые полученным в 1927 Гейзенбергом, выражается известный принцип неопределенности: чем точнее задана одна из двух переменных x и p, тем меньше точность, с которой теория позволяет определить другую.

ИМПУЛЬС И ПОЛОЖЕНИЕ частицы не могут быть известны одновременно. Если импульс точно известен, то частица может находиться где угодно на волне, уходящей в бесконечность. Если же импульс точно не известен, то частица может быть локализована с точностью, соответствующей интервалу длины Dx.

Соотношение Гейзенберга могло бы рассматриваться просто как недостаток теории, но, как показали Гейзенберг и Бор, оно соответствует глубокому и ранее не замечавшемуся закону природы: даже в принципе ни один эксперимент не позволит определить величины x и p реальной частицы точнее, чем это допускает соотношение Гейзенберга. Гейзенберг и Бор разошлись в интерпретации этого вывода. Гейзенберг рассматривал его как напоминание о том, что все наши знания по своему происхождению - экспериментальные и что эксперимент неизбежно вносит в исследуемую систему возмущение, а Бор рассматривал его как ограничение точности, с которой само представление о волне и частице применимо к миру атома. Гораздо более широким оказывается спектр мнений о природе самой статиcтичеcкой неопределенности. В этих неопределенностях нет ничего нового; они присущи почти каждому измерению, но обычно считают, что они обусловлены недостатками используемых приборов или методов: точное значение существует, однако найти его практически очень трудно, и потому мы рассматриваем полученные результаты как вероятные значения с присущей им статистической неопределенностью. Одна из школ физико-философской мысли, возглавлявшаяся в свое время Эйнштейном, считает, что то же самое имеет место и для микромира, и что квантовая механика с ее статистическими результатами дает лишь средние значения, которые были бы получены при многократном повторении рассматриваемого эксперимента с небольшими различиями из-за несовершенства нашего контроля. При таком воззрении точная теория каждого отдельного случая в принципе существует, просто она еще не найдена. Другая школа, исторически связанная с именем Бора, стоит на том, что индетерминизм присущ самой природе вещей и что квантовая механика - теория, наилучшим образом описывающая каждый отдельный случай, а в неопределенности физической величины находит отражение та точность, с которой эта величина может определяться и использоваться. Мнение большинства физиков склонялось в пользу Бора. В 1964 Дж. Белл, работавший тогда в ЦЕРНе (Женева), показал, что в принципе эту проблему можно решить экспериментально. Результат Белла явился, пожалуй, важнейшим с 1920-х годов сдвигом в поисках физического смысла квантовой механики. Теорема Белла, как сейчас называют этот результат, утверждает, что некоторые предсказания, сделанные на основе квантовой механики, невозможно воспроизвести путем вычислений на основе какой-либо точной, детерминированной теории с последующим усреднением результатов. Поскольку два таких метода вычислений должны давать разные результаты, появляется возможность экспериментальной проверки. Измерения, выполненные в 1970-х годах, убедительно подтвердили адекватность квантовой механики. И все же было бы преждевременно утверждать, что эксперимент подвел окончательную черту под дебатами Бора и Эйнштейна, поскольку такого рода проблемы нередко возникают как бы заново, в другом языковом обличье каждый раз, когда, казалось бы, все ответы уже найдены. Как бы то ни было, остаются и другие головоломки, напоминающие нам, что физические теории - это не только уравнения, но и словесные объяснения, связывающие кристальную сферу математики с туманными областями языка и чувственного опыта, и что это зачастую и есть самое трудное.

ЛИТЕРАТУРА

Вихман Э. Квантовая физика. М., 1977 Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М., 1985 Мигдал А.Б. Квантовая физика для больших и маленьких. М., 1989 Волкова Е.Л. и др. Квантовая механика на персональном компьютере. М., 1995

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц; один из осн. разделов квантовой теории. Впервые позволила описать структуру атомов, понять их спектры, установить природу химической связи, объяснить периодическую систему элементов. В отличие от классической теории в квантовой механике все частицы выступают как носители и корпускулярных, и волновых свойств, которые не исключают, а дополняют друг друга. См. также Волновая механика.

