Множество

(математическое)

см. Множеств теория.

1. мно́жество;
2. мно́жества;
3. мно́жества;
4. мно́жеств;
5. мно́жеству;
6. мно́жествам;
7. мно́жество;
8. мно́жества;
9. мно́жеством;
10. мно́жествами;
11. мно́жестве;
12. мно́жествах.

МНОЖЕСТВО, множить и пр. см. многий.

МНО́ЖЕСТВО, -а, ср.

1. Очень большое количество, число кого-чего-н. М. людей. М. случаев. Всяких запасов во множестве.

2. В математике: совокупность элементов, объединённых по какому-н. признаку. Теория множеств.

-а, ср.

1.

Очень большое количество, число кого-, чего-л.

Приближаясь [к дому], увидел он множество народа; крестьяне и дворовые люди толпились на барском дворе. Пушкин, Дубровский.

Шли распоряжения и насчет домашних запасов, которые, в виде варенья, соленья, сушенья и квашенья, производились во множестве. Салтыков-Щедрин, Убежище Монрепо.

Комнаты были заставлены таким множеством вазонов с цветами, ящиков с рассадой , что казалось, в квартире столько же зелени, сколько и в саду. Паустовский, Повесть о лесах.

2. мат.

Совокупность элементов, объединенных по какому-л. признаку.

Теория множеств.

- великое множество

МНО́ЖЕСТВО, множества, ср. (книжн.).

1. только ед. Неопределенно большое количество, число чего-нибудь. Множество рабочих. Множество фактов. «Я слышал в жизни множество отличнейших певцов.» Некрасов.

2. Совокупность элементов, выделенных в обособленную группу по какому-нибудь признаку (мат.). Конечное, бесконечное множество. Эквивалентные множества.

I

Употребляется как неопределённо-количественное слово; очень много кого-либо, очень большое число чего-либо.

II

Совокупность элементов, выделенных по какому-либо признаку в обособленную группу (в математике).

МНОЖЕСТВО - в математике, см. Множеств теория.

ср. multitude;
great number, a quantity великое множествос. large number, host, multitude, any amount.

ensemble матем., set

множество— a namber of

n.set, aggregate, collection; множество точек, point set; множество меры нуль, null set, set of measure zero; множество значений, range; множество всех подмножесгв множества, power set; множество раздела, separation set, cut locus

с

Menge f; große Anzahl(большое количество)

во множестве — massenhaft, in Massen

теория множеств мат. — Mengenlehre f

множество с Menge f c; große Anzahl (большое количество) во множестве massenhaft, in Massen теория множеств мат. Mengenlehre f

с.

(grande) quantité f, multitude f; foule f

во множестве — en (grande) quantité, en foule

у него множество друзей — il a une foule d'amis

с.

gran cantidad, multitud f, infinidad f, pluralidad f; punta f (Лат. Ам.)

во мно́жестве — en gran cantidad, a montones

их бы́ло мно́жество — eran una multitud; eran incontables

мно́жество друзе́й — multitud de amigos

вели́кое мно́жество — multitud (de); innumerabilidad (de)

с.

1)(очень большое количество) gran numero m, molteplicita f

множество людей — una moltitudine di gente

множество случаев — tanti casi

у него множество друзей — ha tanti / numerosi amici

во множестве — in gran numero / copia, in quantita

всяких запасов - во множестве — c'è dovizia di ogni genere di vettovaglie

2)мат. insieme m

МНОЖЕСТВО

- набор, совокупность, собрание к.-л. объектов, называемых его элементами, обладающих общим для всех них характеристич. свойством. Понятие M. принадлежит к числу первоначальных матем. понятий и может быть пояснено только при помощи примеров. Так, можно говорить о M. людей, живущих на нашей планете в данный момент времени, о M. точек данной геом. фигуры, о M. решений данного дифференц. ур-ния. Люди, живущие на нашей планете в данный момент времени, точки данной геом. фигуры, решение данного дифференц. ур-ния являются элементами соответствующего M. Множество А считается заданным, если указано характеристич. свойство элементов этого M., т. е. такое свойство, к-рым обладают все элементы этого M., и только они. Для обозначения того, что элемент а принадлежит M. А, пишут а А (если а не принадлежит А, то пишут a А). Может случиться, что характеристич. свойством, определяющим M. А, не обладает вообще ни один элемент, тогда говорят, что M. А пустое, и пишут А =. Напр., M. действительных решений ур-ния х² = -1 пустое. Если каждый элемент M. А является в то же время элементом M. В, то А наз. подмножеством В и пишут А В. Если одновременно выполнено А В и В А, то говорят, что M. А и В равны и пишут A = B. Объединением А В M. А и В наз. M., состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из M. А и В. Пересечением А ВM. А и В наз. M., состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В. Операции объединения и пересечения коммутативны, ассоциативны и взаимно дистрибутивны. Напр., ( А В) C = = (А С) (В С). Наряду с данными двумя M. А и В рассмотрим M. С, элементами к-рого являются всевозможные пары (а, 6), где а А, b В.M. всех таких пар наз. произведением M. A и B иобозначается А В. Напр., евклидова плоскость R²=- R¹ R¹ является произведением двух веществ. прямых R¹. Если каждому элементу а А поставлен в соответствие нек-рый элемент f( а) В, то говорят, что задано отображение M. А в M. В (записывается f: А В), иназывают точку f(A )образом точки а при отображении f, M. f(A) - образом M. A, a M. f^-1(b) - прообразом точки b В. Если f(A) - С В, то f наз. отображением "в", в случае, когда f(A) = В, f наз. сюрьективным отображение м или отображением "на". Отображение f: А В наз. инъективным или вложением, если из a₁, a₂ А и a₁ a₂ следует f(a₁) f(a₂). Отображения, одновременно инъективные и суръективные, наз. биекциям и или взаимнооднозначными соответствиями.

