Топология

(от греч. tо́pos — место и …логия (См. ...Логия)

часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Т. на ряд отделов («общая Т.», «алгебраическая Т.» и др.), отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных.

I. Общая топология

Часть Т., ориентированная на аксиоматическое изучение непрерывности, называется общей Т. Наряду с алгеброй общая Т. составляет основу современного теоретико-множественного метода в математике.

Аксиоматически непрерывность можно определить многими (вообще говоря, неравносильными) способами. Общепринята аксиоматика, основывающаяся на понятии открытого множества. Топологической структурой, или топологией, на множестве Х называют такое семейство его подмножеств, называемых открытыми множествами, что: 1) пустое множество ∅ и всё Х открыты; 2) объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств открыто. Множество, на котором задана топологическая структура, называют топологическим пространством (См. Топологическое пространство).В топологическом пространстве Х можно определить все основные понятия элементарного анализа, связанные с непрерывностью. Например, окрестностью точки x ∈ X называют произвольное открытое множество, содержащее эту точку; множество A ⊂ Xназывают замкнутым, если его дополнение Х А открыто; замыканием множества А называют наименьшее замкнутое множество, содержащее A; если это замыкание совпадает с X, то А называют всюду плотным в Х и т.д.

По определению, ∅ и Х являются одновременно замкнутыми и открытыми множествами. Если в Х нет других множеств, одновременно замкнутых и открытых, то топологическое пространство Х называют связным. Наглядно связное пространство состоит из одного «куска», а несвязное — из нескольких.

Любое подмножество А топологического пространства Х обладает естественной топологической структурой, состоящей из пересечений с А открытых множеств из X. Снабженное этой структурой А называют подпространством пространства X. Каждое Метрическое пространство становится топологическим, если за его открытые множества принять множества, содержащие вместе с произвольной точкой некоторую её ε-окрестность (шар радиуса ε с центром в этой точке). В частности, любое подмножество n-мерного евклидова пространства |Rⁿ является топологическим пространством. Теория таких пространств (под названием «геометрической Т.») и теория метрических пространств включаются по традиции в общую Т.

Геометрическая Т. довольно четко распадается на две части: изучение подмножеств |Rⁿ произвольной сложности, подчинённых тем или иным ограничениям общего характера (примером является так называемая теория континуумов, то есть связных ограниченных замкнутых множеств), и изучение способов, какими в |Rⁿ могут быть вложены такие простые топологические пространства, как сфера, шар и т.п. (вложения в |Rⁿ, например, сфер могут быть очень сложно устроенными).

Открытым покрытием топологического пространства Х называют семейство его открытых множеств, объединением которого является всё X. Топологическое пространство Х называют компактным (в другой терминологии —бикомпактным), если любое его открытое покрытие содержит конечное число элементов, также образующих покрытие. Классическая теорема Гейне — Бореля утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество |Rⁿ компактно. Оказывается, что все основные теоремы элементарного анализа об ограниченных замкнутых множествах (например, теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве непрерывная функция достигает своего наибольшего значения) справедливы для любых компактных топологических пространств. Это определяет фундаментальную роль, которую играют компактные пространства в современной математике (особенно в связи с теоремами существования). Выделение класса компактных топологических пространств явилось одним из крупнейших достижений обшей Т., имеющих общематематическое значение.

Открытое покрытие {V_β} называют вписанным в покрытие {U_α}, если для любого β существует α такое, что V_β ⊂ U_α.Покрытие {V_β} называют локально конечным, если каждая точка х ∈ Х обладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом элементов этого покрытия. Топологическое пространство называют паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Класс паракомпактных пространств является примером классов топологических пространств, получающихся наложением так называемых условий типа компактности. Этот класс очень широк, в частности он содержит все метризуемые топологические пространства, то есть пространства X, в которых можно ввести такую метрику ρ, что Т., порожденная ρ в X, совпадает с Т., заданной в X.

Кратностью открытого покрытия называют наибольшее число k такое, что найдётся k его элементов, имеющих непустое пересечение. Наименьшее число n,обладающее тем свойством, что в любое конечное открытое покрытие топологического пространства Х можно вписать открытое покрытие кратности ≤n + 1, обозначается символом dimХ и называется размерностью X. Это название оправдано тем, что в элементарно-геометрических ситуациях dimХ совпадает с обычно понимаемой размерностью, например dim|Rⁿ = n. Возможны и др. числовые функции топологического пространства X, отличающиеся от dimX, но в простейших случаях совпадающие с dimX. Их изучение составляет предмет общей теории размерности — наиболее геометрически ориентированной части общей Т. Только в рамках этой теории удаётся, например, дать чёткое и достаточно общее определение интуитивного понятия геометрической фигуры и, в частности, понятия линии, поверхности и т.п.

Важные классы топологических пространств получаются наложением так называемых аксиом отделимости. Примером является так называемая аксиома Хаусдорфа, или аксиома T₂, требующая, чтобы любые две различные точки обладали непересекающимися окрестностями. Топологическое пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется хаусдорфовым, или отделимым. Некоторое время в математической практике встречались почти исключительно хаусдорфовы пространства (например, любое метрическое пространство хаусдорфово). Однако роль нехаусдорфовых топологических пространств в анализе и геометрии постоянно растет.

Топологические пространства, являющиеся подпространствами хаусдорфовых (би) компактных пространств, называются вполне регулярными или тихоновскими. Их тоже можно охарактеризовать некоторой аксиомой отделимости, а именно: аксиомой, требующей, чтобы для любой точки x₀∈Хи любого не содержащего её замкнутого множества F существовала непрерывная функция g : Х→[0, 1], равная нулю в x₀ и единице на F.

Топологические пространства, являющиеся открытыми подпространствами хаусдорфовых компактных, называются локально компактными пространствами. Они характеризуются (в классе хаусдорфовых пространств) тем, что каждая их точка обладает окрестностью с компактным замыканием (пример: евклидово пространство). Любое такое пространство дополняется одной точкой до компактного (пример: присоединением одной точки из плоскости получается сфера комплексного переменного, а из |Rⁿ — сфера S ⁿ).

Отображение f : X→Y топологическое пространства Х в топологическое пространство Y называют непрерывным отображением, если для любого открытого множества V ⊂ Y множество f^—1(V) открыто в X. Непрерывное отображение называют гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображение f^—1: Y→X непрерывно. Такое отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми множествами топологических пространств Х и Y, перестановочное с операциями объединения и пересечения множеств. Поэтому все топологические свойства (то есть свойства, формулируемые в терминах открытых множеств) этих пространств одни и те же, и с топологической точки зрения гомеоморфные топологические пространства (то есть пространства, для которых существует хотя бы один гомеоморфизм Х→ Y) следует считать одинаковыми (подобно тому как в евклидовой геометрии одинаковыми считаются фигуры, которые можно совместить движением). Например, гомеоморфны («топологически одинаковы») окружность и граница квадрата, шестиугольника и т.п. Вообще любые две простые (не имеющие двойных точек) замкнутые линии гомеоморфны. Напротив, окружность не гомеоморфна прямой (ибо удаление точки не нарушает связности окружности, но нарушает связность прямой; по той же причине прямая не гомеоморфна плоскости, а окружность не гомеоморфна «восьмёрке»). Окружность не гомеоморфна также и плоскости (выкиньте не одну, а две точки).

Пусть {Х_α} — произвольное семейство топологических пространств. Рассмотрим множество Х всех семейств вида {х_α}, где x_α∈X_α (прямое произведение множеств X_α). Для любого α формула Х можно ввести много топологических структур, относительно которых все отображения p_α непрерывны. Среди этих структур существует наименьшая (то есть содержащаяся в любой такой структуре). Снабженное этой топологической структурой множество Х называется топологическим произведением топологических пространств Х_α и обозначается символом ПХ_α (а в случае конечного числа сомножителей — символом X₁ × ... × X_n). В явном виде открытые множества пространства Х можно описать как объединения конечных пересечений всех множеств вида U_α открыто в X_α. Топологическое пространство Х обладает следующим замечательным свойством универсальности, однозначно (с точностью до гомеоморфизма) его характеризующим: для любого семейства непрерывных отображений f_α : Y → X_α существует единственное непрерывное отображение f : Y → X, для которого при всех α. Пространство |Rⁿ является топологическим произведением n экземпляров числовой прямой. Одной из важнейших теорем общей Т. является утверждение о том, что топологическое произведение компактных топологических пространств компактно.

Если Х — топологическое пространство, а Y — произвольное множество и если задано отображение p : X → Y пространства Х на множество Y (например, если Y является фактормножеством Х по некоторому отношению эквивалентности, а p представляет собой естественную проекцию, сопоставляющую с каждым элементом х ∈Х его класс эквивалентности), то можно ставить вопрос о введении в Y топологической структуры, относительно которой отображение p непрерывно. Наиболее «богатую» (открытыми множествами) такую структуру получают, полагая открытыми множествами в Y все те множества V ⊂ Y, для которых множество f^‑1(V) ⊂ Х открыто в X. Снабженное этой топологической структурой множество Y называется факторпространством топологического пространства Х (по отношению к p). Оно обладает тем свойством, что произвольное отображение f :Y → Z тогда и только тогда непрерывно, когда непрерывно отображение X → Z. Непрерывное отображение p :X → Y называется факторным, если топологическое пространство Y является по отношению к p факторпространством топологического пространства X. Непрерывное отображение p : X → Y называется открытым, если для любого открытого множества U ⊂ Х множество p(U) открыто в Y, и замкнутым, если для любого замкнутого множества F ⊂ Х множество p(F) замкнуто в Y. Как открытые, так и замкнутые непрерывные отображения f : Х → Y, для которых f(X) = Y, являются факторными.

