Круг сходимости

степенного Ряда

a₀+a₁(z-z₀)+a₂(z-z₀)²+… (*)

круг |z—z₀|<> в плоскости комплексного переменного z, обладающий тем свойством, что внутри него ряд (*) сходится, а вне соответствующего замкнутого круга — расходится (в точках окружности |z—z₀| = R ряд может как сходиться, так и расходиться). Каждый степенной ряд или сходится на всей плоскости (при любых z), или имеет К. с. конечного радиуса R, или сходится только при z = z₀. Внутри К. с. ряд (*) сходится к некоторой аналитической функции (См. Аналитические функции). Число R называется радиусом сходимости ряда (*) и определяется по формуле Коши — Адамара:

Если z₀ = x₀ — действительное число, то часть действительной оси Ox, лежащая внутри К. с., называется интервалом сходимости (См. Интервал сходимости).

мат. circle of convergance, circle of convergence

disk of convergence

степенного ряда

- круг вида в к-ром ряд (1) абсолютно сходится, а вне его, при расходится. Иными словами, К. с. есть внутренность множества точек сходимости ряда (1). Радиус RК. с. наз. радиусом сходимости ряда (1). К. с. может вырождаться в точку а, когда R = 0, н может совпадать со всей открытой плоскостью переменного z, когда Радиус сходимости Rравен расстоянию от центра ряда адо множества особых точек функции f (z) (об определении Л по коэффициентам ряда c_k см. Коши - Адамара теорема). Любой круг на плоскости z является К. с. нек-рого степенного ряда.

В случае степенного ряда

по нескольким комплексным переменным n>1, поликругом сходимости ряда (2) наз. всякий поликруг

такой, что во всех его точках ряд (2) абсолютно сходится, а в любом поликруге вида

где и по крайней мере одно из последних неравенств строгое, найдется хотя бы одна точка, в к-рой ряд (2) расходится. Радиусы поликруга сходимости наз. сопряженными р а д и у с a м и сходимости ряда (2). Они связаны определенным соотношением с коэффициентами ряда (2), так что любой поликруг с центром а, радиусы к-рого удовлетворяют этому соотношению, является поликругом сходимости ряда (2) (см. Коши - Адамара теорема). Любой поликруг вида ..., n, в комплексном пространстве есть поликруг сходимости нек-рого степенного ряда по пкомплексным переменным. Вся внутренность множества точек абсолютной сходимости ряда (2) при n>1 имеет более сложный вид - это логарифмически выпуклая полная кратно круговая область пространства с центром а.

Лит.:[1] М а р к v ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [2] III а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1, М., 1976. Е. Д. Соломенцев.

disk of convergence

* * *

circle of convergence

матем. cerchio di convergenza

круг збі́жності

круг збі́жності