Часто рассматривают только такие M., к-рые содержатся в нек-ром фиксиров. M. X. Если A - подмножество X и P - свойство, характеризующее элементы из A, то пишут А ={ х X: Р(х)}, где Р(х )означает, что свойство P выполнено для x (двоеточие заменяет слова "такое, что"). Напр., если X -M. всех действит. чисел, а A - подмножество положит. чисел, то А= { х Х: х>0}. Если А X, то M. X А = = {х X : cА}. наз. дополнением M. А. Операции объединения, пересечения и дополнения связаны т. н. законами де Моргана, напр.: Х(A B) = ( Х А) (X В).

Между двумя конечными M. можно установить биек-цию тогда и только тогда, когда оба M. состоят из одного и того же числа элементов. Обобщая этот факт, Г. Кантор (G. Cantor, 1871-83) определил количественную эквивалентность, или равномощность бесконечных M. как возможность установить между двумя M. взаимно однозначное соответствие. Если M. А равномощно M. В, то говорят, что A и B имеют одно и то же кардинальное число. Ценность понятия мощности M. определяется существованием неравномощных бесконечных M. Напр., M. всех действит. чисел и M. всех натуральных чисел имеют разные мощности. Первое имеет мощность континуума, а второе - счётное M. T. о., бесконечность M. допускает расчленение на разные ступени матем. бесконечности, к-рым соответствуют разл. кардинальные числа, образующие шкалу мощностей. Предположение о месте мощности континуума в этой шкале (точнее, о совпадении континуума с первой несчётной мощностью) наз. континуум-гипотезой. Отметим, что в каждом бесконечном M. А имеется собств. подмножество, равномощное всему А (правильная часть M.), в то время как ни в одном конечном M. такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконочного M.

Использование теоретико-множеств. конструкций в физике, как правило, опосредованно и происходит в осн. через такие матем. дисциплины, как функциональный анализ, динамич. системы, теория групп, топология, алгебраич. геометрия, нестандартный анализ и др. Классич. пример - формализация дельта-функции Дирака d( х), к-рую физик представляет, напр., как точечную единичную массу бесконечной плотности, а математик - как отображение M. финитных ф-ций на прямую, т. е. функционал на пространстве финитных ф-ций. Др. пример - это моделирование эл.-магн. поля или поля Янга - Миллса как связностей на специальных геом. объектах ( расслоениях), заданных парой пространств E и M и отображением f: E M, если M - модель пространства-времени, а f^-1( т) - пространство внутр. состояний точки т M. Такой подход является существ. шагом в единой теории поля. Многообещающим выглядит использование нестандартного анализа для нового построения квантовой механики и статистич. физики, где формализуются, напр., такие физ. конструкции, как бесконечные флуктуации поля в бесконечно малой области.

Лит.: Бурбаки H., Начала математики, ч. 1- Основные структуры анализа, кн. 1 - Теория множеств, пер. с франц., M., 1965; Столл P. Р., Множества. Логика. Аксиоматические теории, пер. с англ., M., 1968; Fагrukh M. О., Application of nonstandard analysis to quantum mechanics, "J. Math. Phys.", 1975, v. 16, № 2, p. 177; Александров П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, M., 1977; Mанин Ю. И., Доказуемое и недоказуемое, M., 1979; его же, Калибровочные поля и комплексная геометрия, M., 1984; Девис M., Прикладной нестандартный анализ, пер. с англ., M., 1980; Кантор Г., Труды по теории множеств, пер. с нем., франц., M., 1985; Nonstandard methods in stochastic analysis and mathematical physics, Orlando - [a. o.], 1986; Архангельский А. В., Канторовская теория множеств, М., 1988.

Б. А. Ефимов.