Пусть Х — топологическое пространство, А — его подпространство и f : A → Y — непрерывное отображение. Предполагая топологические пространства Х и Y непересекающимися, введём в их объединении Х ∪ Y топологическую структуру, считая открытыми множествами объединения открытых множеств из Х и Y. Далее, введём в пространстве Х ∪ Y наименьшее отношение эквивалентности, в котором a Топология f(α) для любой точки a ∈А. Соответствующее факторпространство обозначается символом X ∪ _fY, и о нём говорят, что оно получено приклеиванием топологического пространства Х к топологическому пространству Y по А посредством непрерывного отображения f. Эта простая и наглядная операция оказывается очень важной, так как позволяет получать из сравнительно простых топологических пространств более сложные. Если Y состоит из одной точки, то пространство Х ∪ _fY обозначается символом Х/А и о нём говорят, что оно получено из Х стягиванием А в точку. Например, если Х — диск, а А — его граничная окружность, то Х/А гомеоморфно сфере.

2. Равномерная топология

Часть Т., изучающая аксиоматическое понятие равномерной непрерывности, называется равномерной Т. Известное из анализа определение равномерной непрерывности числовых функций непосредственно переносится на отображения любых метрических пространств. Поэтому аксиоматику равномерной непрерывности обычно получают, отталкиваясь от метрических пространств. Подробно исследованы два аксиоматических подхода к равномерной непрерывности, основанных соответственно на понятиях близости и окружения диагонали.

Подмножества А и В метрических пространства Х называются близкими (обозначение ΑδΒ), если для любого ε > 0 существуют точки a ∈ А и b ∈В, расстояние между которыми Х называется такое отношение δ на множестве всех его подмножеств, что: 1) ∅δ̅X (символом A₁ и Aδ̅B₂⇔Aδ̅(B₁ UB₂ ); 3){x}δ̅{y} ⇔ x ≠ y; 4) если Аδ̅В, то существует такое множество С, что Аδ̅(ХС). Множество, в котором задана структура близости, называется пространством близости. Отображение пространства близости Х в пространство близости Y называется близостно непрерывным, если образы близких в Х множеств близки в Y. Пространства близости Х и Y называются близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображение X → Y, обратное к которому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение называется эквиморфизмом). В равномерной Т. эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрическим пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологическое пространство, считая подмножество u ⊂ x открытым, если {x}δ̅(XU) для любой точки х ∈ U. При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями. Класс топологических пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологических пространств. Для любого вполне регулярного пространства Х все структуры близости на X, порождающие его топологическую структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми компактификациями (в другой терминологии — би-компактными расширениями) вХ — компактными хаусдорфовыми топологическими пространствами, содержащими Х в качестве всюду плотного пространства. Структура близости δ, соответствующая расширению вХ, характеризуется тем, что АδВ тогда и только тогда, когда замыкания множеств А и В пересекаются в bX. В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологическом пространстве Х существует единственная структура близости, порождающая его топологическую структуру.

Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрическом пространстве Х можно определить в терминах отношения «точки х и у находятся на расстоянии, не большем ε». С общей точки зрения, отношение на Х есть не что иное как произвольное подмножество U прямого произведения Х × X. Отношение «тождество» является с этой точки зрения диагональю Δ ⊂ Х × X, то есть множеством точек вида (х, х), х ∈ X. Для любого отношения U определено обратное отношение U^—1 = {(х, у); (у, х) ∈ U} и для любых двух отношений U и V определена их композиция U ․ V = {(х, у); существует z ∈ Х такое, что (х, z) ∈ U, (z, y) ∈ V}. Семейство отношений {U} называется (отделимой) равномерной структурой на Х (а отношения U называется окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит Δ, и пересечение всех окружений диагонали совпадает с Δ; 3) вместе с U окружением диагонали является и U^—1;4) для любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали W, что W o W ⊂ U. Множество, наделённое равномерной структурой, называется равномерным пространством. Отображение f :X → Y равномерного пространства Х в равномерное пространство Y называется равномерно непрерывным, если прообраз при отображении f × f :Х × Х → Y × Y любого окружения диагонали V ⊂ Y × Y содержит некоторое окружение диагонали из Х × X. Равномерные пространства Х и Y называются равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение Х → Y, обратное к которому также является равномерно непрерывным отображением.

В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на Х определяет некоторую структуру близости: АδВ тогда и только тогда, когда (A × В) ∩U ≠ ∅ для любого окружения диагонали U ⊂ X × X. При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными.

3. Алгебраическая топология

Пусть каждому топологическому пространству Х (из некоторого класса) поставлен в соответствие некоторый алгебраический объект h(X) (группа, кольцо и т.п.), а каждому непрерывному отображению f : X → Y — некоторый гомоморфизм h(f) : h(X) → h(Y) (или h(f) : h(Y) → h(X),являющийся тождественным гомоморфизмом, когда f представляет собой тождественное отображение. Если h(f₁○f₂) = h(f₁)○h(f₂) (или, соответственно, h(f₁○f₂) = h(f₂) ○h(f₁), то говорят, что hпредставляет собой функтор (соответственно кофунктор). Большинство задач алгебраической Т. так или иначе связано со следующей задачей распространения: для данного непрерывного отображения f : A→Yподпространства A ⊂ Х в некоторое топологическое пространство Y найти непрерывное отображение g : X→Y, совпадающее на A с f, то есть такое, что f = g․i, где i : А→ Х — отображение вложения (i(a) = а для любой точки а ∈ A). Если такое непрерывное отображение g существует, то для любого функтора (кофунктора) h существует такой гомоморфизм (φ: h(X) → h(Y) (гомоморфизм φ: h(Y) → h(X)), что h(f) = φ ○ h(i) (соответственно h(f) = h(i) ○ φ); им будет гомоморфизм φ = h(g). Следовательно, несуществование гомоморфизма φ (хотя бы для одного функтора h) влечёт несуществование отображения g. К этому простому принципу могут быть фактически сведены почти все методы алгебраических Т. Например, существует функтор h, значение которого на шаре E ⁿ является тривиальной, а на ограничивающей шар сфере S ^n—1 — нетривиальной группой. Уже отсюда следует отсутствие так называемой ретракции — непрерывного отображения р : E ⁿ→S ^n—1, неподвижного на S ^n—1, то есть такого, что композиция р․i,где i :S^n‑1→Eⁿ— отображение вложения, представляет собой тождественное отображение (если р существует, то тождественное отображение группы h(S ^n—1) будет композицией отображений h(i):h(S ^n—1) → h(E ⁿ) и h(p) : h(E ⁿ) → h(S ^n—1), что при тривиальной группе h(E ⁿ) невозможно). Однако этот, по существу, элементарно-геометрический и (при n = 2) наглядно очевидный факт (физически означающий возможность натянуть на круглый обруч барабан) до сих пор не удалось доказать без привлечения алгебраико-топологических методов. Его непосредственным следствием является утверждение, что любое непрерывное отображение f : E ⁿ→E ⁿ имеет хотя бы одну неподвижную точку, то есть уравнение f(x) = х имеет в E ⁿ хотя бы одно решение (если f(x) ≠ x для всех х ∈ E ⁿ, то, приняв за р(х) точку из S ^n—1, коллинеарную точкам f(x) и х и такую, что отрезок с концами f(x) и р(х) содержит х, получим ретракцию р : E ⁿ→ S ^n—1). Эта теорема о неподвижной точке была одной из первых теорем алгебраической Т., а затем явилась источником целой серии разнообразных теорем существования решений уравнений.

Вообще говоря, установление несуществования гомоморфизма (φ тем легче, чем сложнее алгебраическая структура объектов h(X). Поэтому в алгебраических Т. рассматриваются алгебраические объекты чрезвычайно сложной природы, и требования алгебраической топологии существенно стимулировали развитие абстрактной алгебры.

Топологическое пространство Х называется клеточным пространством, а также клеточным разбиением (или CW-комплексом), если в нём указана возрастающая последовательность подпространств X ⁰ ⊂ …⊂X ^n—1 ⊂X ⁿ ⊂ … (называется остовами клеточного пространства X), объединением которых является всё X, причём выполнены следующие условия: 1) множество U ⊂ X тогда и только тогда открыто в X, когда для любого n множество U∩ Xⁿ открыто в Xⁿ; 2) Xⁿ получается из X^n—1 приклеиванием некоторого семейства n-мepных шаров по их граничным (n—1)-мepным сферам (посредством произвольного непрерывного отображения этих сфер в X^n—1); 3) X⁰ состоит из изолированных точек. Таким образом, структура клеточного пространства состоит, грубо говоря, в том, что оно представлено в виде объединения множеств, гомеоморфных открытым шарам (эти множества называются клетками). В алгебраических Т. изучаются почти исключительно клеточные пространства, поскольку специфика задач алгебраических Т. для них уже полностью проявляется. Более того, фактически для алгебраических Т. интересны некоторые особо простые клеточные пространства (типа Полиэдров, см. ниже), но сужение класса клеточных пространств, как правило, существенно осложняет исследование (поскольку многие полезные операции над клеточными пространствами выводят из класса полиэдров).

Два непрерывных отображения f, g : X→Y называются гомотопными, если они могут быть непрерывно продеформированы друг в друга, то есть если существует такое семейство непрерывных отображений f_t : X→Y, непрерывно зависящих от параметра t∈ [0, 1], что f₀=f и f₁ = g (непрерывная зависимость от t означает, что формула F(x, t) = f_t(x), х ∈ X, t ∈ [0, 1] определяет непрерывное отображение F : Х × [0, 1] → Y; это отображение, а также семейство {f_t } называют гомотопией, связывающей f с g). Совокупность всех непрерывных отображений X → Y распадается на гомотопические классы гомотопных между собой отображений. Множество гомотопических классов непрерывных отображений из Х в Y обозначается символом [X, Y]. Изучение свойств отношения гомотопности и, в частности, множеств [X, Y] составляет предмет так называемой гомотопической топологии (или теории гомотопий). Для большинства интересных топологических пространств множества [X, Y] конечны или счётны и могут быть в явном виде эффективно вычислены. Топологические пространства Х и Y называются гомотопически эквивалентными, или имеющими один и тот же гомотопический тип, если существуют такие непрерывные отображения f : Х → Y и g : Y →Х, что непрерывные отображения g․f : Х → Х и f․g : Y→Y гомотопны соответствующим тождественным отображениям. В гомотопической Т. такие пространства следует рассматривать как одинаковые (все их «гомотопические инварианты» совпадают).

