Дирака уравнение

Большая Советская энциклопедия

квантовое уравнение движения электрона, удовлетворяющее требованиям относительности теории (См. Относительности теория); установлено П. Дираком в 1928. Из Д. у. следует, что электрон обладает собственным механическим моментом количества движения — Спином, равным ћ/2, а также собственным магнитным моментом, равным Магнетону Бора eћ/mc, которые ранее (1925) были открыты экспериментально (e и m — заряд и масса электрона, с — скорость света, ћ — Планка постоянная). С помощью Д. у. была получена более точная формула для уровней энергии атома водорода (и водородоподобных атомов), включающая тонкую структуру уровней (см. Атом), а также объяснён Зеемана эффект. На основе Д. у. были найдены формулы для вероятностей рассеяния фотонов свободными электронами (Комптона-эффекта (См. Комптона эффект)) и излучения электрона при его торможении (Тормозного излучения (См. Тормозное излучение)), получившие экспериментальное подтверждение. Однако последовательное релятивистское описание движения электрона даётся квантовой электродинамикой (См. Квантовая электродинамика).

Характерная особенность Д. у. — наличие среди его решений таких, которые соответствуют состояниям с отрицательными значениями энергии для свободного движения частицы (что соответствует отрицательной массе частицы). Это представляло трудность для теории, т.к. все механические законы для частицы в таких состояниях были бы неверными, переходы же в эти состояния в квантовой теории возможны. Действительный физический смысл переходов на уровни с отрицательной энергией выяснился в дальнейшем, когда была доказана возможность взаимопревращения частиц. Из Д. у. следовало, что должна существовать новая частица (античастица (См. Античастицы) по отношению к электрону) с массой электрона и электрическим зарядом противоположного знака; такая частица была действительно открыта в 1932 К. Андерсоном и названа Позитроном. Это явилось огромным успехом теории электрона Дирака. Переход электрона из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией и обратный переход интерпретируются как процесс образования пары электрон-позитрон и аннигиляция такой пары (см. Аннигиляция и рождение пар).

Д. у. справедливо и для др. частиц со спином 1/2 (в единицах ћ) — мюонов (См. Мюоны), Нейтрино. Для протона и нейтрона, также обладающих спином 1/2, оно приводит к неправильным значениям магнитных моментов: магнитный момент «дираковского» протона должен быть равен ядерному магнетону eћ/2Мc (М — масса протона), а нейтрона (поскольку он не заряжен) — нулю. Опыт же даёт, что магнитный момент протона примерно в 2,8 раза больше ядерного магнетона, а магнитный момент нейтрона отрицателен и по абсолютной величине составляет около 2/3 от магнитного момента протона. Аномальные магнитные моменты этих частиц обусловлены их сильными взаимодействиями (См. Сильные взаимодействия).

Лит: Бройль Л. де, Магнитный электрон, пер. с франц., Хар., 1936.

Большой энциклопедический словарь

ДИРАКА уравнение - квантовое уравнение движения для частиц со спином 1/2 (напр., электронов и позитронов, мюонов), удовлетворяющее требованиям специальной относительности теории. Сформулировано П. Дираком в 1928.

Физическая энциклопедия

ДИРАКА УРАВНЕНИЕ

релятивистское дифф. ур-ние для волн. ф-ции свободной (невзаимодействующей) ч-цы со спином 1/2 (эл-н, мюон, кварки и др.), описывающее изменение её состояния со временем. Получено англ. физиком П. Дираком (P. Dirac). в 1928 на основе требований релятивистской инвариантности, линейности (выражающей справедливость суперпозиции принципа), первого порядка по времени (чтобы состояние в данный момент определяло состояния во все последующие моменты времени). Для ч-цы со спином 1/2 этим требованиям удовлетворяет только система четырёх ур-ний, т. е. волн. ф-ция y должна состоять из четырёх компонент: y1, y2, y3, y4. При поворотах системы координат и преобразованиях Лоренца они преобразуются как пара спинорных полей, образующих биспинор y:

Д. у. имеет вид системы четырёх ур-ний:

где m=0, 1, 2, 3; х1=х, х2=у, x3=z — пространств. координаты, x0=ct — временная (t — время); m — масса ч-цы; gm — матрицы Дирака, к-рые выражаются через двухрядные матрицы Паули s1, s2, s3 и единичную матрицу I:

Для свободной ч-цы Д. у. приводит к релятив. соотношению между импульсом (р), энергией (?) и массой ч-цы:

?2 = m2c4+p2c2, или?=±?(m2c4+p2c2);

для покоящейся ч-цы это соответствует?=±mc2 (энергия покоя ч-цы). Интервал энергий - mc2

Д. у. взаимодействующих ч-ц содержит дополнит. слагаемое, учитывающее это вз-ствие. В квантовой электродинамике, объединённой теории слабого и эл.-магн. вз-ствий (см. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ), а также в квантовой хромодинамике вид этого слагаемого определяется требованием калибровочной симметрии. В электродинамике, напр., оно получается заменой производной d/dxm в Д. у. на d/dxm+ieAm /hc, где е — заряд ч-цы, а Аm — четырёхмерный потенциал эл.-магн. поля; слагаемое ieAm/hc описывает вз-ствие заряж. ч-цы с эл.-магн. полем. Аналогичные члены вз-ствия спинорной ч-цы с векторными калибровочными полями возникают и в др. названных теориях.

