Неприводимый многочлен

многочлен, не разлагающийся на множители более низкой степени. Возможность разложить многочлен на множители (и свойство неприводимости) зависит от того, какие числа допускаются в качестве коэффициентов многочлена. Так, многочлен x³ + 2 неприводим, если в качестве коэффициентов допускать только рациональные числа, но разлагается в произведение двух Н. м.

если в качестве коэффициентов брать любые действительные числа, и в произведение трёх множителей

если коэффициентами будут числа комплексные. В общем случае понятие неприводимости определяется для многочленов с коэффициентами, принадлежащими произвольному полю (см. Поле алгебраическое). Часто Н. м. называют многочлен с рациональными коэффициентами, не разлагающийся на множители более низкой степени также с рациональными коэффициентами.

Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968.

НЕПРИВОДИМЫЙ многочлен - многочлен, не разлагающийся на множители более низкой степени. Возможность разложить многочлен на множители (и свойство неприводимости) зависит от того, какие числа допускаются в качестве коэффициента многочлена. Так, многочлен х3 + 2 неприводим, если в качестве коэффициента допускать только рациональные числа, но разлагается в произведение двух неприводимых многочленов и , если в качестве коэффициента брать любые действительные числа.

irreducible polynomial

irreducible polynomial

неприводи́мый многочле́н

многочлен, не разлагающийся на множители более низкой степени. Возможность разложить многочлен на множители (и свойство неприводимости) зависит от того, какие числа допускаются в качестве коэффициента многочлена. Так, многочлен х³ + 2 неприводим, если в качестве коэффициента допускать только рациональные числа, но разлагается в произведение двух неприводимых многочленов,,если в качестве коэффициента брать любые действительные числа.

* * *

НЕПРИВОДИ́МЫЙ МНОГОЧЛЕ́Н, многочлен, не разлагающийся на множители более низкой степени. Возможность разложить многочлен на множители (и свойство неприводимости) зависит от того, какие числа допускаются в качестве коэффициента многочлена. Так, многочлен х³ + 2 неприводим, если в качестве коэффициента допускать только рациональные числа, но разлагается в произведение двух неприводимых многочленов и, если в качестве коэффициента брать любые действительные числа.

- многочлен от ппеременных над полем к, являющийся простым элементом кольца т. е. непредставимый в виде произведения , где gи h- многочлены с коэффициентами из k, отличные от константы (неприводимость над k). Многочлен наз. абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраич. замыканием поля коэффициентов. Абсолютно Н. м. одной переменной - это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно Н. м. сколь угодно высокой степени, напр, любой многочлен вида абсолютно неприводим.

Кольцо многочленов факториально:

любой многочлен разлагается в произведение Н. м., причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей. Над полем действительных чисел любой Н. м. одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант. Над любым полем алгебраич. чисел существуют Н. м. сколь угодно высокой степени; напр., многочлен , где и - нек-рое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна (см. Алгебраическое уравнение).

Пусть А- целозамкнутое кольцо с полем частных кп - многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1. Если в , причем g(x)и h(х)имеют старший коэффициент 1, то

Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности . Если степень многочлена совпадает со степенью многочлена и неприводим над полем частных области В, то не существует разложения где и отличны от константы. Напр., многочлен со старшим коэффициентом 1 прост в (и, следовательно, неприводим в ), если для нек-рого простого р неприводим многочлен , полученный из f(х)редукцией коэффициентов по модулю р.

Лит.:[1] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976; [2] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3]3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1-2, М., 1963.

Л. В. Кузьмин,

irreducible polynomial

* * *

irreducible polynomial

polinomio irriducibile

незвідни́й багаточле́н

незвідни́й багаточле́н

многочлен, не разлагающийся на множители более низкой степени. Возможность разложить многочлен на множители (и. свойство неприводимости) зависит от того, какие числа допускаются в качестве коэф. многочлена. Так, многочлен х³ + 2 неприводим, если в качестве коэф. допускать только рациональные числа, но разлагается в произведение двух Н. м.

если в качестве коэф. брать любые действит. числа.