Оказывается, что во многих случаях (в частности, для клеточных пространств) разрешимость задачи распространения зависит только от гомотопического класса непрерывного отображения f : A → Y; точнее, если для f распространение g : Х → Y существует, то для любой гомотопии f_t : A→Y (с f₀ = f) существует распространение g_t : Х → Y такое, что g₀ = g. Поэтому вместо f можно рассматривать его гомотопический класс [f] и в соответствии с этим изучать лишь гомотопически инвариантные функторы (кофункторы) h, то есть такие, что h(f₀) = h(f₁), если отображения f₀ и f₁ гомотопны. Это приводит к настолько тесному переплетению алгебраической и гомотопической Т., что их можно рассматривать как единую дисциплину.

Для любого топологического пространства Y формулы h(X) = [X, Y] и h(f) = [φ○f], где f : X₁ → X₂ и φ : X₂ → Y, определяют некоторый гомотопически инвариантный кофунктор h, о котором говорят, что он представлен топологическим пространством Y. Это — стандартный (и по существу единственный) приём построения гомотопических инвариантных кофункторов. Чтобы множество h(X) оказалось, скажем, группой, нужно У выбрать соответствующим образом, например потребовать, чтобы оно было топологической группой (вообще говоря, это не совсем так: необходимо выбрать в Х некоторую точку x₀ и рассматривать лишь непрерывные отображения и гомотопии, переводящие x₀ в единицу группы; это техническое усложнение будет, однако, в дальнейшем игнорироваться). Более того, достаточно, чтобы Y было топологической группой «в гомотопическом смысле», то есть чтобы аксиомы ассоциативности и существования обратного элемента (утверждающие фактически совпадение некоторых отображений) выполнялись бы только «с точностью до гомотопии». Такие топологические пространства называютсяН-пространствами. Таким образом, каждое Н-пространство Y задаёт гомотопически инвариантный кофунктор h(X) = [X, Y], значениями которого являются группы.

Аналогичным («двойственным») образом, каждое топологическое пространство Y задаёт по формулам h(X) = [Y, X], h(f) =[f○φ], где f : X₁ → X₂ и φ : Y → X₁, некоторый функтор h. Чтобы h(X) было группой, нужно, чтобы Y обладало определённой алгебраической структурой, в некотором точно определённом смысле двойственной структуре Н-пространства. Топологические пространства, наделённые этой структурой, называются ко-Н-пространствами. Примером ко-Н-пространства является n-мepная сфера S ⁿ (при n ≥ 1). Таким образом, для любого топологического пространства Х формула π_nX = [Sⁿ, X] определяет некоторую группу π_nX, n ≥ 1, которая называетсяn-й гомотопической группой пространства X. При n = 1 она совпадает с фундаментальной группой. При n > 1 группа π_nX коммутативна. Если π₁X = {1}, то Х называется односвязным.

Клеточное пространство Х называется пространством K(G, n), если π_i(X) = 0 при i ≠ n и π_nX = G; такое клеточное пространство существует для любого n ≥ 1 и любой группы G (коммутативной при n > 1) и с точностью до гомотопической эквивалентности определено однозначно. При n > 1 (а также при n = 1, если группа G коммутативна) пространство K(G, n) оказывается Н-пространством и потому представляет некоторую группу Hⁿ(X; G) = [X; K(G, n)]. Эта группа называетсяn-мepной группой когомологий топологического пространства Х с группой коэффициентов G. Она является типичным представителем целого ряда важных кофункторов, к числу которых принадлежит, например, К-функтор KO(X) = [Х, BO], представляемый так называемым бесконечномерным грассманианом BO, группы ориентированных кобордизмов ΩⁿX и т.п.

Если G является кольцом, то прямая сумма Н*(Х; G) групп H ⁿ(X; G) является алгеброй над G. Более того, эта прямая сумма обладает очень сложной алгебраической структурой, в которую (при G = Z_p, где Z_p — циклическая группа порядка р) входит действие на Н*(Х; G) некоторой некоммутативной алгебры _p, называемой алгеброй Стинрода. Сложность этой структуры позволяет, с одной стороны, выработать эффективные (но совсем не простые) методы вычисления групп H ⁿ(X; G), а с другой — установить связи между группами H ⁿ(X; G) и другими гомотопически инвариантными функторами (например, гомотопическими группами π_nX), позволяющие часто в явном виде вычислить и эти функторы.

Исторически группам когомологий предшествовали так называемые группы гомологий H_n(X; G), являющиеся гомотопическими группами π_nM(X, G) некоторого клеточного пространства M(X, G), однозначно строящегося по клеточному пространству Х и группе G. Группы гомологий и когомологий в определённом смысле двойственны друг другу, и их теории по существу равносильны. Однако алгебраическая структура, имеющаяся в группах гомологий, менее привычна (например, эти группы составляют не алгебру, а так называемую коалгебру), и поэтому в вычислениях обычно пользуются группами когомологий. Вместе с тем в некоторых вопросах группы гомологий оказываются более удобными, поэтому они также изучаются. Часть алгебраических Т., занимающаяся изучением (и применением) групп гомологий и когомологий, называется теорией гомологий.

Перенесение результатов алгебраических Т. на пространства более общие, чем клеточные пространства, составляет предмет так называемой общей алгебраической Т. В частности, общая теория гомологий изучает группы гомологий и когомологий произвольных топологических пространств и их применения. Оказывается, что вне класса компактных клеточных пространств различные подходы к построению этих групп приводят, вообще говоря, к различным результатам, так что для неклеточных топологических пространств возникает целый ряд различных групп гомологий и когомологий. Основное применение общая теория гомологий находит в теории размерности и в теории так называемых законов двойственности (описывающих взаимоотношения между топологическими свойствами двух дополнительных подмножеств топологического пространства), и её развитие было во многом стимулировано нуждами этих теорий.

4. Кусочно-линейная топология

Подмножество Р ∈ |Rⁿ называется конусом с вершиной а и основанием В, если каждая его точка принадлежит единственному отрезку вида ab, где b ∈ В. Подмножество Х ∈ |Rⁿ называется полиэдром, если любая его точка обладает в Х окрестностью, замыкание которой является конусом с компактным основанием. Непрерывное отображение f : X → Y полиэдров называется кусочно-линейным, если оно линейно на лучах каждой конической окрестности любой точки х ∈ X.Взаимно однозначное кусочно-линейное отображение, обратное к которому также кусочно-линейно, называется кусочно-линейным изоморфизмом. Предметом кусочно-линейной Т. является изучение полиэдров и их кусочно-линейных отображений. В кусочно-линейной Т. полиэдры считаются одинаковыми, если они кусочно-линейно изоморфны.

Подмножество Х ∈ |Rⁿ тогда и только тогда является (компактным) полиэдром, когда оно представляет собой объединение (конечного) семейства выпуклых многогранников. Любой полиэдр может быть представлен в виде объединения Симплексов, пересекающихся только по целым граням. Такое представление называют триангуляцией (См. Триангуляция) полиэдра. Каждая триангуляция однозначно определена её симплициальной схемой, то есть множеством всех её вершин, в котором отмечены подмножества, являющиеся множествами вершин симплексов. Поэтому вместо полиэдров можно рассматривать лишь симп-лициальные схемы их триангуляций. Например, по симплициальной схеме можно вычислять группы гомологий и когомологий. Это делается следующим образом:

а) симплекс, вершины которого определённым образом упорядочены, называется упорядоченным симплексом данной триангуляции (или симплициальной схемы) К; формальные линейные комбинации упорядоченных симплексов данной размерности n с коэффициентами из данной группы G называютсяn-мepными цепями; все они естественным образом составляют группу, которая обозначается символом C_n(K; G);

б) выбросив из упорядоченного n-мерного симплекса σ вершину с номером i, 0 ≤ i≤n, получим упорядоченный (n—1)-мерный симплекс, который обозначается символом σ⁽ⁱ⁾; цепь по линейности отображение ∂ распространяется до гомоморфизма ∂: C_n(K; G) → C_n-1 (K; G);

в) цепи с, для которых ∂c = 0, называются циклами, они составляют группу циклов Z_n(K; G);

г) цепи вида ∂c называются границами, они составляют группу границ B_n(K; G);

д) доказывается, что B_n(K; G) ⊂ Z_n(K; G) (граница является циклом); поэтому определена факторгруппа

H_n(K; G) = Z_n(K; G)/ B_n(K; G).

Оказывается, что группа H_n(K; G)изоморфна группе гомологий H_n(X; G)полиэдра X, триангуляцией которого является К. Аналогичная конструкция, в которой исходят не из цепей, а из коцепей (произвольных функций, определённых на множестве всех упорядоченных симплексов и принимающих значения в G), даёт группы когомологий.

С этой конструкции, изложенной здесь в несколько модифицированной форме, и началось по существу становление алгебраической Т. В первоначальной конструкции рассматривались так называемые ориентированные симплексы (классы упорядоченных симплексов, отличающихся чётными перестановками вершин). Эта конструкция развита и обобщена в самых разнообразных направлениях. В частности, её алгебраические аспекты дали начало так называемой гомологической алгебре.

Самым общим образом симплициальную схему можно определить как множество, в котором отмечены некоторые конечные подмножества («симплексы»), причём требуется, чтобы любое подмножество симплекса было снова симплексом. Такая симплициальная схема является симплициальной схемой триангуляции некоторого полиэдра тогда и только тогда, когда число элементов произвольного отмеченного подмножества не превосходит некоторого фиксированного числа. Впрочем, понятие полиэдра можно обобщить (получив так называемые «бесконечномерные полиэдры»), и тогда уже любая симплициальная схема будет схемой триангуляции некоторого полиэдра (называемого её геометрической реализацией).

