Двойной ряд

выражение вида

u₁₁ + u₁₂ + ... + u_1n + ...

+ u₂₁ +u₂₂ + ... + u_2n + ...

....................................

+ u_m1 + u_m2 + ... + u_mn + ...

.....................................,

составленное из элементов бесконечной матрицы||u_mn||(m, n = 1, 2, ...); эти элементы могут быть числами (тогда Д. р. называются числовым), функциями от одного или нескольких переменных (функциональный Д. р.) и т. д. Для Д. р. принята сокращённая запись

u_mn называется общим членом Д. р.

Конечные суммы

называются частичными суммами Д. р. Если существует предел

когда m и n независимо друг от друга стремятся к бесконечности, то этот предел называется суммой Д. р. и Д. р. называются сходящимся. Теория сходимости Д. р. значительно сложнее соответствующей теории для простых Рядов; например, в отличие от простых рядов, из сходимости Д. р. не вытекает, что его частичные суммы ограничены.

Выражение

называется повторным рядом. Его надо понимать в том смысле, что сначала вычисляются суммы

всех внутренних рядов, а затем рассматривается ряд

составленный из этих сумм. Если повторный ряд (1) сходится и имеет сумму S, то её называют суммой Д. р. по строкам. Аналогично определяется сумма S' Д. р. по столбцам. Из сходимости Д. р. не вытекает, что сходятся внутренние Ряды

так что суммы по строкам и по столбцам могут и не существовать. Напротив, если Д. р. расходится, то может оказаться, что существуют суммы по строкам и по столбцам и S ≠ S'. Однако, если Д. р. сходится и имеет сумму S и существуют суммы по строкам и по столбцам, то каждая из этих сумм равна S. Это обстоятельство постоянно используется при фактическом вычислении суммы Д. р.

Наиболее важными классами Д. р. являются двойные степенные ряды, двойные ряды Фурье и квадратичные формы с бесконечным числом переменных. Для Д. р. Фурье

одним из стандартных пониманий суммы таких рядов является следующее: образуются круговые (или сферические) частичные суммы

где суммирование распространяется на всевозможные пары целых чисел (m, n), для которых m² + n² N, и рассматривается предел Эллиптические функции) Вейерштрасса.

Кратный ряд (точнее, s-кpaтный ряд) есть выражение вида

Σ_{m, n, …, p}u_{mn … q,}

составленное из членов таблицы ||u_mn...p||. Каждый член этой таблицы занумерован s индексами m, n,..., р, и эти индексы пробегают независимо друг от друга все натуральные числа. Теория кратных рядов совершенно аналогична теории Д. р.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 2, М., 1966.

С. Б. Стечкин.

мат. double series, two-fold series

- ряд

члены и _тп, т, n=1, 2,..., к-рого образуют двойную числовую последовательность. Конечные суммы

наз. частичными суммами Д. р. (1), или прямоугольными частичными суммами. Они также образуют двойную последовательность. Если у этой последовательности {S_mn} существует конечный двойной предел

то ряд (1) наз. сходящимся, а число S- его суммой:

Если конечного предела (2) не существует, то ряд (1) наз. расходящимся. На Д. р. переносятся многие свойства обычных (однократных) рядов. Напр., если Д. р.

сходятся, то при любых числах lи mД. р.

также сходится и

Если Д. р. сходится, то

(необходимое условие сходимости ряда (1)). Для того чтобы Д. р. (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовало такое число N_e, что если только m>N_e, n>N_e, а kи l- любые неотрицательные целые. Если все члены ряда (1) неотрицательны, то последовательность его частичных сумм S_mn всегда имеет конечный или бесконечный предел, причем

Д. р. обладают свойствами, обусловленными наличием у его членов двух индексов, к-рые являются специфич. особенностью Д. р. Если сходится Д. р. (1) и для всех n=1, 2,... сходятся ряды

то повторный ряд

также сходится и его сумма равна сумме данного ряда.

Д. р. наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Если Д. р. абсолютно сходится, то он и просто сходится; более того, сходится любой ряд, полученный перестановкой членов данного Д. р. При этом сумма любого такого ряда совпадает с суммой исходного ряда.

На Д. р., члены к-рых являются функциями, переносятся многие понятия и свойства, присущие обычным функциональным рядам, напр., понятие равномерной сходимости, критерий Коши равномерной сходимости ряда, признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Вместе с тем, далеко не все теоремы об однократных рядах непосредственно переносятся на Д. р. Так, прямой аналог Абеля теоремы для степенных рядов

не справедлив для двойных степенных рядов, т. е. рядов вида

Существуют, напр., Д. р. (3), к-рые сходятся только в двух точках плоскости: ряд (3) с коэффициентами

сходится только в двух точках (0, 0) и (1, 1).

Кроме определения (2) для Д. р. (1) существуют другие определения его сходимости и суммы, связанные также с наличием у его членов двух индексов. Напр., пусть

(S_p наз. треугольной частичной суммой Д. р. (1)), то Д. р. (1) наз. сходящимся, если последовательность {S _р} сходится; ее предел

наз. треугольной суммой ряда (1).

Если положить

(S_r наз. круговой частичной суммой), то Д. р. (1) наз. сходящимся, если функция S_r параметра rимеет предел при этот предел

наз. круговой суммой ряда (1).

Если через обозначить произвольное конечное множество пар индексов ( т, п )и положить

то число Sназ. суммой ряда (1), если для любого e>0 существует такое копечное множество пар индексов (то, п), что для любого выполняется неравенство Если такое число Sсуществует, то ряд (1) наз. сходящимся.

Все эти определения сходимости Д. р. (1) не эквивалентны между собой. Однако, если члены Д. р. неотрицательны, то из сходимости в одном из указанных смыслов следует сходимость во всех остальных, причем все значения сумм Д. р. (1) в этом случае совпадают. Имеются и другие определения сходимости Д. р. Для Д. р. существуют различные методы суммирования.

Понятие Д. р. обобщается на случай, когда его члены являются не числами, а, напр., элементами линейного нормированного пространства.

Лит.:[1] Pringsheim A., "Munchener Sitzungsber. der Math.", 1897, Bd 27, S. 101-53; [2] его же, "Math. Ann.", 1900, Bd 53, S. 289-321; [3] его же, Vorlesungen uber Zahlenlehre, Bd 2, Lpz.- В., 1923; [4] Вrоmwiсh Т. J., Theory of infinite series, 2 ed., L., 1926; [5] Салехов Г. С, Вычисление рядов, М., 1955; [6] Уиттекер Э.-Т., Ватсон Д.-Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1903.

Л. Д. Кудрявцев.

doppia serie

подві́йний ряд

подві́йний ряд