Производная

основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции; П. есть функция, определяемая для каждого хкак предел отношения:

Всякая дифференцируемая функция непрерывна; обратное утверждение неверно: существуют даже непрерывные функции, не имеющие П. ни в одной точке (см. Непрерывная функция). Для функций действительного переменного сама П. может быть недифференцируемой и даже разрывной. В комплексной же области существование первой П. влечёт существование П. всех порядков. О П. функций многих переменных (частная П.), а также о правилах нахождения П. и различных приложениях см. в ст. Дифференциальное исчисление.

В теории функций действительного переменного изучаются, в частности, функциональные свойства П. и различные обобщения понятия «П.». Так, например, всюду существующая П. относится к функциям первого класса по Бэра классификации (См. Бэра классификация); П. (даже если она разрывна) принимает все промежуточные значения между наименьшим и наибольшим. Из различных обобщений понятия «П.» наиболее существенны следующие.

Производные числа. Верхним правым производным числом Δ_d называют верхний предел отношения , где x₁>х. Аналогично определяют нижнее правое λ_d, верхнее Δ_s и нижнее λ_s левые производные числа. Если Δ_d = λ_d (Δ = λ_s), то f(x) имеет в точке х одностороннюю правую (левую) П. Обыкновенная П. существует, если все четыре производных числа конечны и совпадают. Производные числа были введены итал. математиком У. Дини (1878). Как показал Н. Н. Лузин (1915), если все четыре производных числа конечны на некотором множестве, то функция имеет обычную П. всюду на этом множестве, кроме точек множества меры нуль (см. Мера множества).

Асимптотическая (или аппроксимативная) производная была введена А. Я. Хинчиным (1916). Асимптотической П. называется предел отношения x₁ → xпробегая точки множества, для которого х является плотности точкой (См. Плотности точка).

ПРОИЗВО́ДНЫЙ, -ая, -ое.

ж.

Основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в математике).

ПРОИЗВОДНАЯ в математике - см. Дифференциальное исчисление.

ПРОИЗВОДНАЯ, одно из основных понятий дифференциального исчисления.

жен.;
скл. как прил.;
мат. derivative взятие производной ≈ derivation мат.производная: mat. n. derivative

derivative матем.

f.derivative; производная по, derivative with respect to; косая производная, directional derivative; частная производная, partial derivative

ж мат.

Ableitung f

производная ж мат. Ableitung f c

ж. мат.

dérivée f

ж. мат.

derivada f

ж. мат.

derivata

ПРОИЗВОДНАЯ, скорость изменения величины математической функции относительно изменений независимой переменной. Производная является выражением одномоментного изменения значения функции f(x) в точке х и определяется соотношением [f(x+h)-f(x)]/h с пределом в точке, где h стремится к нулю. Обозначается производная как df/dx или f'(x). Производные позволяют описывать многие процессы, которые связаны с непрерывными изменениями во времени. Например, если положение некоторого процесса в пространстве в момент t записать как p(t), тогда СКОРОСТЬ (которая представляет собой мгновенное изменение положения предмета), определяемая путем дифференцирования, выражается как dp/dt. Производные показывают нам, как быстро изменяется некоторая величина в определенное время. Геометрически производную можно представить как градиент, или наклон, кривой в определенной точке. см. также ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ПРОИЗВО́ДНАЯ -ой; ж. Матем. Основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Скорость тела - производная от пути по времени.

* * *

в математике, см. Дифференциальное исчисление.

* * *

ПРОИЗВО́ДНАЯ в математике, см. Дифференциальное исчисление(см. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ).

- одно из основных понятий математич. анализа. Пусть действительная функция f(x) действительного переменного хопределена в нек-рой окрестности точки х ₀ и существует конечный или бесконечный предел

(*)

Этот предел и наз. производной от функции f(х).в точке х _а. Если положить y=f(x),

то предел (*) запишется так:

Используют также обозначения

и нек-рые другие.

Операцию вычисления П. наз. дифференцированием. Если производная f'( х ₀).конечна, то функцию f(х).наз. дифференцируемой в точке х ₀. Функцию, дифференцируемую в каждой точке нек-рого множества, наз. дифференцируемой на этом множестве. Дифференцируемая функция всегда непрерывна. Однако существуют непрерывные функции, не имеющие П. во всех точках заданного промежутка (см. Недифференцируемая функция).

Пусть функция дифференцируема в нек-ром промежутке. Ее производная f' (х).может оказаться при этом разрывной функцией. Однако по классификации Бэра (см. Вара классы).она всегда является функцией 1-го класса и обладает свойством Дарбу: приняв два значения, принимает и все промежуточные.

Обобщением понятия П. является понятие П. по множеству. Пусть действительная функция f(x).определена на нек-ром множестве Едействительных чисел, x₀ - предельная точка этого множества, , и существует конечный или бесконечный предел

к-рый и наз. производной от функции f(х).по множеству Ев точке х ₀ и обозначают символом f'_E( х ₀). П. функции по множеству есть обобщение понятия П. Разновидностями этого обобщения являются понятия односторонней производной, производного числа, аппроксимативной производной.

Данное определение П. (и его обобщение), а также простейшие ее свойства почти без изменений распространяются на комплексные функции и вектор-функции действительного или комплексного неременного. Кроме того, существуют понятия П. скалярной функции точки евклидова пространства Rⁿ (см. Градиент), П. функции множества по мере (в частности, по площади, по объему и т. п.), понятие П. распространяют на вектор-функции точки абстрактного пространства (см. Дифференцирование отображения).

О геометрич. и механич. истолковании П., о простейших правилах дифференцирования, о П. высших порядков, о частных П., а также лит. см. в ст. Дифференциальное исчисление. Г. П. Толстов.

см. Дифференциальное исчисление.

derivative матем.

* * *

derivative

брать произво́дную — derive, differentiate

произво́дная от … по … — derivative of … with respect to …

абсолю́тная произво́дная — absolute derivative

аэродинами́ческая произво́дная — aerodynamic derivative

произво́дная ве́ктора — derivative of a vector

произво́дная второ́го поря́дка — second-order derivative, derivative of the second order

произво́дная вы́сшего поря́дка — higher derivative, derivative of higher order

произво́дная дро́бного поря́дка — fractional derivative

ле́вая произво́дная — left-hand [backward] derivative

логарифми́ческая произво́дная — logarithmic derivative

произво́дная по вре́мени — time derivative

произво́дная подъё́мной си́лы по углу́ ата́ки — lift(-curve) slope

по́лная произво́дная — total derivative

произво́дная по направле́нию — directional derivative

произво́дная по норма́ли — normal derivative

произво́дная n [m2]-го поря́дка от фу́нкции … — the n -th derivative of a function …

пра́вая произво́дная — right-hand [forward] derivative

ста́ршая произво́дная — highest derivative

произво́дная усто́йчивости — stability derivative

ча́стная произво́дная — partial derivative

ж. матем.

derivata f, quoziente m differenziale

- абсолютная производная

- частная производная

матем., сущ.

похідна́, -но́ї

- абсолютная производная

- частная производная

матем., сущ.

похідна́, -но́ї

- абсолютная производная

- частная производная

в математике, см. Дифференциальное исчисление.