Произвольному открытому покрытию {U_α} каждого топологического пространства Х можно сопоставить симплициальную схему, вершинами которой являются элементы U_α покрытия и подмножество которой тогда и только тогда отмечено, когда элементы покрытия, составляющие это подмножество, имеют непустое пересечение. Эта симплициальная схема (и соответствующий полиэдр) называемому нервом покрытия. Нервы всевозможных покрытий в определённом смысле аппроксимируют пространство Х и, исходя из их групп гомологий и когомологий, можно посредством соответствующего предельного перехода получать группы гомологий и когомологий самого X. Эта идея лежит в основе почти всех конструкций общей теории гомологий. Аппроксимация топологического пространства нервами его открытых покрытий играет важную роль и в общей Т.

5. Топология многообразий

Хаусдорфово паракомпактное топологическое пространство называетсяn-мерным топологическим многообразием, если оно «локально евклидово», то есть если каждая его точка обладает окрестностью (называемой координатной окрестностью, или картой), гомеоморфной топологическому пространству |Rⁿ. В этой окрестности точки задаются n числами x₁,…, x_n, называемыми локальными координатами. В пересечении двух карт соответствующие локальные координаты выражаются друг через друга посредством некоторых функций, называемых функциями перехода. Эти функции задают гомеоморфизм открытых множеств в |Rⁿ, называются гомеоморфизмом перехода.

Условимся произвольный гомеоморфизм между открытыми множествами из |Rⁿ называть t-гомеоморфизмом. Гомеоморфизм, являющийся кусочно-линейным изоморфизмом, будем называть p-гомеоморфизмом, а если он выражается гладкими (дифференцируемыми любое число раз) функциями, — s-гомеоморфизмом.

Пусть α = t, p или s. Топологическое многообразие называется α-многообразием, если выбрано такое его покрытие картами, что гомеоморфизмы перехода для любых его двух (пересекающихся) карт являются α-гомеоморфизмами. Такое покрытие задаёт α-структуру на топологическом многообразии X. Таким образом, t-многообразие — это просто любое топологическое многообразие, p-многообразия называются кусочно-линейными многообразиями. Каждое кусочно-линейное многообразие является полиэдром. В классе всех полиэдров n-мерные кусочно-линейные многообразия характеризуются тем, что любая их точка обладает окрестностью, кусочно-линейно изоморфной n-мерному кубу. s-многообразия называются гладкими (или дифференцируемыми) многообразиями. α-отображением α-многообразия называются называется при α = t произвольное непрерывное отображение, при α = s — произвольное кусочно-линейное отображение, при α = s — произвольное гладкое отображение, то есть непрерывное отображение, записывающееся в локальных координатах гладкими функциями. Взаимно однозначное α-отображение, обратное к которому также является α-отображением, называется α-гомеоморфизмом (при α = s также диффеоморфизмом), α-многообразия Х и Y называются α-гомеоморфными (при α = s —диффеоморфными), если существует хотя бы один α-гомеоморфизм X → Y. Предметом теории α-многообразий является изучение α-многообразий и их α-отображений; при этом α-гомеоморфные α-многообразия считаются одинаковыми. Теория s-многообразий является частью кусочно-линейной Т. Теория s-многообразий называется также гладкой Т.

Основной метод современной теории многообразий состоит в сведении её задач к проблемам алгебраических Т. для некоторых нужным образом сконструированных топологических пространств. Эта тесная связь теории многообразий с алгебраической Т. позволила, с одной стороны, решить много трудных геометрических проблем, а с другой — резко стимулировала развитие самой алгебраической Т.

Примерами гладких многообразий являются n-мерные поверхности в |Rⁿ, не имеющие особых точек. Оказывается (теорема вложения), что любое гладкое многообразие диффеоморфно такой поверхности (при N≥2n + 1). Аналогичный результат верен и при α = t, p.

Каждое p-многообразие является t-многообразием. Оказывается, что на любом s-многообразии можно некоторым естественным образом ввести p-структуру (которая называется обычно у айтхедовской триангуляцией). Можно сказать, что любое α-многообразие, где α = p или s, является α’-многообразием, где α’ = t или p. Ответ на обратный вопрос: на каких α’-многообразиях можно ввести α-структуру (такое α’-многообразие при α’ = p называется сглаживаемым, а при α’ = t —триангулируемым), а если можно, то сколько? — зависит от размерности n.

Существует только два одномерных топологических многообразия: окружность S¹ (компактное многообразие) и прямая линия |R (некомпактное многообразие). Для любого α = p, s на t-многообразиях S¹ и |R существует единственная α-структура.

Аналогично, на любом двумерном топологическом многообразии (поверхности) существует единственная α-структура, и можно легко описать все компактные связные поверхности (некомпактные связные поверхности также могут быть описаны, но ответ получается более сложный). Для того чтобы поверхности были гомеоморфны, достаточно, чтобы они были гомотопически эквивалентны. При этом гомотопический тип любой поверхности однозначно характеризуется её группами гомологий. Существует два типа поверхностей: ориентируемые и неориентируемые. К числу ориентируемых принадлежит сфера S² и тор T². Пусть Х и Y— два связных n-мерных α-многообразия. Вырежем в Х и Y по шару (при n = 2 — диску) и склеим получившиеся граничные сферы (при n = 2 — окружности). При соблюдении некоторых само собой разумеющихся предосторожностей в результате снова получим α-многообразие. Оно называется связной суммой α-многообразий Х и Y и обозначается X#Y. Например, T²#T² имеет вид кренделя. Сфера S ⁿ является нулём этого сложения, то есть S ⁿ#X = Х для любого X. В частности, S²#T² = T². Оказывается, что ориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме вида S²#T²#…#T², число p слагаемых T² называется родом поверхности. Для сферы p = 0, для тора p = 1 и т. д. Поверхность рода p можно наглядно представлять себе как сферу, к которой приклеено p «ручек». Каждая неориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме |RP²# … #|RP² некоторого числа проективных плоскостей |RP². Её можно представлять себе как сферу, к которой приклеено несколько Мебиуса листов (См. Мёбиуса лист).

На каждом трёхмерном топологическом многообразии при любом α = p, s также существует единственная α-структура и можно описать все гомотопические типы трёхмерных топологических многообразий (однако групп гомологий для этого уже недостаточно). В то же время до сих пор (1976) не описаны все (хотя бы компактные связные) трёхмерные топологические многообразия данного гомотопического типа. Это не сделано даже для односвязных многообразий (все они гомотопически эквивалентны сфере S³). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что любое такое многообразие гомеоморфно S³.

Для четырёхмерных (компактных и связных) топологических многообразий вопрос о существовании и единственности α-структур (α = p, s) ещё не решен, а их гомотопический тип описан только в предположении односвязности. Справедлив ли для них аналог гипотезы Пуанкаре, неизвестно.

Замечательно, что для компактных и связных топологических многообразий размерности n ≥ 5 ситуация оказывается совсем иной: все основные задачи для них можно считать в принципе решенными (точнее, сведёнными к проблемам алгебраической Т.). Любое гладкое многообразие Х вкладывается как гладкая (n-мepная) поверхность в Х составляют некоторое новое гладкое многообразие TX, которое называется касательным расслоением гладкого многообразия X. Вообще, векторным расслоением над топологическим пространством Х называется топологическое пространство Е, для которого задано такое непрерывное отображение π : Е → Х, что для каждой точки х ∈ Хпрообраз v (слой) является векторным пространством и существует такое открытое покрытие {U_α} пространства X, что для любого α прообраз π^—1(U_α) гомеоморфен произведению U_α × |Rⁿ, причём существует гомеоморфизм π^—1(U_α) → U_α × |Rⁿ, линейно отображающий каждый слой π^—1(x), x ∈ U_α, на векторное пространство {х} × |Rⁿ. При Е = TX непрерывное отображение π сопоставляет с каждым касательным вектором точку его касания, так что слоем π^—1(x) будет пространство, касательное к Х в точке х. Оказывается, что любое векторное расслоение над компактным пространством Х определяет некоторый элемент группы KO(X).Таким образом, в частности, для любого гладкого, компактного и связного многообразия Х в группе KO(X) определён элемент, соответствующий касательному расслоению. Он называется тангенциальным инвариантом гладкого многообразия X. Имеется аналог этой конструкции для любого α. При α = pроль группы KO(X) играет некоторая другая группа, которая обозначается KPL(X), а при α = t роль этой группы играет группа, обозначаемая KTop(X).Каждое α-многообразие Х определяет в соответствующей группе [КО(Х), KPL(X) или KTop(X)] некоторый элемент, называемый его α-тангенциальным инвариантом. Имеются естественные гомоморфизмы KO(X) → KPL(X) → KTop(X), и оказывается, что на n-мерном (n≥5) компактном и связном α'-многообразии X, где α' = t,p, тогда и только тогда можно ввести α-структуру (α = р, если α' = t, и α = s, если α' = p), когда его α'-тангенциальный инвариант лежит в образе соответствующей группы [KPL(X) при α' = t и KO(X) при α' = p]. Число таких структур конечно и равно числу элементов некоторого фактормножества множества [X, Y_α], где Y_α — некоторое специальным образом сконструированное топологическое пространство (при α = sтопологическое пространство Y_α обозначается обычно символом PL/O, а при α = p — символом Top/PL). Тем самым вопрос о существовании и единственности α-структуры сводится к некоторой задаче теории гомотопий. Гомотопический тип топологического пространства PL/O довольно сложен и до сих пор (1976) полностью не вычислен; однако известно, что π_i(PL/O)= 0 при i ≤ 6, откуда следует, что любое кусочно-линейное многообразие размерности n ≤ 7 сглаживаемо, а при n ≤ 6 единственным образом. Напротив, гомотопический тип топологического пространства Top/PL оказался удивительно простым: это пространство гомотопически эквивалентно K(ℤ₂, 3). Следовательно, число кусочно-линейных структур на топологическом многообразии не превосходит числа элементов группы H³(X, ℤ₂). Такие структуры заведомо существуют, если H⁴(X, ℤ₂) = 0, но при H⁴(X, ℤ₂) ≠ 0 кусочно-линейной структуры может не существовать.

