Положительная логика

логика, в которой приемлемыми считаются только рассуждения, не связанные с опровержениями, т. е. с обоснованиями ложности высказываний. Поскольку выражение «А — ложно» есть лишь иная форма выражения «не-А», в П. л. отказываются от любых способов введения отрицания, к числу которых относятся приёмы косвенных доказательств (См. Косвенное доказательство), в том числе доказательств от противного (См. Доказательство от противного), а также явные определения отрицания типа ⌉ А = _dfA(f, где ⌉— знак отрицания, ⊃ — Импликация, а f — пропозициональная переменная или какое-либо «допустимое» абсурдное утверждение. П. л. можно назвать, таким образом, логикой без отрицания.

Логические законы (См. Логический закон), соответствующие правильным рассуждениям в П. л. (или же правила, кодифицирующие способы таких рассуждений), описываются и каталогизируются в соответствующих логических исчислениях (См. Логическое исчисление), из которых важнейшими являются положительное импликативное исчисление высказываний с единственной логической операцией (См. Логическая операция)— импликацией, и полное положительное исчисление высказываний с конъюнкцией (См. Конъюнкция), дизъюнкцией (См. Дизъюнкция), импликацией и эквиваленцией.

Положительное импликативное исчисление высказываний (подробно об исчислении высказываний см. в ст. Логика)задаётся с помощью двух аксиомных схем:

1. А⊃(В⊃ A),

2. (A⊃ (В⊃С))⊃((А⊃В)⊃(А⊃C)

и правила modus ponens; полное положительное исчисление высказываний — добавлением к схемам (1) и (2) следующих:

3. (А & В)⊃А,

4. (A & В)⊃В,

5. А⊃(В⊃(A & В)),

6. (A⊃С)⊃((B⊃С)⊃((А∨В)⊃C)),

7.А⊃(A∨B),

8. В ⊃ (A ∨ B)

и определения эквиваленции как сокращения для выражения (А⊃ В) & (В⊃А).Более сильные логические исчисления получаются из исчислений П. л. последовательным неконсервативным расширением (усилением) их систем аксиом или правил вывода. Так, присоединение к (1) и (2) аксиомной схемы

9. (А ⊃ В) ⊃ ((А ⊃⌉В)⊃ ⌉ А)

или соответствующего ей правила reductio ad absurdum даёт минимальную логику (См. Минимальная логика) Колмогорова (1925), а аналогичное добавление к полному положительному исчислению высказываний — минимальную логику Иохансона (1936). Присоединяя: к последней схему

10. ⌉ А⊃(А⊃В)

(противоречие влечёт произвольное утверждение) и схему

11. ⌉ А(А

(исключенного третьего принцип (См. Исключённого третьего принцип)), получают соответственно интуиционистскую и классическую логику высказываний.

Поскольку все законы П. л. имеют силу (доказуемы) в интуиционистской и классической логике (обратное, естественно, неверно), положительные исчисления обычно рассматривают как их подсистемы — вообще как «частичные системы». Существенно, однако, что положительные исчисления, взятые «сами по себе», и «те же» исчисления «внутри» более сильной логики — это исчисления с различной семантикой логических связок (операций), которая для первых детерминируется только их собственными аксиомами или правилами употребления связок, а для вторых наследуется от более сильной логики.

Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, § 26; Расёва Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М., 1972, гл. 1:1, §§ 2—6.

М. М. Новосёлов.

ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ЛОГИКА - совокупность логических теорий, в которых изучаются способы рассуждений, не связанные с опровержениями; не содержит операции отрицания.

positive logic

positive logic

ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ЛОГИКА

логика, в которой приемлемыми считаются рассуждения, не связанные с опровержениями, т. е. с обоснованиями ложности высказываний. Поскольку выражение «А — ложно» есть лишь иная форма выражения «не-А», в П. л. отказываются от любых способов введения отрицания, к числу которых относятся приёмы косвенных доказательств, в том числе доказательств от противного, а также явные определения отрицания. П. л. можно назвать, т. о., логикой без отрицания.

Логические законы, соответствующие правильным рассуждениям в П. л., описываются и каталогизируются в соответствующих логич. исчислениях, из которых важнейшими являются положительное импликативное исчисление высказываний с единств. логич. операцией — импликацией и полное положит. исчисление

высказываний с конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и эквиваленцией. Причём смысл этих операций детерминируется собств. постулатами П. л. Более сильные логич. исчисления получаются из исчислений П. л. последовательным неконсервативным расширением (усилением) их систем аксиом или правил вывода.Так, присоединение к импликативной П. л. правила reductio ad absurdum (сведения к абсурду) даёт минимальную логику Колмогорова(1925), а аналогичное добавление к полному положит. исчислению высказываний — минимальную логику Йохансона(1936). Присоединяя к последней аксиому ex falso sequitur quod libet (противоречие влечёт произвольное утверждение) и аксиому tertium non datur (исключённого третьего принцип), получают соответственно интуиционистскую и классич. логику высказываний.

Т. о., все законы П. л. имеют силу (доказуемы) в интуиционистской и классич. логике. Но смысл логич.. операций, входящих в законы П. л. как подсистемы др. логик, заимствуется из этих более сильных логик, т. е. по существу уже не является «положительным».

Чёpч А., Введение в математич. логику, пер. с англ., т. 1, М.,1960, § 26; Pасёва Е., Сикоpский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М.,1972, гл. 11, § 2—6.

положи́тельная ло́гика

совокупность логических теорий, в которых изучаются способы рассуждений, не связанные с опровержениями; не содержит операции отрицания.

* * *

ПОЛОЖИ́ТЕЛЬНАЯ ЛО́ГИКА, совокупность логических теорий, в которых изучаются способы рассуждений, не связанные с опровержениями; не содержит операции отрицания.

positive logic

* * *

positive logic