Поливектор

(от Поли... и Вектор

(математический), тензор, кососимметрический относительно любых двух своих индексов (см. Тензорное исчисление). Т. о., П. есть тензор, имеющий индексы либо только ковариантные (нижние), либо только контравариантные (верхние), из которых каждый изменяется от 1 до n, причём компонента П. умножается на —1, когда какие-нибудь два её индекса обмениваются местами. Смотря по тому, равна ли валентность П. (т. е. число его индексов) 2, 3,..., m, говорят о бивекторе, тривекторе..., m-векторе. Например, a_ij есть ковариангный бивектор, если a_ij=— a_ji; b^ijk — контравариантный тривектор, если b^ijk=- b^jik = b^jki = - b^ikj=b^kij=- b^kji.Если из компонент m-вектора сохранить только те, для которых i₁i₂<>i_m, то останется nстрок и

linear tensor, multivector, skew-symmetric tensor

m.multivector, linear tensor, skew-symmetric tensor

р- вектор, векторного пространства V - элемент р-й внешней степени L^PV пространства Vнад полем k(см. Внешняя алгебра). p -вектор может пониматься как кососимметризованный рраз контравариантный тензор на V. Любая линейно независимая система векторов х ₁,..., х _р из Vопределяет ненулевой р-вектор такие П. наз. разложимыми, или простыми (часто - просто П.). При этом линейно независимые системы х ₁,..., х _р и y₁..., у _р порождают одно и то же подпространство в Vв том и только в том случае, когда , где . Для любого ненулевого поливектора его аннулятор есть подпространство размерности , причем поливектор tразложим тогда и только тогда, когда dim Ann t=p. Разложимые р- векторы n-мерного пространства Vобразуют коническое алгебраич. многообразие в L^pV;. соответствующее проективное алгебраич. многообразие есть Грассмана многообразие. Любой ненулевой n-вектор или ( п-1)-вектор в n-мерном пространстве Vразложим; бивектор tразложим тогда и только тогда, когда

Если v₁,..., v_n - базис пространства V и х _i , то координатами поливектора в базисе пространства L^PV являются миноры

, матрицы . В частности, при р=п

Если фиксировать ненулевой n-вектор , то возникает двойственность между р-векторамй и ( п- р)-векторами, т. е. естественный изоморфизм

такой, что для всех и

Пусть k=R и в Vзадано скалярное произведение, тогда в L^PV индуцируется скалярное произведение, обладающее следующим свойством: для любого ортонормированного базиса v₁..., v_n в V базис в L^PV также ортонормирован. Скалярный квадрат

разложимого поливектора совпадает с квадратом объема параллелепипеда в V, натянутого на векторы х ₁,..., x_p. Если фиксировать в n-мерном евклидовом пространстве Vориентацию (что равносильно выбору n-вектора w, для к-рого (w, w)=1), то указанная выше двойственность приводит к естественному изоморфизму такому, что для всех . В частности, ( п-1)-вектору соответствует вектор , наз. векторным произведением векторов x_t,..., x_n-1.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Кострикин А. И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, М., 1980; [3] Постников М. М._; Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, М., 1979.

А. Л. Онищик.

матем.

поліве́ктор

- простой поливектор

матем.

поліве́ктор

- простой поливектор