В частности, на сфере Sⁿ существует единственная кусочно-линейная структура. Гладких структур на сфере Sⁿ может быть много, например, на S⁷ существует 28 различных гладких структур. На торе Tⁿ (топологических произведении n экземпляров окружности S¹) существует при n ≥ 5 много различных кусочно-линейных структур, которые все допускают гладкую структуру. Таким образом, начиная с размерности 5, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия; сферы с таким свойством существуют, начиная с размерности 7.

Задачу описания (с точностью до α-гомеоморфизма) всех n-мерpных (n ≥ 5)связных компактных α-многообразий естественно решать в два этапа: искать условия гомотопической эквивалентности α-многообразий и условия α-гомеоморфности гомотопически эквивалентных α-многообразий. Первая задача относится к гомотопической Т. и в её рамках может считаться полностью решенной. Вторая задача также по существу полностью решена (во всяком случае для односвязных α-многообразий). Основой её решения является перенос в высшие размерности техники «разложения на ручки». С помощью этой техники удаётся, например, доказать для n-мерных (n ≥ 5) топологических многообразий гипотезу Пуанкаре (связное компактное топологическое многообразие, гомотопически эквивалентное сфере, гомеоморфно ей).

Наряду с α-многообразиями можно рассматривать так называемые α-многообразия с краем; они характеризуются тем, что окрестности некоторых их точек (составляющих край) α-гомеоморфны полупространству X_n ≥ 0 пространства |Rⁿ. Край является (n—1)-мерным α-многообразием (вообще говоря, несвязным). Два n-мерных компактных α-многообразия Х и Y называются (ко) бордантными, если существует такое (n+1)-мерное компактное α-многообразие с краем W, что его край является объединением непересекающихся гладких многообразий, α-гомеоморфных Х и У. Если отображения вложения X → Wи Y → W являются гомотопическими эквивалентностями, то гладкие многообразия называютсяh-кобордантными. Методами разложения на ручки удаётся доказать, что при n ≥ 5 односвязные компактные α-многоооразия α-гомеоморфны, если они h-кобордантны. Эта теорема о h-кобордизме доставляет сильнейший способ установления α-гомеоморфности α-многообразий (в частности, гипотеза Пуанкаре является её следствием). Аналогичный, но более сложный результат имеет место и для неодносвязных α-многообразий.

Совокупность s изоморфна гомотопической группе π_2n+1MO(n+1) некоторого специально сконструированного топологического пространства MO(n+1), называется пространством Тома. Аналогичный результат имеет место и при α = p, t. Поэтому методы алгебраической Т. позволяют в принципе вычислить группу ₂ в количестве, равном числу разбиений числа n на слагаемые, отличные от чисел вида 2^m—1. Например, = 0 (так что каждое трёхмерное компактное гладкое многообразие является краем). Напротив, ₂, так что существуют поверхности, кобордантные друг другу и не кобордантные нулю; такой поверхностью, например, является проективная плоскость |RP².

М. М. Постников.

6. Основные этапы развития топологии

Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в 18—19 вв. (теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части). В начале 20 в. создаётся общее понятие пространства в Т. (метрическое — М. Фреше, топологическое — Ф. Хаусдорф), возникают первоначальные идеи теории размерности и доказываются простейшие теоремы о непрерывных отображениях (А. Лебег, Л. Брауэр), вводятся полиэдры (А. Пуанкаре) и определяются их так называемые числа Бетти. Первая четверть 20 в. завершается расцветом общей Т. и созданием московской топологической школы; закладываются основы общей теории размерности (П. С. Урысон); аксиоматике топологических пространств придаётся её современный вид (П. С. Александров); строится теория компактных пространств (Александров, Урысон) и доказывается теорема об их произведении (А. Н. Тихонов); впервые даются необходимые и достаточные условия метризуемости пространства (Александров, Урысон); вводится (Александров) понятие локально конечного покрытия [на основе которого в 1944 Ж. Дьёдонне (Франция) определил паракомпактные пространства]; вводятся вполне регулярные пространства (Тихонов); определяется понятие нерва и тем самым основывается общая теория гомологий (Александров). Под влиянием Э. Нётер числа Бетти осознаются как ранги групп гомологий, которые поэтому называются также группами Бетти. Л. С. Понтрягин, основываясь на своей теории характеров, доказывает законы двойственности для замкнутых множеств.

Во 2-й четверти 20 в. продолжается развитие общей Т. и теории гомологий: в развитие идей Тихонова А. Стоун (США) и Э. Чех вводят так называемое стоун — чеховское, или максимальное, (би)компактное расширение вполне регулярного пространства; определяются группы гомологий произвольных пространств (Чех), в группы когомологий (Дж. Александер, А. Н. Колмогоров) вводится умножение и строится кольцо когомологий. В это время в алгебраической Т. царят комбинаторные методы, основывающиеся на рассмотрении симплициальных схем; поэтому алгебраическая Т. иногда и до сих пор называется комбинаторной Т. Вводятся пространства близости и равномерные пространства. Начинает интенсивно развиваться теория гомотопий (Х. Хопф, Понтрягин); определяются гомотопические группы (В. Гуревич, США) и для их вычисления применяются соображения гладкой Т. (Понтрягин). Формулируются аксиомы групп гомологий и когомологий (Н. Стинрод и С. Эйленберг, США). Возникает теория расслоений (Х. Уитни, США; Понтрягин); вводятся клеточные пространства (Дж. Уайтхед, Великобритания).

Во 2-й половине 20 в. в СССР складывается советская школа общей Т. и теории гомологий: ведутся работы по теории размерности, проблеме метризации, теории (би)компактных расширений, общей теории непрерывных отображений (факторных, открытых, замкнутых), в частности теории абсолютов; теории так называемых кардинальнозначных инвариантов (А.В. Архангельский, Б. А. Пасынков, В. И. Пономарев, Е. Г. Скляренко, Ю. М. Смирнов и др.).

Усилиями ряда учёных (Ж. П. Серр и А. Картан во Франции, М. М. Постников в СССР, Уайтхед и др.) окончательно складывается теория гомотопий. В это время создаются крупные центры алгебраической Т. в США, Великобритании и др. странах; возобновляется интерес к геометрической Т. Создаётся теория векторных расслоений и К-функтора (М. Атья, Великобритания; Ф. Хирцебрух, ФРГ), алгебраическая Т. получает широкие применения в гладкой Т. (Р. Том, Франция) и алгебраической геометрии (Хирцебрух); развивается теория (ко)бордизмов (В. А. Рохлин, СССР; Том, С. П. Новиков) и теория сглаживания и триангулируемости (Дж. Милнор, США).

Развитие Т. продолжается во всех направлениях, а сфера её приложений непрерывно расширяется.

А. А. Мальцев.

Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948; Пархоменко А. С., Что такое линия, М., 1954; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М.—Л., 1947; его же, Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; Милнор Дж., Уоллес А,, Дифференциальная топология. Начальный курс, пер. с англ., М., 1972; Стинрод Н., Чинн У., Первые понятия топологии, пер. с англ., М., 1967; Александров П. С., Комбинаторная топология, М.—Л., 1947; Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности, М., 1973; Александров П. С., Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975; Архангельский А. В., Пономарев В. И,, Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968; его же, Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, пер. с франц., М., 1969; его же, Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов. Словарь, пер. с франц., М., 1975; Куратовский К., Топология, пер. с англ., т. 1—2, М., 1966—69; Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971.

М. М. Постников.

1. тополо́гия;
2. тополо́гии;
3. тополо́гии;
4. тополо́гий;
5. тополо́гии;
6. тополо́гиям;
7. тополо́гию;
8. тополо́гии;
9. тополо́гией;
10. тополо́гиею;
11. тополо́гиями;
12. тополо́гии;
13. тополо́гиях.

-и, ж.

Раздел математики, изучающий наиболее общие свойства геометрических фигур, не изменяющиеся при любых деформациях.

[От греч. τόπος — место и λόγος — учение]

ТОПОЛО́ГИЯ, топологии, мн. нет, жен. (от греч. topos - место и logos - учение) (мат.). Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур (т.е. не зависящие от таких понятий, как длина, величина углов, прямолинейность и т.п.).

ж.

Раздел математики, изучающий качественные свойства геометрических фигур, не зависящие от их длины, величины углов, прямолинейности и т.п.

ТОПОЛОГИЯ (от греч. topos - место и ...логия) - раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т. е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Примерами топологических свойств фигур являются размерность, число кривых, ограничивающих данную область, и т. д. Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, т. к. эти линии могут быть деформированы одна в другую описанным выше образом; в то же время кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен одним контуром, а кольцо - двумя.

жен. topologytopology

configuration, symbolic layout, layout электрон., topology

f.topology

ж мат.

Topologie f

топология ж мат. Topologie f

ж. геом.

topología f

ж. мат.

topologia

ТОПОЛОГИЯ

- в широком смысле область математики, изучающая топологич. свойства разл. матем. и физ. объектов. Интуитивно, к топологич. относятся качественные, устойчивые свойства, не меняющиеся при деформациях.

Матем. формализация идеи о топологич. свойствах обычно основывается на понятии непрерывности. Наиб. универсальным является определение непрерывности, базирующееся на введении T. (в узком смысле слова), или структуры т о п о л о г и ч е с к о г о п р о с т р а н с т в а (коротко - "пространства") в данное множество.T. на произвольном множестве точек X задана, если указано, какие подмножества в X считаются о т к р ы т ы м и (т. е. состоящими только из своих внутр. точек - точек, имеющих окрестности, целиком содержащиеся в данном подмножестве). При этом, по определению, объединение любого числа открытых подмножеств и пересечения конечного их числа должны быть открытым подмножеством, всё множество X и пустое подмножество также считаются открытыми. Дополнение к открытому подмножеству в X наз. з а м кн у т ы м п о д м н о ж е с т в о м. Обычно для задания T. в X указывают её базу: совокупность таких открытых подмножеств, из к-рых любое открытое может быть получено операциями объединения и конечного пересечения. Напр., стандартная T. числовой прямой задаётся базой из интервалов a<t<b. Любая часть (подмножество) M топологич. пространства X также наделяется Т.: открытыми в M являются пересечения с M множеств, открытых в X. Напр., в единичном отрезке числовой прямой, , открытыми будут интервалы a<t<b, полуинтервалы и их любые объединения.

