Линейное пространство

тоже, что Векторное пространство. В функциональном анализе (См. Функциональный анализ) рассматриваются главным образом бесконечномерные пространства. Примером бесконечномерного Л. п. может служить пространство всех многочленов (с вещественными или комплексными коэффициентами) при обычном определении сложения и умножения на числа. Одним из первых примеров бесконечного Л. п. были Гильбертово пространствои пространство С [а, b] непрерывных функций, заданных на отрезке [а, b]. Эти пространства являются нормированными, т. е. такими Л. п., в которых введена норма элемента х — неотрицательное число х = 0 и обладающее свойствами х и у (см. также Метрическое пространство). В нормированном Л. п. вводятся понятия открытого шара, предельной точки множества, непрерывности функционала аналогично тому, как это делается в трёхмерном пространстве.

В конечномерном пространстве различные нормы топологически равносильны: последовательность точек, сходящихся при одной норме, сходится и при любой другой. В бесконечномерных пространствах нормы могут быть существенно различны. Например, при решении задачи П. Л. Чебышева о разыскании многочлена, наименее уклоняющегося от нуля (задачи о наилучшем приближении), надо найти такой многочлен (k — 1)-й степени P_k-i(t), чтобы

имел наименьшее значение. Вводя в пространство С[0,1] норму формулой

‖x‖_⊥=

эту задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти многочлен P_k-i(t), расстояние которого от функции t* было бы наименьшим. При рассмотрении же многочленов, ортогональных с весом p(t) (см. Ортогональная система функций), естественно рассматривать норму, определённую формулой

и решать задачу о наилучшем приближении в смысле этой нормы. Нормы ‖x‖_⊥ и ‖x‖₂ существенно различны, так как, например, последовательность функций

по первой норме расходится, а по второй норме при p(t) = 1 сходится к функции

Следует отметить, что хотя все функции x_n(t) были непрерывны, функция x(t) разрывна. Это связано с тем, что пространство непрерывных функций неполно относительно нормы ‖x‖₂. При этом нормированное Л. п. называется полным, если для любой последовательности {x_n} его элементов, удовлетворяющих условию

существует в Л. п. такой элемент х, что данная последовательность сходится к нему, т. е.

Если Л. п. неполно, то к нему можно присоединить новые элементы (пополнить его) так, что оно станет полным. Например, пополняя пространство непрерывных функций, взятое с нормой ‖x‖₂, получают гильбертово пространство L²_p. Полные нормированные Л. п. называется банаховыми, или В-пространствами, — по имени изучившего их основные свойства С. Банаха.

Обобщением понятия B-пространства является понятие топологического Л. п. Так, называют множество Е, если: 1) оно представляет собой Л. п., 2) оно является топологическим пространством (См. Топологическое пространство), 3) операции сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. К числу топологического Л. п. относятся все нормированные пространства. А. Н. Колмогоров установил (1934) необходимые и достаточные условия нормируемости топологического Л. п.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.

ЛИНЕЙНОЕ пространство - то же, что векторное пространство.

мат. linear space

linear space

лине́йное простра́нство

то же, что векторное пространство.

* * *

ЛИНЕ́ЙНОЕ ПРОСТРА́НСТВО, то же, что векторное пространство(см. ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО).

то же, что векторное пространство; в более общем случае математическое понятие, обобщающее понятие n-мерного векторного пространства на бесконечномерный случай. Примером линейных пространств являются так называемые банаховые пространства и пространства Гильберта, последние находят широкое использование в квантовой механике.

то же, что секторное пространство.

linear space

матем. spazio lineare

ліні́йний про́стір

ліні́йний про́стір

то же, что векторное пространство.