Начала Евклида

(«Нача́ла» Евкли́да)

научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. до н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объёмов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвёл в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. «Н.» Е. не являются, однако, энциклопедией математических знаний своей эпохи. Так, в «Н.» Е. не излагается теория конических сечений, которая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы.

«Н.» Е. построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства (см. Дедукция). Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов (например, точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (например, равностороннего треугольника) путём их построения, которое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения некоторых элементарных построений, например «что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию» (1 постулат); «И что от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг» (III постулат). Особое место среди постулатов занимает V постулат (аксиома о параллельных): «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух прямых». Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих математиков (на протяжении почти 2 тыс. лет) вывести его как теорему из др. основных положений геометрии. Попытки доказать V постулат продолжались вплоть до работ Н. И. Лобачевского (См. Лобачевский), построившего первую систему неевклидовой геометрии, в которой этот постулат не выполняется (см. Лобачевского геометрия). За постулатами в «Н.» Е. приводятся аксиомы — предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. Например: «Равные одному и тому же равны и между собой» (1-я аксиома); «И целое больше части» (8-я аксиома).

С современной точки зрения система аксиом и постулатов «Н.» Е. недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Логические недостатки построения «Н.» Е. полностью выяснились лишь в конце 19 в. после работ Д. Гильберта (см. Евклидова геометрия).До этого на протяжении более 2 тыс. лет «Н.» Е. служили образцом научной строгости; по этой книге в полном либо в сокращённом и переработанном виде изучали геометрию.

«Н.» Е. состоят из тринадцати книг (отделов, или частей). В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга Пифагора теоремой (См. Пифагора теорема). В книге II излагается так называемая геометрическая алгебра, т. е. строится геометрический аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраическая символика в «Н.» Е. отсутствует). В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским (См. Гиппократ Хиосский) во 2-й половине 5 в. до н. э.), в книге IV — правильные многоугольники. В книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским (См. Евдокс Книдский);её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й половине 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга VII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII—IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя (Евклида алгоритме). В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел. В книге Х даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты книги Х применяются в книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значительная часть книг Х и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются основы стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греческими математиками к «Н.» Е. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом «Н.» Е.

«Н.» Е. получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и др. учёные опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. До нашего времени античный текст «Н.» Е. не дошёл (древнейшая из сохранившихся копий относится ко 2-й половине 9 в.). В конце 8 в. — начале 9 в. появляются переводы «Н.» Е. на арабский язык. Первый перевод на латинский язык был сделан с арабского Ателхардом Батским в 1-й четверти 12 в. Старинные списки отличаются существенными разночтениями; подлинный текст «Н.» Е. точно не восстановлен. Первое печатное издание «Н.» Е. в переводе Дж. Кампано на латинский язык появилось в Венеции в 1482 с чертежами на полях книги (перевод был выполнен около 1250—1260; Кампано использовал как арабские источники, так и перевод Ателхарда Батского). Наилучшим в настоящее время считается издание И. Гейберга («Euclidis Elementa», v. 1—5, Lipsiae, 1883—88), в котором приводится как греч. текст, так и его лат. перевод. На русском языке «Н.» Е. издавались многократно начиная с 18 в. Лучшее издание — «Начала Евклида», пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, т. 1—3, 1948—50.

Лит.: История математики с древнейших времён до начала нового времени, т. 1, М., 1970.

И. Г. Башмакова, А. И. Маркушевич.

"НАЧАЛА" ЕВКЛИДА (греч. Stoicheia - букв. - азбука; переносное значение - основные начала), научное произведение (15 книг), написанное Евклидом в 3 в. до н. э., в котором подведен итог 300-летнему развитию греческой математики и создан фундамент для дальнейших математических исследований.

НАЧАЛА ЕВКЛИДА

«НАЧА́ЛА» ЕВКЛИ́ДА (греч. Stoicheia, букв. — азбука; переносное значение — основные начала), научное произведение (15 книг), написанное Евклидом в 3 в. до н. э., в котором подведен итог 300-летнему развитию греческой математики и создан фундамент для дальнейших математических исследований.

сочинение (в 13 книгах) по элементарной математике древнегреческого ученого Евклида (III век до н. э.), самое распространенное издание в мире, охватывающее элементарную (теперь евклидовую) геометрию, теорию чисел, алгебру, теорию измерения геометрических величин, элементы теории пределов.

- научное произведение, написанное в 3 в. до н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов. "Н." Е.- образец дедуктивной системы, содержащей исходные предложения геометрии и других разделов математики, на основе к-рых все теории развиваются строго логически.