Наиб. важными для приложений классами топологич. пространств являются достаточно общие геом. фигуры - многообразия и комплексы, определения к-рых будут даны ниже, а также функциональные пространства, где точка - это ф-ция (или отображение).

Для топологич. пространств определён ряд след. простейших топологич. понятий, фактически возникающих в элементарной теории ф-ций.

1. Отображение топологич. пространств наз. н е п р е р ы в н ы м, если полный прообраз любого открытого подмножества в Y открыт в X. В частности, непрерывные отображения пространства X в числовую прямую наз. непрерывными ф-циями на X.

2. Два пространства X, Y наз. т о п о л о г и ч е с к и э кв и в а л е н т н ы м и, если определены два непрерывных взаимно обратных отображения (г о м е о м о р ф и з м а)

По определению, все топологич. свойства топологически эквивалентных пространств должны совпадать. Числовые (или более сложные, алгебраические) характеристики топологич. свойств, называемые т о п о л о г и ч е с к и м и и н в а р и а нт а м и, также должны быть одинаковыми для топологически эквивалентных пространств. Важным (напр., в качественной теории динамических систем )примером такого топологич. инварианта, определённого для широкого класса пространств, является р а з м е р н о с т ь (разл. варианты её определения см. [5 ]).

3. Непрерывное отображение единичного отрезка I в пространство X наз. п у т ё м, соединяющим его концы - точки g(0) и g(1). Пространство X наз. (линейно) с в я з н ы м, если любые две его точки можно соединить путём. Если пространство X не является связным, то оно распадается на куски - к о м п о н е н т ы с в я з н о с т и, каждая из к-рых связна.

4. П р я м о е п р о и з в е д е н и е Xx Y пространств X, Y определяется как множество пар ( х, у )точек из X, Y, причём прямые произведения открытых подмножеств в X, Y образуют базу в XxY Напр., прямое произведение числовых прямых-это плоскость; непрерывные ф-ции на -это непрерывные ф-ции двух переменных.

5. Д е ф о р м а ц и я, или г о м о т о п и я, отображения - это непрерывное отображение y=F(x, t), прямого произведения пространства X на единичный отрезок такое, что . Отображение заданное ф-лой будет результатом деформации отображения f₀. Отображения f₀ и f₁ наз. г о м о т о п н ы м и. Все отображения из X в Y (поля на X со значениями в Y )распадаются на классы гомотопных отображений. Числовые характеристики таких классов наз. г о м о т о п и ч е с к и м и и н в а р иа н т а м и отображений или т о п о л о г и ч е с к и м и з а р я д а м и.

6. Два пространства X, Y наз. г о м о т о п и ч е с к и э кв и в а л е н т н ы м и, если определены непрерывные отображения: и такие, что отображение g(f(x)) гомотопно тождественному отображению , а отображение f(g(x))- тождественному отображению Напр., евклидово пространство (или выпуклая область в нём) с т я г и в а е м о, т. е. гомотопически эквивалентно точке. Многие важные топологич. инварианты (гомологии, гомотопич. группы, см. ниже) одинаковы для гомотопически эквивалентных пространств, т. е. являются г о м о т оп и ч е с к и м и и н в а р и а н т а м и.

7. Выделен важный подкласс х а у с д о р ф о в ы х п р ос т р а н с т в, в к-рых любые две точки можно окружить непересекающимися открытыми подмножествами (неха-усдорфовы пространства, как правило, не возникают в приложениях). В частности, хаусдорфовыми являются м е т р и ч е с к и е п р о с т р а н с т в а, в к-рых T. определяется метрикой: неотрицательной ф-цией r( х, у), задающей расстояние между любыми двумя точками х, у пространства [требуется, чтобы r(x,y)=0 только при у = х; - неравенство треугольника]. T. в метрич. пространстве определяется базой из открытых шаров Класс к о мп а к т н ы х п р о с т р а н с т в X определяется след. условием: из любого покрытия пространства X бесконечным числом открытых подмножеств можно выделить конечное число подмножеств, также покрывающих X. Непрерывные ф-ции на компактном связном пространстве обладают многими свойствами ф-ций, непрерывных на отрезке (ограниченность и др.). В евклидовом пространстве компактными будут замкнутые ограниченные подмножества.

Особой наглядностью отличаются топология, конструкции и задачи, возникающие при изучении кривых и поверхностей в трёхмерном пространстве. Единственным тополо-гич. инвариантом поверхности M² (связной и замкнутой, т. е. без края) является её род, обозначаемый обычно через g, равный числу "дыр" на рисунке поверхности (рис. 1). [Мы не рассматриваем пока неориентируемые поверхности (см. ниже), к-рые нельзя расположить в трёхмерном пространстве без самопересечений.] Для сферы g=0, для тора g=1Если поверхность представлена в виде многогранника, то её род может быть вычислен через э й л е р о в у х а р а к т е р и с т и к у

где В-число вершин, P-число рёбер, а Г-число граней многогранника. Непрерывным вариантом этой ф-лы является ф-ла Гаусса - Бонне

где К- гауссова кривизна поверхности, dS- элемент площади. Если M² задана как риманова поверхность многозначной алгебраич. ф-ции w = w(z), где F- многочлен от двух переменных, то её род может быть вычислен по ф-ле Римана - Гурвица, g=r/2-n+1, где r - суммарная кратность точек ветвления (см. Многозначная функция )ф-ции w(z) в к-рых происходит слияние нек-рых ветвей ф-ции w(z) [если в точке ветвления z₀ после слияния остаются различными k ветвей w₁(z₀)...,w_k(z₀), то кратность этой точки ветвления, по определению, равна n-k].

Единственный топологич. инвариант h замкнутых н е о р и е н т и р у е м ы х п о в е р х н о с т е й определяется исходя из следующей их явной конструкции: нужно вырезать в поверхности сферы h отверстий и заклеить каждое из них листом Мёбиуса (важно, что его границей является окружность, рис. 2). При h =1 получается проективная плоскость, при h=2 - бутылка Клейна (рис. 3). Эйлерова характеристика такой поверхности, определяемая по аналогии с (1), равна 2-h. Такие поверхности в трёхмерном пространстве обязательно имеют самопересечения.

Рассмотрим теперь примеры топологич. задач теории кривых. Замкнутая (гладкая) несамопересекающаяся кривая g на плоскости всегда расположена "топологически одинаково": она разделяет плоскость на две части-внутреннюю и внешнюю. Первые примеры топологич. величин возникают в теории ф-ций комплексного переменного: если замкнутая кривая g лежит в области U на плоскости и ф-ция f(z) комплексно-аналитична в U, то величина не меняется при деформациях g внутри области U.

Для з а ц е п л е н и й-двух несамопересекающихся и непересекающих друг друга замкнутых кривых в трёхмерном пространстве - определён топологич. инвариант их расположения- к о э ф ф и ц и е н т з а ц е п л е н и я {g₁, g₂}. Он равен числу витков одной кривой вокруг другой и не меняется при деформациях кривых, в процессе к-рых не происходит пересечений. Для незацепленных кривых, к-рые указанными деформациями можно растащить по разные стороны нек-рой плоскости, коэф. зацепления равен нулю. Коэф. зацепления замкнутых кривых r = r₁(t), r=r₂(t'0 вычисляется по ф-ле

[r₁₂=r₁(t)-r₂(t'), в числителе - смешанное произведение]. Однако коэф. зацепления не несёт всей топологич. информации о взаимном расположении двух замкнутых кривых; напр., для зацепленных кривых, изображённых на рис. 4, коэф. зацепления равен нулю.

Более сложно строятся топологич. инварианты узлов- несамопересекающихся замкнутых кривых в трёхмерном пространстве (или в трёхмерной сфере S³, получающейся добавлением к бесконечно удалённой точки). Два узла топологически эквивалентны, если один из них можно продеформировать в другой, причём в процессе деформации не должно возникать самопересечений. Полным топологич. инвариантом, измеряющим отличие узла от тривиального (рис. 5), является группа узла, совпадающая с фундам. группой (см. ниже) дополнения к узлу в S³. (Для тривиального узла она совпадает с группой целых чисел.) Однако ввиду некоммутативности группы узла (алгоритм её вычисления см. в [2]) этот инвариант непригоден, в частности для эфф. топологич. классификации узлов. Определены также более грубые инварианты узлов и зацеплений-многочлены Александера, Джонса и др., возникающие как статистич. суммы в нек-рых моделях двумерной статистич. физики. Узлы и зацепления могут быть получены посредством нек-рых отождествлений в группах кос; это позволяет строить топологич. инварианты узлов и зацеплений с помощью теории представлений групп кос, основывающейся на использовании теории R -матриц. Предпринимались попытки использования узлов и зацеплений в статистич. механике нек-рых веществ с длинными молекулами.

Рис. 1. Поверхность рода g=2.

Рис. 2. Лист Мёбиуса.

Рис. 3. Неориентируемые поверхности.

Рис. 4. Пример зацепленных кривых с коэффициентом зацепления, равным нулю.

Рис. 5. Тривиальный ( а) и нетривиальный ( б )узлы.

