Случайный процесс

(вероятностный, или стохастический)

процесс (т. е. изменение во времени состояния некоторой системы), течение которого может быть различным в зависимости от случая и для которого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером С. п. может служить Броуновское движение;другими практически важными примерами являются турбулентные течения (См. Турбулентное течение)жидкостей и газов, протекание тока в электрической цепи при наличии неупорядоченных флуктуаций (См. Флуктуации) напряжения и силы тока (шумов) и распространение радиоволн при наличии случайных замираний (федингов) радиосигналов, создаваемых метеорологическими или иными помехами. К числу С. п. могут быть причислены и многие производственные процессы, сопровождающиеся случайными флуктуациями, а также ряд процессов, встречающихся в геофизике (например, вариации земного магнитного поля), физиологии (например, изменение биоэлектрических потенциалов мозга, регистрируемое на электроэнцефалограмме) и экономике.

Для возможности применения математических методов к изучению С. п. требуется, чтобы мгновенное состояние системы можно было схематически представить в виде точки некоторого фазового пространства (пространства состояний) R', при этом С. п. будет представляться функцией X(t) времени t со значениями из R. Наиболее изученным и весьма интересным с точки зрения многочисленных приложений является случай, когда точки R задаются одним или несколькими числовыми параметрами (обобщёнными координатами системы). В математических исследованиях под С. п. часто понимают просто числовую функцию X(t), могущую принимать различные значения в зависимости от случая с заданным распределением вероятностей для различных возможных её значений — одномерный С. п.; если же точки R задаются несколькими числовыми параметрами, то соответствующий С. п. X(t)={X₁(t), X₂(t),..., X_k (t)}называется многомерным.

Математическая теория С. п. (а также более общих случайных функций (См. Случайная функция) произвольного аргумента) является важной главой вероятностей теории (См. Вероятностей теория). Первые шаги по созданию теории С. п. относились к ситуациям, когда время t изменялось дискретно, а система могла иметь лишь конечное число разных состояний, т. е. — к схемам последовательности зависимых испытаний (А. А. Марков старший и др.). Развитие теорий С. п., зависящих от непрерывно меняющегося времени, является заслугой сов. математиков Е. Е. Слуцкого (См. Слуцкий), А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина, американских математиков Н. Винера, В. Феллера и Дж. Дуба, французского математика П. Леей (См. Лей), швед. математика X. Крамераи др. Наиболее детально разработана теория некоторых специальных классов С. п., в первую очередь — марковских процессов (См. Марковский процесс) и стационарных случайных процессов (См. Стационарный случайный процесс), а также ряда подклассов и обобщений указанных двух классов С. п. (цепи Маркова, ветвящиеся процессы, процессы с независимыми приращениями, мартингалы, процессы со стационарными приращениями и др.).

Лит.: Марков А. А., Замечательный случай испытаний, связанных в цепь, в его кн.: Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; Слуцкий Е. Е., Избранные труды, М., 1960; Колмогоров А. Н., Об аналитических методах в теории вероятностей, «Успехи математических наук», 1938, в. 5, с. 5—41; Хинчин А. Я., Теория корреляции стационарных стохастических процессов, там же, с. 42—51; Винер Н., Нелинейные задачи в теории случайных процессов, пер. с англ., М., 1961; Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; Леви П., Стохастические процессы и броуновское движение, пер. с франц., М., 1972; Чандрасекар С., Стохастические проблемы в физике и астрономии, пер. с англ., М., 1947; Розанов Ю. А., Случайные процессы, М., 1971; Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1—2, М., 1971—73.

А. М. Яглом.

СЛУЧАЙНЫЙ процесс (вероятностный - или стохастический), процесс изменения во времени состояния или характеристик некоторой системы под влиянием различных случайных факторов, для которого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером случайного процесса может служить броуновское движение. См. также Марковский процесс, Стационарный случайный процесс.

random process

random process, stochastic process

СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

- ф-ция непрерывного времени ,значение к-рой в каждый момент является случайной величиной, т. <е. величиной, подчиняющейся вероятностным законам. Если аргумент t изменяетсядискретно, то наз. случайной последовательностью. Случайную ф-цию неск. непрерывных аргументов называют переменным случайным полем. Примерами С. п. могут служитьразл. физ. процессы, сопровождающиеся случайными флуктуациями, а такжемн. процессы в геофизике, радиофизике, биофизике и др.

С. п. задан, если для любых моментов времени t₁,...,t_n известны многомерные (многоточечные) плотности вероятности для совокупности случайных величин либосоответствующие многомерные характеристические функции

Для детерминиров. процессов плотность вероятности выражается через -функцию, <напр.