"Н." Е. составлены по определенной схеме, сложившейся еще до Евклида и кратко изложенной в сочинениях Аристотеля: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства. Помимо теорем в "Н." Е. имеются и проблемы, решаемые построением или с помощью арифметич. алгоритмов. Вслед за определением основных геометрич. понятий и объектов Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (напр., равностороннего треугольника) путем их построения, к-рое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения следующих элементарных построений: 1) через две точки можно провести прямую; 2) отрезок прямой можно неограниченно продолжить; 3) данным радиусом из данной точки можно провести окружность; 4) все прямые углы равны между собой (этим обеспечивается единственность продолжения прямой); 5) если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше суммы двух прямых, то прямые пересекутся при неограниченном их продолжении с той стороны, с к-рой эта сумма меньше. Все постулаты (кроме 4-го, к-рый заменяется требованием, чтобы через две точки проходила единственная прямая) вошли в качестве аксиом в современные курсы оснований геометрии. Особенно интересна судьба 5-го постулата. Еще в древности математики пытались его доказать. Аналогичные попытки продолжались вплоть до работ Н. И. Лобачевского (см. Лобачевского геометрия), построившего первую систему неевклидовой геометрии, в к-рой этот постулат не имеет места. За постулатами в "Н." Е. приводятся аксиомы - предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами: 1) равные одному и тому же равны между собой, 2) если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны, 3) если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны, 4) совмещающиеся друг с другом равны между собой, 5) целое больше части (в нек-рых списках "Н." Е. к этому добавляют еще четыре аксиомы).

"Н." Е. состоят из тринадцати книг (отделов или частей). В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга теоремой Пифагора. В книге II излагается т. н. геометрич. алгебра, т. е. строится геометрич. аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. При этом величины изображаются отрезками, а произведение двух величин - площадями. Алгебраич. символика в "Н." Е. отсутствует. В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2-й пол. 5 в. до н. э.), в книге IV - правильные многоугольники. В книге V дается общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским (4 в. до н. э.); она отличается особенной логич. завершенностью и в основном эквивалентна теории дедекиндовых сечений, являющейся одним из обоснований учения о действительных числах. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга XII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII - IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя. В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и бесконечности числа простых чисел, а также строится учение об отношении целых чисел, эквивалентное по существу теории рациональных чисел. В книге X на этой основе дается классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются нек-рые правила их преобразования. Результаты книги X применяются в книге XIII для определения ребер пяти правильных многогранников. Значительная часть книг X и XIII (а вероятно, и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются начала стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношений объемов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы были впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объемов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греч. математиками к "Н." Е. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежащие Евклиду. Они часто и теперь издаются совместно с основным текстом "Н." Е. Содержание их не представляет большого научного интереса.

"Н." Е. получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и другие учепые опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. В кон. 8 - нач. 9 вв. появляются переводы "Н." Е. на арабский язык. Первый перевод на латинский язык был сделан с арабского в 1-й четверти 12 в. Старинные списки "Н." Е. отличаются существенными разночтениями; подлинный текст их точно не восстановлен. Первое печатное издание "Н." Е. в переводе на латинский язык появилось в 1482 с чертежами на полях книги. Наилучшим считается издание Й. Хейберга (5 тт., 1883-88), в к-ром приводится как греческий текст, так и его латинский перевод. На русском языке имеются следующие переводы: И. Астарова - "Евклидовы елементы", сокращенные проф. А. Фархварсоном (8 кн., 1739, пер. слатин.), Н. Курганова - "Евклидовы елементы геометрии" (8 кн., 1769, пер. с франц.), П. Суворова и В. Никитина - "Евклидовы стихии" (осьмкниг, 1-6, 11, 12; 1784, пер. с греч.), Ф. Петрушевского - "Эвклидовых начал восемь книг, а именно: первые шесть, одиннадцатая и двенадцатая, содержащие в себе основания геометрии" (1819, пер. с греч.), Ф. Петрушевского - "Эвклидовых начал три книги, а именно: седьмая, осьмая и девятая, содержащие общую теорию чисел древних геометров" (1835, пер. с греч.), М. Е. Ващенко-Захарченко - "Начала Евклида" (1880), Д. Д. Мордухай-Болтовского - "Начала Евклида" (3 тт., 1948-50, пер. с греч.).

По материалам одноименной статьи И. Г. Башмаковой и А. И. Маркушевича из БСЭ-2.

(греч. Stoicheia, букв.-азбука; переносное значение - основные начала), науч. произв. (15 книг), написанное Евклидом в 3 в. до н.э., в к-ром подведён итог 300-летнему развитию греч. математики и создан фундамент для дальнейших матем. исследований.