Многомерные обобщения большинства перечисленных наглядно-топологич. задач приводят к T, многообразий - важнейшему разделу Т., тесно взаимодействующему с совр. матем. физикой. Множество точек Mⁿ является n -мерным гладким многообразием, если оно представлено в виде объединения нек-рых своих подмножеств U_a, a=1, 2,...- карт, каждое из к-рых отождествлено с областью (открытым подмножеством) в пространстве . Отображения отождествления задают в каждом U_a локальные координаты. Требуется, чтобы на пересечении двух карт U_a и U_b координаты выражались через координаты (и обратно) при помощи гладких (т. е. непрерывно дифференцируемых достаточное число раз) ф у н к ц и й п е р е х о д а:

T. в многообразии определяется так: подмножество в M " открыто, если открыто его пересечение с каждой картой. Дополнительно в определении многообразия требуется, чтобы пересечение любых двух карт было открыто, а также чтобы Mⁿ было хаусдорфовым топологич. пространством. Многообразие наз. з а м к н у т ы м, если оно компактно и связно. Все понятия дифференц. исчисления ф-ций многих переменных и локальной дифференц. геометрии (гладкие ф-ции и отображения, векторные и тензорные поля, дифференц. формы, римановы метрики и др.) несложно переносятся на многообразия. Многообразия наз. д и ф ф е о м о р ф н ы м и, если определены взаимообратные гладкие отображения и Многообразие Mⁿ- о р и е н т и р о в а н н о е, если локальные координаты согласованы так, что на пересечении двух карт . Если такой согласованный выбор карт на Mⁿ невозможен (напр., на проективной плоскости), то многообразие наз. н е о р и е н т и р у е м ы м. Определён интеграл дифференц. n -формы w (см. Дифференциальная форма )по n -мерному замкнутому ориентированному многообразию Mⁿ. М н о г о о б р а з и е с к р а е м Wⁿ выделяется в n -мер-ном замкнутом многообразии неравенством где f(x)- гладкая ф-ция, причём на крае дWⁿ, где f(x) =0, должно выполняться условие Край дWⁿ ориентированного многообразия сам является ( п-1)-мерным ориентированным многообразием (возможно, несвязным), и для любой дифференциальной ( п-1)-формы w справедлива общая ф-ла Стокса

где dw-дифференциал формы w (см. Стокса теорема).

Примерами многообразий служат поверхности в многомерных евклидовых пространствах, локально заданные неособыми системами гладких ур-ний. Хотя, в принципе, любое (с нек-рыми топологич. ограничениями, напр., компактное) многообразие может быть задано как поверхность в каком-то многомерном пространстве, ряд многообразий не задаётся в виде поверхностей. Напр., n -мерное проективное пространство RPⁿ определяется как совокупность ненулевых векторов ( u⁰ : u¹ :... uⁿ ), рассматриваемых с точностью до пропорциональности. Карты U₀,..., U_n определяются из условия в карте U_a. Локальные координаты (x¹_a, х²_a,..., х _aⁿ )в карте U_a имеют вид xⁱ_a= при при i>a Ф-ции на RPⁿ - это однородные ф-ции ( п +1) переменных, = Ещё один класс примеров - n -мер-ный тор Tⁿ, получающийся факторизацией пространства по целочисленной решётке, порождённой произвольным репером e₁..., е _n в . Ф-ции на Tⁿ - это n -кратно периодические ф-ции п переменных: Др. примеры см. в [1 ], [2], [7].

В приложениях часто возникают также многообразия, являющиеся группами Ли и однородными пространствами. Если в определении многообразия п=2 т и ф-ции перехода (3), определённые в области комплексного пространства комплексно аналитичны, то М^{2 т} наз. к о м п л е к сн ы м м н о г о о б р а з и е м комплексной размерности т. Примерами комплексно-одномерных многообразий являются комплексная плоскость сфера Римана получающаяся из добавлением бесконечно удалённой точки, а также римановы поверхности многозначных аналитических функций. Определены также комплексные проективные пространства CPⁿ, определяемые по аналогии с RPⁿ, но все координаты векторов комплексные. К о м п л е к сн ы е а л г е б р а и ч е с к и е м н о г о о б р а з и я в CPⁿ локально задаются системами однородных алгебраич. ур-ний от координат (u⁰, u¹,..., и ⁿ). Напр., в разл. задачах матем. физики (см. [1], [3]) появляются п о в е р х н о с т и т и п а К 3; представители этого класса поверхностей задаются в CP³ однородными ур-ниями 4-й степени. В интегрируемых системах теории солитонов возникают а б е л е в ы м н о г о о б р а з и я - 2-мерные торы, получающиеся факторизацией пространства по целочисленной решётке, порождённой векторами e₁,..., е _т, , где e₁,..., e_m - базис в , а t - линейный оператор в пространстве , задаваемый в базисе e₁,..., е _т симметрич. матрицей с положительно определённой мнимой частью.

Одной из важнейших задач T. многообразий является задача классификации многообразий данной размерности п (напр., замкнутых) с точностью до диффеоморфности. При этом многие (хотя и не все - см. [3]) инварианты гладких многообразий оказываются топологич. и даже гомотопич. инвариантами. При п=1любое замкнутое многообразие есть окружность. При п =2любое замкнутое ориентированное многообразие есть поверхность нек-рого рода g>=0 а любое неориентированное-сфера с плёнками Мёбиуса. При n>=3 задача классификации не решена. Ряд топологич. инвариантов замкнутых ориентированных многообразий можно получить, интегрируя подходящие комбинации, компонент кривизны тензора R_ijkl произвольной римановой метрики [обобщение ф-лы (2) для эйлеровой характеристики]. Так, напр., эйлерова характеристика 4-мерного многообразия вычисляется по ф-ле

где e^ijkl -антисимметричный тензор 4-го ранга с e¹²³⁴ = = 1, а 1-й к л а с с П о н т р я-г и н а-по ф-ле

Для построения более сложных инвариантов 3-мерных и 4-мерных многообразий привлекают идеи и методы квантовой теории поля [4], [6].

Важна также задача гомотопич. классификации отображений многообразий (все отображения и гомотопии можно считать гладкими). Напр., задача отыскания топологич. характеристик (или топологических зарядов) n -компонентных полей определённых на С заданной асимптотикой на бесконечности типа .при совпадает с задачей гомотопической классификации отображений сфер Полностью решается задача классификации отображений произвольного n -мерного замкнутого ориентированного многообразия Mⁿ в n -мерную сферу Sⁿ. Единственным инвариантом (или топологич. зарядом) отображения полностью определяющим его гомотопич. класс, является с т е п е н ь о т о бр а ж е н и я - целое число deg f вычисляемое по ф-ле

где s_n -объём единичной n -мерной сферы. Укажем также и н в а р и а н т Х о п ф а-целое число, полностью определяющее гомотопич. класс отображений сфер

где 1-форма w на S³. такова, что , dS- форма площади на S². (Интегральные ф-лы для топологич. зарядов отображений разл. многообразий и нек-рые их физ. приложения см. в [8 ].)

Идеи и методы T. многообразий в ряде случаев удаётся применить к изучению функциональных пространств, рассматривая их как бесконечномерные многообразия. Важнейшими примерами являются п р о с т р а н с т в о п у т е й с фиксированными концами, расположенных на данном многообразии Mⁿ, а также п р о с т р а н с т в о п е т е л ь (замкнутых кривых) на Mⁿ.T. пространства путей и пространства петель на многообразии Mⁿ оказывается тесно связанной с T. многообразия Mⁿ. Это обстоятельство исключительно важно для решения задач вариационного исчисления в целом (см. ниже).

Ещё один важный класс топологич. пространств - к о м п л е к с ы, к-рые возникают как обобщения многогранников. T. комплексов является тем самым комбинаторной версией T. многообразий (хотя и находится с ней в тесных взаимоотношениях). Подобно тому как многообразия склеиваются из областей евклидова пространства, с и м п л и ц и а л ь н ы е к о м п л е к с ы склеиваются из с и м п л е к с о в - отрезков, треугольников и их многомерных обобщений, n -мерный симплекс определяется как выпуклая оболочка n+1 точек x₀, x₁,..., х _n в n -мерном пространстве, не лежащих в одной n -мерной плоскости, т. е. совокупность точек вида

Г р а н и такого симплекса получаются приравниванием нулю части координат t₀, t₁,..., t_n. Симплициальным комплексом К наз. совокупность симплексов, удовлетворяющая след, двум требованиям: 1) вместе с каждым симплексом в комплексе содержатся все его грани; 2) любые два симплекса или не имеют общих точек, или пересекаются по целой грани. Напр., одномерный комплекс - это г р а ф. Комплекс К является топологич. пространством: открытыми являются те подмножества точек в К, пересечение к-рых с каждым симплексом открыто. Подразделением комплекса К наз. новый комплекс, получающийся из К разбиением каждой его грани на более мелкие части, превращающие саму эту грань в симплициальный комплекс. Числовые или алгебраич. характеристики топологич. свойств комплексов по определению должны совпадать для исходного и подразделённого комплексов, т. е. являться к о м б и н а т о р н ы м и и н в а р и а н т а м и. Большинство (но не все-см. [3]) комбинаторных инвариантов комплексов, напр. эйлерова характеристика

где c_k - число k -мерных симплексов комплекса К, являются топологическими и даже гомотопическими инвариантами.

К у б и ч е с к и е к о м п л е к с ы определяются аналогично симплициальным, но вместо симплексов берутся кубы всех размерностей. Особый интерес такие комплексы вызывают потому, что евклидовы пространства допускают правильное разбиение на кубы (решётка). Связанные с кубич. комплексами топологич. задачи возникают поэтому при изучении моделей статистич. физики [9]. При вычислении нек-рых гомотопич. инвариантов пространств (напр., гомологии и гомотопических групп - см. ниже) используются также клеточные комплексы [3 ].