изучает состояния микрочастиц и их систем (элементарных частиц, атомных ядер, атомов, молекул, кристаллов), изменение этих состояний во времени, а также связь величин, характеризующих состояния микрочастиц, с эксперим. макроскопич. величинами. К. м. исследует уровни энергии, пространственные и импульсные характеристики систем частиц, эволюцию этих систем во времени, вероятности переходов между состояниями под влиянием взаимод. между системами и внеш. воздействий. В нерелятивистской К. м. для средних скоростей vвсех частиц системы предполагается выполненным условие: (v/с)²<<1, где с - скорость света. Результаты нерелятивистской К. м. переходят в таковые классич. механики, когда выполняется принцип соответствия, т. е. когда произведение импульса каждой из взаимодействующих частиц на размер области, в к-рой это взаимод. существенно меняется, велико по сравнению с постоянной Планка =1,0546^.10^-34 Дж ^. с. К. м. была сформулирована для объяснения явлений, к-рые не могли быть объяснены в рамках классич. механики и электродинамики. Трудами М. Планка (1900), А. Эйнштейна (1905, 1916) и Н. Бора (1912) было показано, что атомы имеют стационарные состояния, переходы между к-рыми происходят при излучении или поглощении кванта света, имеющего энергию и импульс , где w и k - круговая частота и волновой вектор световой волны соответственно. Проблема объяснения этих св-в атомов была решена почти одновременно с неск. сторон. Л. де Бройль (1924) предложил распространить волновые представления, привычные для описания электромагн. поля, на атомные частицы, сопоставляя своб. движению частицы с энергией Еи импульсом рволну распространяющуюся в пространстве и времени t (r-радиус-вектор частицы, i - мнимая единица, С - постоянный множитель). Тем самым он предсказал дифракцию таких частиц при рассеянии на кристаллах. В. Гейзенберг (1925) нашел матричное представление для динамич. переменных классич. механики, позволившее объяснить структуру уровней энергии нек-рых систем. Так возникла матричная механика. Э. Шрёдингер (1926) предложил дифференц. ур-ние, решениями к-рого при заданных граничных условиях являются собств. ф-ции y, названные волновыми ф-циями, и собств. значения, указывающие уровни энергии системы. Так возникла волновая механика. Анализ показал, что подходы В. Гейзенберга и Э. Шрёдингера эквивалентны, поэтому термины "матричная механика", "волновая механика" и наиб. употребительный сейчас "К. м." являются синонимами. С вычислит, точки зрения, как правило, наиб. удобным оказывается метод решения ур-ния Шрёдингера. Осн. постулаты К. м. При рассмотрении задач о состояниях частиц и их систем осн. положения К. м. обычно формулируют в след, виде:

1. Состояние системы из Nмикрочастиц полностью определяется волновой ф-цией y(r₁,...,N), где r_l,..., r_N - радиусы-векторы частиц. Если - элемент объема в конфигурац. пространстве переменных Nчастиц, то величина|y(r₁,...,r_N;t)|²dt пропорциональна вероятности найти в момент времени t первую частицу вблизи точки с радиусом-вектором r₁ в объеме dr₁ (т. е. в параллелепипеде со сторонами dx₁, dy₁ и dz₁,одной из вершин к-рого служит точка r₁), вторую частицу - вблизи точки r₂ в объеме 2 и т. д. (М. Борн, 1926).

2. Каждой наблюдаемой физ. величине А(координате, импульсу, энергии и т. п.) сопоставляется линейный оператор . Для системы, находящейся в состоянии с волновой ф-цией y, при измерении величины Ам. б. получены лишь те значения а _i, к-рые являются собств. значениями оператора , т. е. удовлетворяют равенству: , где j_i нек-рая ф-ция от тех же переменных, что и волновая ф-ция системы. Вероятность найти значение а _i определяется квадратом модуля интеграла , а среднее значение - интегралом , где j^*_i и y^* - ф-ции, комплексно сопряженные j_i и y. Поскольку величины а _i и их среднее вещественны, на операторы накладывается дополнит. ограничение: они должны быть эрмитовыми. Это означает, что для любых ф-ций j и y должно выполняться соотношение:

3. Операторы , отвечающие наблюдаемым физ. величинам, к-рые определены в классич. механике (энергия, импульс и т. п.), получаются, если в соотношениях, установленных для этих величин классич. физикой, заменить координаты частиц операцией умножения на эти координаты, а импульсы - операцией дифференцирования (с точностью до множителя) по соответствующей переменной (т. наз. сопряженной координате). Напр., вместо координаты хупотребляют оператор : ; вместо компоненты импульса р _х - оператор : Полученный при такой замене оператор соответствующей физ. величины должен быть записан так, чтобы он был эрмитовым. Так, операторы проекций момента кол-ва движения частицы записываются след. образом: , и . Собств. значения оператора , равные , определяются неотрицат. целыми числами l, а собств. значения оператора проекции момента на к.-л. фиксированное направление, напр. ось z, - числами -l, -l+1,...,+l.