Полиномиальное распределение

Большая Советская энциклопедия

мультиномиальное распределение, совместное распределение вероятностей случайных величин, каждая из которых есть число появлений одного из нескольких взаимно исключающих событий при повторных независимых испытаниях. Пусть при каждом испытании вероятности появления событий A₁,..., A_m равны соответственно p₁,..., p_m, причём 0≤p_k <>1, k = 1,..., m и p₁+... +p_m=1, тогда совместное распределение величин X₁,..., X_m, где X_k — число появлений события A_k при n испытаниях, задаётся определёнными для любого набора целых неотрицательных чисел n₁,..., n_m, удовлетворяющих единственному условию n₁+... +n_m=n, вероятностями

(вероятность того, что при n независимых испытаниях событие A₁появляется n₁ раз, событие A₂ появляется n₂ раз и т.д.). П. р. служит естественным обобщением биномиального распределения (См. Биномиальное распределение) и сводится к последнему при m= 2. Существенно то, что каждая случайная величина X_k имеет при этом биномиальное распределение с математическим ожиданием (См. Математическое ожидание)np_k и дисперсией (См. Дисперсия)np_k(1— p_k).При n→ ∞ совместное распределение величин

стремится к некоторому предельному нормальному распределению (См. Нормальное распределение), а сумма

(используемая в математической статистике в т. н. χ²-критерии) стремится к распределению χ² с n —1 степенями свободы.

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., t. 1—2, М., 1967.

А. В. Прохоров.

Большой англо-русский и русско-английский словарь

мат. polynomial distribution

Англо-русский словарь технических терминов

polynomial distribution

Физическая энциклопедия

ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

(от греч. polys - многочисленный и лат. nomen - имя) (мультиномиальное распределение) -совместное распределение k случайных величин принимающих целые неотрицательные значения

где Ср. значения = дисперсии

смешанные вторые моменты

производящая ф-ция

П. р. является обобщением биномиального распределения на случай более двух возможных исходов эксперимента. Оно определяет вероятность при N независимых испытаниях получить результатов типа если - вероятность го исхода в одном испытании. Характерным примером П. р. является распределение чисел событий в ячейках гистограммы. Т. к. полное число событий N в гистограмме фиксировано и то ранг матрицы вторых моментов равен k- 1. Когда гистограмма содержит много ячеек и часто пользуются приближёнными выражениями для (1) и (2):

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; Статистические методы в экспериментальной физике, пер. с англ., М., 1976. В. П. Жигунов.

Математическая энциклопедия

мультиномиальное распределение, - совместное распределение случайных величин X_i,..., X_k, к-рое задается для любого набора целых неотрицательных чисел л _1;..., n_k, удовлетворяющих условию n₁+.. . + n_k=n, k_j=0, 1,..., п, j=1,..., k, формулой

(*)

где - параметры распределения. П. р. является "многомерным дискретным распределением - распределением случайного вектора (X₁,..., X_k) с Х ₁+...+X_k=n (это распределение является iio существу (k-1)-мерным, т. к. в евклидовом пространстве kизмерений оно вырождено). П. р. естественным образом обобщает биномиальное распределение и совпадает с последним при k=2. Название распределения объясняется тем, что вероятность (*) является общим членом разложения многочлена (полинома) (p₁+...+p_k)ⁿ- П. р. появляется в следующей вероятностной схеме. Каждая из случайных величин Х _i есть число появлений одного из взаимоисключающих событий A_j, j = 1,..., k, при повторных независимых испытаниях. Если при каждом испытании вероятность появления события A_j равна P_j, j=1,..., k, то вероятность (*) равна вероятности того, что при писпытаниях события A₁,..., A_k появятся n₁,..., n_k, раз соответственно. Каждая из случайных величин Х _j- имеет биномиальное распределение с математик, ожиданием np_j и дисперсией np_j(1-p_j).

Случайный вектор (X₁,..., Х _k).имеет математич. ожидание (np₁,.. ., пр _k).и ковариационную матрицу В=||b_ij||, где

(ранг матрицы B равен k-1 в силу того, что). n

Характеристич. функция П. р. равна

При распределение вектора (Y₁,..., Y_k).с нормированными компонентами

стремится к нек-рому многомерному нормальному распределению, а распределение суммы

(к-рая используется в математич. статистике для построения " хи-квадрат" критерия).стремится к чхи-квадрат" распределению с k-1 степенями свободы.

Лит.:[1] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975. А. В. Прохоров.

Русско-английский политехнический словарь

polynomial distribution