Заряж. ч-ца, описываемая Д. у., обладает магн. моментом eh/2mc (равным для эл-на магнетону Бора). Однако вз-ствие с вакуумом в КТП приводит к появлению дополнительного, т. н. аномального, магн. момента, к-рый для адронов оказывается особенно большим. Так, эксперим. значение магн. момента протона в 2,8 раза больше его нормальной («дираковской») величины.

В нерелятив. пределе Д. у. для эл-на переходит в Паули уравнение, объясняющее, в частности, тонкую структуру уровней энергии атома.

Химическая энциклопедия

см. Спин.

Энциклопедический словарь

Дира́ка уравне́ние

квантовое уравнение движения для частиц со спином ¹/₂ (например, электронов, мюонов, кварков), удовлетворяющее требованиям специальной относительности теории. Сформулировано П. Дираком в 1928.

* * *

ДИРАКА УРАВНЕНИЕ

ДИРА́КА УРАВНЕ́НИЕ, квантовое уравнение движения для частиц со спином ¹/₂ (напр., электронов и позитронов, мюонов(см. МЮОНЫ)), удовлетворяющее требованиям специальной относительности теории(см. ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ). Сформулировано П. Дираком в 1928.

Математическая энциклопедия

- релятивистское волновое уравнение, играющее фундаментальную роль в релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля. Д. у. применяется для описания частиц со спином ¹/₂ (в единицах ); то есть электронов, нейтрино, мюонов, протонов, нейтронов и др., а также позитронов и всех др. античастиц и гипотетических субчастиц - кварков. Д. у. является основой теории частиц полуцелого спина (¹/₂, ³/₂, ⁵/₂ и т. д.), то естьфермионов, к-рые подчиняются Ферми статистике. Напр., обобщением Д. у. для частиц спина ³/₂ является Рарита - Швингера уравнение.

Д. у. есть система четырех линейных однородных дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка с постоянными комплексными коэффициентами, инвариантная относительно общей группы преобразований Лоренца:

где то - масса покоя, х ^а=х ^а, х ¹, х ², x³ ОR

с псевдоевклидовой метрикой ( х, y)=h_abdx^ax^ady^b, a

- метрический тензор пространства Минковского с сигнатурой +2; y- Дирака спинор (биспинор):

ga=g⁰, g¹, g², g³- Дирака матрицы.

При преобразованиях переменных из общей группы Лоренца - Пуанкаре х'^a=L (х ^a )(см. [2]) биспинор y преобразуется по формуле y'(x')=S(L)y(x), где S(L)- неособенная комплексная матрица размерности S-матрицы образуют специальное двузначное представление группы L. Д. у. относительно новых переменных y'( х'^a )не изменяет своего вида (релятивистская инвариантность):

Случай m=0 дает уравнение Вейля, описывающее нейтрино. При этом Д. у. разбивается на два независимых уравнения для спинорных функций (спиноров Ван дер Вардена) j=(y₁, y₂ )и c⁼(y₃, y₄)- Каждое из них будет не инвариантным относительно отражений (теория с несохраненпем четности).

Любое решение Д. у. удовлетворяет Клейна- Гордона уравнению, описывающему бесспиновые скалярные частицы

но не всякое решение этого уравнения удовлетворяет Д. у., к-рое получается факторизацией уравнения Клейна - Гордона.

Из Д. у. следует факт наличия у электрона собственного механического спинового момента Д. у. полностью описывает движение атомных электронов в поле ядра и в других электромагнитных полях, а также взаимодействие электрона с известными элементарными частицами.

Любое релятивистски инвариантное уравнение можно представить в форме Д. у.:

где Г ^a- обобщение g^a. Для уравнения Клейна - Гордона функция yимеет 5 компонент, а Г ^a- 4 пятирядные матрицы, удовлетворяющие соотношениям

(Дуффина - Кеммера матрицы).

Подобно тому как взаимодействие фермионов с электромагнитным полем учитывается в Д. у. заменой производной д/дх ^а на компенсирующую производную д/дх^a-iA_a(A_a-4-потенциал электромагнитного поля), учет взаимодействия фермионов с гравитационным полем в соответствии с общей теорией относительности приводит к обобщению Д. у. на риманово пространство введением соответствующей компенсирующей (ковариантной) производной (см. [3]):

где С _a- спинорные коэффициенты связности, определенные сначала с помощью тетрадного формализма, удовлетворяющие соотношениям

- символы Кристоффеля. Общерелятивистское обобщение Д. у. необходимо при исследовании гравитационного коллапса, при описании предсказываемого эффекта рождения частиц в сильных гравитационных полях и др.

В пространстве с кручением в Д. у. возникает нелинейный добавок кубического типа (см. [4]) и оно переходит в нелинейное уравнение

где g=ig₅, l²=3pGh/c³, G- гравитационная постоянная.

Уравнение установлено П. Дираком (P. Dirac, 1928).

Лит.:[1] Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, пер. с англ., М., 1960; [2] Боголюбова Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 2 изд., М., 1976; [3] Новейшие проблемы гравитации, пер. с англ., М., 1961; [4] Родичев В. И., "Ж. эксперим. и теор. физ.", 1969, т. 40.

В. Г. Кречет.

Естествознание. Энциклопедический словарь

квантовое ур-ние движения для частиц со спином 1/2 (напр., электронов, мюонов, кварков), удовлетворяющее требованиям спец. теории относительности. Сформулировано П. Дираком в 1928.