Исчерпывающей статистич. характеристикой С. п. является его характеристическийфункционал где (...) означает статистич. усреднение по всевозможным реализациям С. <п. наинтервале (T₁, T₂). Зная Ф[v], можно получить многомерныехарактеристич. ф-ции для , взяв в качестве аргумента функционала ф-цию . Коэф. разложения Ф[v] в окрестности v =0 определяют моментныефункции М _п С. п.:

а коэф. разложения - кумулянтные функции К _п:

Кумулянтные ф-ции 1-го и 2-го порядка характеризуют ср. значение и корреляционную функцию

Ф-ции M_n(t₁,...,t_n )и K_n(t₁,...,t_n )при t₁ = t₂ =...= t_n определяютодноточечные моменты и кумулянты С. ц., в частности со. интенсивность , дисперсию ,коэф. асимметрии и эксцесса

При ограниченных сведениях о С. п. либо при невозможности его полногоописания часто пользуются корреляционной теорией, рассматривающейтолько одноточечные и двухточечные статистич. характеристики 1-го и 2-гопорядка.

Вместо характеристич. функционала иногда используют функционал плотностивероятности С. п., к-рый является континуальным аналогом многоточечной плотности вероятностии характеризует плотность вероятности отд. реализаций С. п..Нормировочный множитель функционала обычно обращается в О или в ,но это не препятствует использованию при нахождении моментов и кумулянтов С. п., наиб. вероятных реализацийС. п. и т. п.

Перечисленные статистич. характеристики обобщают на комплексные и векторные(многомерные, многокомпонентные) С. п.. Наряду с моментами и кумулянтами, характеризующими статистич. свойстваотд. компонент С. п., пользуются также смешанными моментами и кумулянтами, <описывающими взаимные статистич. связи между компонентами С. п.

Нек-рые классы С. п. представляют спец. интерес для физики.

Стационарные процессы. С. п. наз. стационарным в узком смысле, есливсе его многоточечные вероятностные характеристики не меняются при измененииначала отсчёта времени, т. е. зависят только от разностей I; - tj. Еслиэтим свойством обладают только ср. значение и корреляц. ф-ция, т. е.и , причём ,то С. п. является стационарным в широком смысле. Для стационарных в широкомсмысле процессов имеет место Винера - Хинчина теорема: корреляц. <ф-ция и спектральная плотность (спектр мощности) С. п. связаны друг с другомпреобразованием Фурье.

Время корреляции t _с, в течение к-рого корреляц. ф-ция спадаетв е раз, и ширина спектра связаны соотношением неопределённости . При величина и С. п. представляет собой белый шум.

Квазистационарные процессы. Если зависимость многоточечных статистич. <характеристик С. п. от положения на оси времени является медленной по сравнениюс зависимостью от разностей t_i - t_j, тотакой С. п. относят к классу квазистационарных. Для него можно ввести понятиемгновенной спектральной плотности.

Периодически - нестационарные процессы. У таких С. п. статистич. характеристикипериодически зависят от времени, напр., где F(t) - периодич. детерминированная ф-ция, а - стационарный С. п.

Случайные процессы со стационарными п р и р а щ е н и я м и. Это процессы, <для к-рых, как и для стационарных процессов, сохраняется понятие спектральнойплотности, но коррсляц. ф-ция может и но существовать. Для статистич. описаниятаких С. п. пользуются не корреляционной, а структурно н функцией равной дисперсии случайных приращений процесса на интервале (t₁,t₂). Структурная ф-ция стационарного процесса связана с его корреляц. ф-цией(если последняя существует) соотношением:

Гауссовы процессы. В случае нормальных (гауссовых) процессовмоментные и кумулянтные ф-ции произвольного порядка выражаются через ср. <значение и корреляц. ф-цию, к-рые дают, т. о., полное описание С. п. этогокласса. Значит. роль гауссовых процессов в физике определяется тем, чтоони реализуются практически всюду, где происходит сложение многих С. н.( центральная предельная теорема). Однородный гауссов процесс с независимымиприращениями наз. винеровским случайным процессом, служит непрерывноймоделью броуновского движения.

Марковские процессы (процессы без последействия), для них многоточечныевероятности выражаются через одномерные плотности распределения и двухточечныеплотности вероятности перехода.

Кроме того, выделяют ещё импульсные процессы, диффузионные процессы, <ветвящиеся процессы и др. Широкий класс С. п. составляют процессы, подчиняющиеся стохастическим уравнениям. Трудности в интерпретации эмпирич. статистич. <характеристик реальных процессов связаны с выделением статистич. ансамбля, <к к-рому может принадлежать ограниченный отрезок наблюдаемого процесса. <При выборе статистич. ансамбля фундам. роль играет эргодическая гипотеза, согласно к-рой моменты гипотетич. ансамбля отождествляют со среднимипо времени.

Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 6 изд., М., 1988;Введение в статистическую радиофизику, ч. 1- Р ы т о в С. М., Случайныепроцессы, М., 1976; Справочник по теории вероятностей и математическойстатистике, 2 изд., М., 1985; Я г л о м А. М., Корреляционная теория стационарныхслучайных функций, Л., 1981; Розанов Ю. А., Теория вероятностей, случайныепроцессы и математическая статистика, М., 1985. О. В. Тулинский, Ю. <Л. Кравцов, А. Б. Шмелёв.