Евклидова геометрия

геометрия, систематическое построение которой было впервые дано в 3 в. до н. э. Евклидом. Система аксиом Е. г. опирается на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение и следующие отношения: «точка лежит на прямой на плоскости», «точка лежит между двумя другими». В современном изложении систему аксиом Е. г. разбивают на следующие пять групп.

I. Аксиомы сочетания. 1) Через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну. 2) На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. 3) Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. 4) На каждой плоскости есть по крайней мере три точки и существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. 5) Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости. 6) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют ещё одну общую точку (и, следовательно, общую прямую).

II. Аксиомы порядка. 1) Если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой. 2) Для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С. 3) Из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими. 4) Если прямая пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает ещё другую его сторону или проходит через вершину (отрезок ABопределяется как множество точек, лежащих между А и В; соответственно определяются стороны треугольника).

III. Аксиомы движения. 1) Движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям. 2) Два последовательных движения дают опять движение, и для всякого движения есть обратное. 3) Если даны точки А, A' и полуплоскости A, A‘, ограниченные продолженными полупрямыми а, а', которые исходят из точек А, A', то существует движение, и притом единственное, переводящее А, а, Aв A', a',A' (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).

IV. Аксиомы непрерывности. 1) Аксиома Архимеда: всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая его на первом достаточное число раз (откладывание отрезка осуществляется движением). 2) Аксиома Кантора: если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.

V. Аксиома параллельности Евклида. Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.

Возникновение Е. г. тесно связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (прямые линии — натянутые нити, лучи света и т. п.). Длительный процесс углубления наших представлений привёл к более абстрактному пониманию геометрии. Открытие Н. И. Лобачевским геометрии, отличной от Е. г., показало, что наши представления о пространстве не являются априорными. Иными словами, Е. г. не может претендовать на роль единственной геометрии, описывающей свойства окружающего нас пространства. Развитие естествознания (главным образом физики и астрономии) показало, что Е. г. описывает структуру окружающего нас пространства лишь с определённой степенью точности и не пригодна для описания свойств пространства, связанных с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой. Т. о., Е. г. может рассматриваться как первое приближение для описания структуры реального физического пространства. См. Пространство, Геометрия, Лобачевского геометрия.Неевклидовы геометрии.

Э. Г. Позняк.

ЕВКЛИДОВА геометрия - геометрия, систематическое построение которой было осуществлено в "Началах" Евклида. Возникновение Евклидовой геометрии связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (напр., прямые линии - натянутые нити и т. п.) Длительный процесс углубления наших представлений о пространстве привел к другим геометрическим теориям, отличным от Евклидовой геометрии.

ЕВКЛИДОВА геометрия, геометрия, описывающая простейшие свойства физического пространства. Исходными объектами евклидовой геометрии являются точки, прямые, плоскости. Основные положения евклидовой геометрии сосредоточены в системе аксиом, первая попытка систематического изложения которых была сделана в "Началах" Евклида (3 в. до нашей эры). Характерной чертой евклидовой геометрии является аксиома о единственности прямой, проходящей через точку параллельно заданной прямой.

Euclid, Euclidean geometry

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ, система геометрии, основанная на АКСИОМАХ, сформулированных в книге ЕВКЛИДА «Начала». Исходя из набора самоочевидных положений (аксиом) и пользуясь жесткой логикой, Евклид пришел к ряду важных результатов. Его выводы считались абсолютной истиной в применении к физическому миру на протяжении почти 2000 лет. Только в XIX в. было показано, что аксиомы Евклида не являются универсальными и верны не во всяких обстоятельствах. Основные открытия геометрических систем, в которых аксиомы Евклида не верны, были сделаны Н. И. ЛОБАЧЕВСКИМ и Георгом РИМАНОМ. О них говорят как о создателях НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ. Наиболее поразительной чертой неевклидовой геометрии является тот факт, что две прямые линии, параллельные в одной части пространства, могут пересечься в другой. Альберт Эйнштейн, разрабатывая общую теорию ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ, пришел к выводу, что геометрия Вселенной, в которой мы живем, является неевклидовой. Однако Евклидова геометрия по-прежнему остается справедливой при описании систем и явлений, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни.

евкли́дова геоме́трия

геометрия, систематическое построение которой было осуществлено в «Началах» Евклида. Возникновение евклидовой геометрии связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (например, прямые линии — натянутые нити и т. п.). Длительный процесс углубления наших представлений о пространстве привёл к другим геометрическим теориям, отличным от евклидовой геометрии.

* * *

ЕВКЛИ́ДОВА ГЕОМЕ́ТРИЯ, геометрия, систематическое построение которой было осуществлено в «Началах» Евклида. Возникновение Евклидовой геометрии связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (напр., прямые линии — натянутые нити и т. п.) Длительный процесс углубления наших представлений о пространстве привел к другим геометрическим теориям, отличным от Евклидовой геометрии.

геометрия, построенная на базе аксиом абсолютной геометрии (являющейся общей частью как евклидовой, так и геометрии Лобачевского) и знаменитой аксиомы Евклида о параллельных (через точку А, не принадлежащую прямой а, в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, можно провести только одну прямую, не пересекающую а). Часто геометрию Евклида называют элементарной геометрией, а геометрию, изучаемую в средней школе, также часто называют геометрией Евклида. Название геометрии связано с автором ее первого систематического построения, изложенного древнегреческим геометром Евклидом (III в. до н. э.) в его 13-томном труде «Начала», позднее дополненном еще двумя томами другими авторами. «Начала» Евклида, пожалуй, самое распространенное научное сочинение в мире.

- геометрия пространства, описываемого системой аксиом, первое систематическое (но не достаточно строгое) изложение к-рой было дано в "Началах" Евклида. Обычно пространство Е. г. описывается как совокупрость объектов трех родов, называемых "точками", "прямыми", "плоскостями"; отношениями между ними: принадлежности, порядка ("лежать между"), конгруэнтности (или понятием движения); непрерывностью. Особое место в аксиоматике Е. г. занимает, аксиома о параллельных (пятый постулат). Первая достаточно строгая аксиоматика Ё. г. была предложена Д. Гильбертом (D. Hilbert, см. Гильберта система аксиом). Существуют модификации системы аксиом Гильберта и другие варианты аксиоматики Е. г. Напр., в векторно-точечной аксиоматике за одно из основных понятий принято понятие вектора; в основу аксиоматики Е. г. может быть положено отношение симметрии (см. [5]).

Лит.:[1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.- Л., 1948; [2] Каган В. Ф., Основания геометрии, ч. 1, М.- Л., 1949; [3] Погорелов А. В., Основания геометрии, 3 изд., М., 1968; [4] Энциклопедия элементарной математики, кн. 4, Геометрия, М., 1963; [5] Бахман Ф., Построение геометрии на основе понятия симметрии, пер. с нем., М., 1969.

А. В. Иванов.

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — (элементарная геометрия) — геометрия (см.) пространства, описываемая системой аксиом и постулатов, изложенных древнегреческим математиком и астрономом Евклидом (III в. до н. э.) в его главном труде «Начала». Древние понятия и преобразования, приведенные в «Началах» используются до сих пор при геометрических построениях и расчётах, в теории и практике измерения геометрических величин, при конструировании и проектировании машин и сооружений. Русский математик Н. И. Лобачевский — создатель неевклидовом геометрии, которая внесла коренные изменения в представление о природе пространства. Его геометрия отличается от геометрии Евклида тем, что постулат о параллельных прямых следующим положением: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие в одной плоскости с данной прямой и не пересекающие её.