При изучении топологич. свойств методами а л г е бр а и ч е с к о й T. каждому (достаточно хорошему) пространству сопоставляется алгебраич. характеристика - линейное пространство, группа, кольцо и пр., причём это сопоставление (ф у н к т о р) должно обладать свойством е с т е с т в е н н о с т и или к о в а р и а н т н о с т и: отображениям топологич. пространств сопоставляются алгебраич. отображения (гомоморфизмы-см. Группа )их алгебраич. характеристик. Простейшим примером является ф у н д ам е н т а л ь н а я г р у п п а пространства. Элементами фундаментальной группы p₁(X, x₀ )пространства X с отмеченной точкой x₀ являются гомотопические классы петель - замкнутых путей с началом и концом в точке x₀ (в процессе гомотопии начало и конец пути должны оставаться в точке x₀). Произведение путей определяется как их последовательное прохождение, а единичный элемент - постоянное отображение в точку x₀. Эта группа, вообще говоря, некоммутативна. При изменении отмеченной точки x₀ в связном пространстве X группа p₁(X, x₀) заменяется на изоморфную. Непрерывное отображение пространств X, Y с отмеченными точками индуцирует гомоморфизм фундам. групп (ковариантность), не меняющийся при гомотопиях отображения f. Отсюда уже вытекает, что фундам. группа является гомотопическим инвариантом связного пространства. Поэтому для стягиваемого пространства- прямой, плоскости, евклидова пространства, дерева (графа без циклов) и др.- фундам. группа тривиальна, т. е. состоит только из единичного элемента. Пространства с тривиальной фундам. группой наз. о д н о с в я з н ы м и. Односвязной является также сфера, евклидово пространство с набором выколотых точек и др. Простейший пример неодносвязного пространства - окружность S¹ (ей гомотопически эквивалентна плоскость с выколотой точкой): (группа целых чисел). [Если задать петлю на S¹ функцией f(t), удовлетворяющей условию то целое число k и будет единственным топологич. зарядом этой петли] Примерами пространств с неабелевой фундам. группой являются плоскость с n>=2 выколотыми точками, а также поверхности рода g>=2. Для проективных пространств группа состоит из двух элементов +1, - 1. [Если задать петлю на RPⁿ не обращающейся в нуль вектор-функцией (u⁰(t), u¹(t),...,uⁿ(t)), причём i= 0, 1,..., n, то соответствующий элемент + 1 фундам. группы совпадает со знаком l. ]

Аналогично определяются высшие гомотопич. группы p_k (X, x₀). Их элементами являются гомотопич. классы отображений k -мерной сферы (с отмеченной точкой) в X. Эти группы при k>=2 абелевы. Особенно важны гомотопич. группы сфер , нетривиальные при k>=n.. Известно, напр., что [топологич. заряд - степень отображения (5)], [топологич. заряд - инвариант Хопфа (6)]. До настоящего времени при всех k, n группы не вычислены. (Таблицу известных гомотопич. групп сфер см. в [2].)

Более простыми топологическими (и гомотопическими) характеристиками являются г о м о л о г и и и к о г о м о л о г и и пространств. Проще всего определить когомологии многообразий. Элементами k- йгруппы (и даже линейного пространства) когомологий являются классы эквивалентности замкнутых дифференц. k -форм,

, на многообразии M, рассматриваемых с точностью до т о ч н ы х ф о р м: w~w',если w-w'=ds,где s-(k-1)-форма. Размерность пространства наз. k- мч и с л о м Б е т т и Известно, что b₀ равно числу связных компонент M, сумма b₀ - b₁+b₂ -... равна эйлеровой характеристике M. Если многообразие Mⁿ n -мерно, то при k>n;для замкнутых ориентируемых многообразий имеет место д в о й с т в е н н о с т ь П у а н к а р е: Напр., для n -мерной сферы b₀ = b_n =1, остальные числа Бетти нулевые. Для стягиваемых M в силу гомотопич. инвариантности когомологии тривиальны: b_k =0 при k>0. Тем самым, в частности, из замкнутости dw=0 формы w вытекает существование локальной формы s, такой, что w=ds (утверждение, обобщающее условия потенциальности или соленоидальности векторных полей).

Элементами k -мерной группы гомологии пространства M, говоря наглядно, являются k- мерные циклы (или, иначе, ориентированные замкнутые k- мерные плёнки) в M и их формальные линейные комбинации с целыми коэффициентами. При этом два цикла считаются эквивалентными (г о м о л о г и ч н ы м и), если они служат границей (k+1)-мерной плёнки (рис. 6, для k=1). Для строгого определения групп гомологии приходится заменять пространство M на гомотопически эквивалентный ему комплекс [3]. Примеры: для поверхностей M² рода g имеем:

(2gcлагаемых); для проективной плоскости (группа из двух элементов), Если в определении гомологии брать линейные комбинации циклов с любыми вещественными коэф., то получаются группы (линейные пространства) (в качестве коэф. иногда полезно также брать элементы из любой абелевой группы). Ф-ла где w-замкнутая k- форма, а g- k -мерный цикл, определяет [в силу ф-лы Стокса (4)] невырожденное скалярное произведение между пространствами Поэтому эти пространства гомологии и когомологий имеют одинаковую размерность [равную числу Бетти b_k(M)].

Рис. 6. Гомологичные циклы g и g'=g₁-g₂ (двумерная плёнка между ними заштрихована).

Более сложные гомотопич. характеристики пространств, возникающие в алгебраич. Т.,- экстраординарные гомологии (напр., бордизмы, K -теория и др. [3]).

Важной сферой применения теории гомологии является вариационное исчисление в целом (этот раздел T. называют т е о р и е й М о р с а). Удаётся выводить существование решений вариационных задач на многообразии из информации о его гомологиях. Обобщение теории Морса на многозначные функционалы найдено в [10] (см. также [3]).

T. р а с с л о е н и й играет важную вспомогат. роль во многих топологич. вычислениях: её задачи имеют также и самостоятельную (в т. ч. прикладную) ценность. Интуитивно, расслоение с базой В и слоем F есть семейство одинаковых слоев F_x, непрерывно зависящих от точки x базы В (F, В- нек-рые пространства, напр. многообразия); объединение E всех слоев F_x наз. п р о с т р а нс т в о м р а с с л о е н и я, а отображение переводящее каждую точку слоя F_x в х,- п р о е к ц и е й р а с с л о ен и я. Простейшим примером служит прямое произведение E=F х В, где F_x состоит из пар вида (f, x),f- точка из F. Более сложный пример - лист Мёбиуса (расслоение с базой окружность и слоем отрезок). Если слой F является дискретным множеством, то расслоение наз. н а к р ы т ие м. Напр., отображение задаёт накрытие прямой над окружностью|z|=1, слоем является совокупность целых чисел. Накрытия - осн. инструмент при вычислении фундам. групп. Более сложные расслоения используются для вычисления гомотопич. групп. Для вычисления гомологии и когомологий расслоений используется техника спектральных последовательностей [3], [11].

Осн. задачей T. расслоений является задача классификации расслоений. По определению, гомоморфизм задаёт э к в и в а л е н т н о с т ь двух расслоений и р₂: если он сохраняет слои, т. е. для всех у из E₁. Расслоение, эквивалентное прямому произведению, наз. т р и в и а л ь н ы м. Расслоения над евклидовым пространством (без ограничений на поведение в бесконечности) тривиальны; G -расслоения над n -мерной сферой Sⁿ классифицируются элементами гомотопич. группы Топологич. характеристики расслоений наз. х а р а к т е р и с т и ч е с к и м и к л а с с а м и. Для расслоений со структурной группой G (где G - группа Ли) харак-теристич. классы могут быть выражены через кривизну расслоения, определяя тем самым топологич. заряды связ ностей в расслоении (или, эквивалентно, калибровочных полей). Напр., единств. топологич. инвариантом, задающим U(1)-расслоение над двумерной сферой S², является п е р в ы й к л а с с Ч е р н а (Ч ж э н я)

где -форма кривизны расслоения; , а для SU(2)-расслоений над 4-мерной сферой S⁴ - в т о р о й к л а с с Ч ж э н я

где

- матричная форма кривизны расслоения (интегралы нормированы условием целочисленности величин c₁ и c₂).

Осн. топологич. характеристикой эллиптич. оператора является его и н д е к с. (Это понятие возникло при исследовании краевых задач теории упругости.) Индексом линейного оператора [где H₁, H₂ -гильбертовы пространства, оператор А должен быть нетеровым, т. е. должен иметь конечномерное ядро-совокупность решений ур-ния Ay=0, и коядро-совокупность решений сопряжённого ур-ния (здесь - сопряжённый оператор)] называется разность размерностей ядра и коядра. Индекс является гомотопич. инвариантом оператора, не меняясь при деформации А в классе нетеровых операторов. Для эллиптич. оператора на многообразии (условие нетеровости выполнено) теорема об индексе позволяет вычислить индекс оператора через топологич. характеристики многообразия [4]. Это позволяет, в частности, в ряде случаев вычислять размерность пространства решений ур-ния вида Ay=0(т. е. число нулевых мод оператора А).

Топологич. методы оказываются также весьма полезными в ряде задач качественной теории динамич. систем и слоений: в задачах топологич. классификации таких систем, описания их инвариантных и предельных множеств и др.

Лит.:1) Фукс Д. Б., Классические многообразия, в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 12, M., 1985, с. 253; 2) Дубровин Б. А., Новикове. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия. Методы и приложения, 2 изд., M., 1986; 3) их же, Современная геометрия. Методы теории гомологии, M., 1984; 4) Шварц А. С., Квантовая теория поля и топология, M., 1989; 5) Гуревич В., Вол-мэн Г., Теория размерности, пер. с англ., M., 1948; 6) Witten E., Some geometrical applications of quantum field theory, in: IX International Congress on Mathematical Physics, Bristol-N. Y., 1989, p. 77; 7) Бессе А., Многообразия Эйнштейна, пер. с англ., т. 1-2, M., 1990; 8) Новиков С. П., Аналитический обобщенный инвариант Хопфа. Многозначные функционалы, "Успехи матем. наук", 1984, т. 39, № 5, с. 97; 9) Долбилин H. П., Штанько M. А., Штогрин M. И., Комбинаторные вопросы двумерной модели Изинга, "Труды МИАН", 1991, т. 196, с. 51; 10) Новиков С. П., Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса, "Успехи матем. наук", 1982, т. 37, № 5, с. 3; И) Фоменко А. Т., Фукс Д. Б., Курс гомотопической топологии, M., 1989.

Б. А. Дубровин.