Показательная функция

экспоненциальная функция, важная элементарная функция (См. Элементарные функции)

f(z) = e^z,

обозначается иногда expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z(действительного или комплексного) П. ф. определяется соотношением

;

Очевидно, что e⁰= 1; при n = 1 значение П. ф. равно е— основанию натуральных логарифмов. П. ф. обладает следующими основными свойствами:

при любых значениях z₁ и z₂, кроме того, на действительной оси (рис.) П. ф. e^x>0 и при n→∞возрастает быстрее любой степени х, а при х→- ∞убывает быстрее любой степени 1/x:

каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к П. ф., является Логарифмическая функция:если ω = e^z, то z = lnω.

Рассматривается также П. ф. a^z при основаниях а>0, отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются П. ф. 2^x,(¹/₂) ^x и т.д.]. П. ф. a^zсвязана с П. ф. e^z (основной) соотношением

a^z = e^zlna.

П. ф. e^x является целой трансцендентной функцией (См. Трансцендентные функции). Она допускает следующее разложение в степенной ряд:

сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением П. ф.

Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:

e^z=e^x+iy = e^x (cosy+isiny), (2)

связывающую П. ф. с тригонометрическими функциями (См. Тригонометрические функции). Из неё вытекают соотношения:

Функции

y, y

называются гиперболическими функциями (См. Гиперболические функции), обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.

Из соотношения (2) следует, что П. ф. (комплексного переменного z) имеет период 2πi, то есть e^z+2πi=e^z или e^2πi= 1. Производная П. ф. равна самой функции: (e^z)' = e^z.

Указанными свойствами П. ф. определяются её многочисленные приложения. В частности, П. ф. выражает закон (т. н. закон естественного роста), определяющий течение процессов, скорость которых пропорциональна наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить химические мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колоний бактерий. Периодичность П. ф. комплексного переменного наряду с другими её свойствами является причиной, по которой эта функция играет исключительно важную роль при изучении всяких периодических процессов, в частности колебаний и распространения волн.

Рис. к ст. Показательная функция.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ функция (экспоненциальная функция) - функция y = ex; обозначается иногда exp x; встречается в многочисленных приложениях математики. Рассматриваются также показательные функции ax при основаниях а " 0, а ? 1 ПОКАЧИ - город (с 1992) в Российской Федерации, Ханты-Мансийский а. о., в 70 км от ж.-д. ст. Лангепас. 12,8 тыс. жителей (1993). Добыча нефти.

exponential

exponential function

показа́тельная фу́нкция

(экспоненциальная функция), функция у = е^х; обозначается иногда ехр х; встречается в многочисленных приложениях математики (график — см. рис.). Рассматриваются также показательные функции а^х при основаниях а> 0, а≠1 [напр., 2^x, (¹/₂)^x и т. д.].

* * *

ПОКАЗА́ТЕЛЬНАЯ ФУ́НКЦИЯ (экспоненциальная функция), функция y = e^x; обозначается иногда exp x; встречается в многочисленных приложениях математики. Рассматриваются также показательные функции a^x при основаниях а > 0, а № 1 [напр., 2^х, (¹/₂)^х и т. д.].

экспоненциальная функция, экспонента,- функция

(где е- основание натуральных логарифмов- ненерово число), для любого значения z (действительного или комплексного) определяемая соотношением

(1)

Она обладает следующими свойствами:

при любых значениях z₁ и z₂.

При действительных хграфик П. ф. у=е ^х- експоненциальная кривая - проходит через точку (0, 1) и асимптотически приближается к оси Ох (см. рис.).

В курсе математич. анализа рассматривается П. ф. у = а ^х при действительных хи a>0, ; она связана с (основной) П. ф. у=е ^х соотношением

П. ф. у-а ^х определена при всех х, положительна, монотонна (возрастает, если а>1, и убывает, если 0<а<1), непрерывна, бесконечно дифференцируема; при этом

в частности

в окрестности каждой точки П. ф. может быть разложена в степенной ряд, напр.:

(2)

График П. ф. у=а ^х симметричен графику П. ф. y=(1/a)^x относительно оси ординат. Если a>1, то П. ф. а ^х при возрастает быстрее любой степени х, а при стремится к нулю быстрее любой степени 1/х, т. е. при любом натуральном b>0

Обратной к П. ф. является логарифмическая функция.

При комплексных a и z П. ф. связана с (основной) П. ф. w=e^z формулой

где Ln a - логарифм комплексного числа а.

П. ф. w=е ^z- целая трансцендентная функция и является аналитич. родолжением П. ф. у=е ^х с действительной оси в комплексную плоскость.

Помимо формулы (1), П. ф. может быть определена также с помощью ряда (2), сходящегося во всей комплексной плоскости, или по формуле Эйлера

если z= x+iy, ТО