Стационарный случайный процесс

важный специальный класс случайных процессов (См. Случайный процесс), часто встречающийся в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Случайный процесс X(t) называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются с течением времени t (так что, например, распределение вероятностей величины X(t)при всех t является одним и тем же, а совместное распределение вероятностей величин X(t₁) и X(t₂) зависит только от продолжительности промежутка времени t₂—t₁, т. е. распределения пар величин {X(t₁), X(t₂)} и {X(t₁ + s), X(t₂ + s)} одинаковы при любых t₁, t₂иsи т.д.).

Схема С. с. п. с хорошим приближением описывает многие реальные явления, сопровождающиеся неупорядоченными флуктуациями. Так, например, пульсации силы тока или напряжения в электрической цепи (электрический «шум») можно рассматривать как С. с. п., если цепь эта находится в стационарном режиме, т. е. если все её макроскопические характеристики и все условия, вызывающие протекание через неё тока, не меняются во времени; пульсации скорости в точке турбулентного течения представляют собой С. с. п., если не меняются общие условия, порождающие рассматриваемое течение (т. е. течение является установившимся), и т.д. Эти и другие примеры С. с. п., встречающиеся в физике (в частности, гео- и астрофизике), механике и технике, стимулировали развитие исследований в области С. с. п.; при этом существенными оказались также и некоторые обобщения понятия С. с. п. (например, понятия случайного процесса со стационарными приращениями заданного порядка, обобщённого С. с. п. и однородного случайного поля).

В математической теории С. с. п. основную роль играют моменты распределении вероятностей значений процесса X(t), являющиеся простейшими числовыми характеристиками этих распределений. Особенно важны моменты первых двух порядков: среднее значение С. с. п. EX(t)= m —математическое ожидание случайной величины X(t) и корреляционная функция С. с. п. EX(t₁) X(t₂)= B(t₂—t₁) — математическое ожидание произведения X(t₁)X(t₂)(просто выражающееся через дисперсию величин X(t) и коэффициент корреляции между X(t₁) и X(t₂); см. Корреляция). Во многих математических исследованиях, посвященных С. с. п., вообще изучаются только те их свойства, которые полностью определяются одними лишь характеристиками m и В (τ) (т. н. корреляционная теория С. с. п.). В этой связи случайные процессы X(t), имеющие постоянное среднее значение EX(t)= mи корреляционную функцию В (t₂, t₁)=EX(t₁) X(t₂), зависящую только от t₂ — t₁, часто называют С. с. п. в широком смысле (а более частные случайные процессы, все характеристики которых не меняются с течением времени, в таком случае называются С. с. п. в узком смысле).

Большое место в математической теории С. с. п. занимают исследования, опирающиеся на разложение случайного процесса X(t) и его корреляционной функции B (t₂ —t₁) = В (τ) в интеграл Фурье, или Фурье — Стилтьеса (см. Фурье интеграл).Основную роль при этом играет теорема Хинчина, согласно которой корреляционная функция С. с. п. X(t) всегда может быть представлена в виде

, (1)

где F(λ)— монотонно неубывающая функция λ (а интеграл справа — это интеграл Стилтьеса); если же В (τ) достаточно быстро убывает при |τ|→∞ (как это чаще всего и бывает в приложениях при условии, что под X(t) понимается на самом деле разность X(t) — m), то интеграл в правой части (1) обращается в обычный интеграл Фурье:

, (2)

где f(λ)= F’(λ)— неотрицательная функция. Функция F(λ) называемая спектральной функцией С. с. п. X(t), а функция F(λ) [в случаях, когда имеет место равенство (2)] — его спектральной плотностью. Из теоремы Хинчина вытекает также, что сам процесс X(t) допускает Спектральное разложение вида

, (3)

где Z(λ) — случайная функция с некоррелированными приращениями, а интеграл справа понимается как предел в среднем квадратичном соответствующей последовательности интегральных сумм. Разложение (3) даёт основание рассматривать любой С. с. п. X(t) как наложение некоррелированных друг с другом гармонических колебаний различных частот со случайными амплитудами и фазами; при этом спектральная функция F(λ) и спектральная плотность f(λ) определяют распределение средней энергии входящих в состав X(t) гармонических колебаний по спектру частот λ (в связи с чем в прикладных исследованиях функция f(λ) часто называется также энергетическим спектром или спектром мощности С. с. п. X(t)).

Выделение понятия С. с. п. и получение первых относящихся к нему математических результатов являются заслугой Е. Е. Слуцкого (См. Слуцкий) и относятся к концу 20-х и началу 30-х гг. 20 в. В дальнейшем важные работы по теории С. с. п. были выполнены А. Я. Хинчиным, А. Н. Колмогоровым, Г. Крамером, Н. Винером и др.

Лит.: Слуцкий Е. Е., Избр. тр., М., 1960; Хинчин А. Я., Теория корреляции стационарных стохастических процессов, «Успехи математических наук», 1938, в. 5, с, 42—51; Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М., 1963; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей. (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы), 2 изд., М., 1973; Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1, М., 1971; Хеннан Э., Многомерные временные ряды, пер. с англ., М., 1974.

А. М. Яглом.

СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ процесс - случайный процесс, вероятностные характеристики которого не меняются с течением времени.

stationary random process

stationary random process

СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

- случайный процесс , определённый для всех моментов времени ,стохастич. характеристики к-рого не зависят от выбора нач. момента отсчёта(т. е. не меняются при замене Более точно это означает, что для любого набора моментов времени t₁,...,t_n совместная ф-ция распределения вероятностей значений С. с. п.,...,вэти моменты времени

( - вероятностноепространство, на к-ром определены все случайные величины )совпадает с ф-цией распределения для значений процесса в моменты (стационарность в узком смысле). Иногда стационарность процесса понимают более широко, а именно: процесс наз. стационарным в широком смысле, <если его ср. значение не зависит от t, a ковариация имеет вид:

где - положительно определённая ф-ция.

Гауссовский случайный процесс, стационарный в широком смысле, стационарени в обычном (узком) смысле. Марковский случайный процесс с переходнойф-цией

(где Р (А/В) - условная вероятность события А приусловии, что произошло событие В )является стационарным в том, итолько в том случае, когда распределения F_t значенийпроцесса в моменты времени t одинаковы для всех t и для всех t₁ и t₂ переходная ф-ция

т. е. зависит лишь от длительности промежутка времени между t₁ и t₂.

Лит.: Г и х м а н И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайныхпроцессов, 2 изд., М., 1977. Р. Л. Минлос.