Неймана задача

вторая краевая задача, одна из краевых задач (См. Краевые задачи), ставящихся для дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. В простейших случаях (в частности, для уравнения Лапласа) Н. з. состоит в отыскании решения в некоторой области, имеющего на границе этой области заданную нормальную производную (См. Нормальная производная). Впервые систематически исследована в 1877 К. Нейманом.

НЕЙМАНА ЗАДАЧА

- задача о нахождении решения Лапласа уравненияDu = 0 или Пуассона уравненияDu = -f в области G (внутр. H. з.) или вне её (внеш. H. з.), имеющего на границе S области G заданную непрерывную нормальную производную u₁ (соответственно внутри и извне S). При постановке внеш. H. з. требуется, чтобы решение на бесконечности стремилось к нулю в трёхмерном и было ограниченным в двумерном случаях.

H. з. для ур-ний Пуассона и Лапласа связаны подстановкой u(x)= и( х) - V(x), где в трехмерном случае

- объёмный потенциал, а в двумерном - логариф-мич. потенциал; очевидным образом связаны и граничные значения u₁ и u₁. Внеш. H. з. связана с внутренней преобразованием Кельвина, т. е. переходом к новым координатам x x' = xR²/x² и новой ф-ции

(в двумерном случае множитель R/|x'| перед и отсутствует). Координаты x и х' симметричны относительно сферы радиуса R с центром в начале координат.

Решение внутр. H. з. существует, единственно с точностью до постоянной и непрерывно зависит от граничных условий для достаточно гладких границ S (в частности, для S, задаваемых в окрестности каждой своей точки x₀ ур-нием f_{x о} = 0 с условием, что О, a f_{x о} непрерывна вместе со своими производными). Необходимым условием разрешимости внутр. H. з. (а также внеш. H. з. в двумерном случае) является равенство

Решение H. з. для ур-ния Лапласа обычно представляется в виде потенциала простого слоя

(в двумерном случае вместо| х.- у|^-1 стоит -ln| х - у| )и сводится к решению Фредгольма уравнения для плотности m(x):

где "+" соответствует внутренней"-" внешней Н. <э., y_xy - угол между вектором x - у и нормалью к S вточке у, dS_y - элемент поверхности в точке у.

H. з. часто встречается в электро- и магнитостатике, стационарных задачах гидродинамики, теплопроводности и т. д. Условие её разрешимости имеет физ. смысл закона сохранения: суммарный поток (напряжённости электрич. или магн. поля, несжимаемой жидкости, тепла и т. д.) через замкнутую поверхность S равен суммарной величине источников (заряда и т. п.).

Лит.: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., M., 1988; Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., M., 1957; Tихонов A. H., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., M., 1977. В. П. Павлов.