Стеклова функция

функция, определяемая для данной функции f(x) равенством

где h настолько мало, что интервал (x, х + h) лежит в области определения функции f(x). С. ф. применяются для сглаживания данной функции, т.к. если функция f(x) непрерывна, то Ф(х, h)имеет на одну производную больше, чем f(x). При этом limФ(х, h)= f(x), то есть С. ф. могут применяться для приближения непрерывных функций более гладкими. Если функция f(x) интегрируема, то функция Ф(х, h) непрерывна. С. ф. введены В. А. Стекловым в 1903 и применялись им для решения многих вопросов в математической физике. С. ф. могут быть определены и для нескольких переменных.

для интегрируемой на любом конечном отрезке [ а, b]функции f(t)-функция

Функции вида (*), а также повторные функции

впервыe были введены В. А. Стекловым в 1907 (см. [1]) при решении проблемы разложения заданной функции в ряд по собственным функциям. С. ф. f_h (t) почти всюду имеет производную

если f(t)равномерно непрерывна на всей оси, то

где -модуль непрерывности функции f(t). Аналогичные неравенства имеют место и в метрике если только

Лит.:[1] Стеклов В. А., Об асимптотическом выражении некоторых функций, определяемых линейным дифференциальным уравнением второго порядка, и их применении к задаче разложения произвольной функции в ряд по этим функциям, Хар., 1958; [2] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965.

А. В. Ефимов.