Факторный анализ

раздел статистического анализа многомерного (См. Статистический анализ многомерный),.объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц. Основное предположение Ф. а. заключается в том, что корреляционные связи между большим числом наблюдаемых переменных определяются существованием меньшего числа гипотетических ненаблюдаемых переменных или факторов. В терминах случайных величин – результатов наблюдений X₁,..., X_n общей моделью Ф. а. служит следующая линейная модель:

(*),

,

где случайные величины f_j суть общие факторы, случайные величины U_i суть факторы, специфические для величин X_i и не коррелированные с f_j, а ε_i; суть случайные ошибки. Предполагается, что k <> задано, случайные величины ε_iнезависимы между собой и с величинами f_j и U_i и имеют Еε_i = 0, Dε_i = σ²_i. Постоянные коэффициенты a_ij называются факторными нагрузками (нагрузка i-й переменной на j-й фактор). Значения a_ij, b_i,и σ²_i считаются неизвестными параметрами, подлежащими оценке. В указанной форме модель Ф. а. отличается некоторой неопределённостью, т.к. n переменных выражаются здесь через n + k других переменных. Однако уравнения (*) заключают в себе гипотезу о ковариационной матрице, которую можно проверить. Например, если факторы f_j некоррелированы и c_ij –элементы матрицы ковариаций между величинами X_i, то из уравнений (*) следует выражение для c_ij через факторные нагрузки и дисперсии ошибок:

,

Т. о., общая модель Ф. а. равносильна гипотезе о ковариационной матрице, а именно о том, что ковариационная матрица представляется в виде суммы матрицы А = {a_ij} и диагональной матрицы Λ с 2 элементами σ²_i.

Процедура оценивания в Ф. а. состоит из двух этапов: оценки факторной структуры – числа факторов, необходимого для объяснения корреляционной связи между величинами X_i, и факторной нагрузки, а затем оценки самих факторов по результатам наблюдения. Принципиальные трудности при интерпретации набора факторов состоят в том, что при k> 1 ни факторные нагрузки, ни сами факторы не определяются однозначно, т.к. в уравнении (*) факторы f_j могут быть заменены любым ортогональным преобразованием. Это свойство модели используется в целях преобразования (вращения) факторов, которое выбирается так, чтобы наблюдаемые величины имели бы максимально возможные нагрузки на один фактор и минимальные нагрузки на остальные факторы. Существуют различные практические способы оценки факторных нагрузок, имеющие смысл в предположении, что X_i,..., Xn подчиняются многомерному нормальному распределению с ковариационной матрицей С = {с_ij}.Выделяется Максимального правдоподобия метод, который приводит к единственным оценкам для c_ij, но для оценок a_ijдаёт уравнения, которым удовлетворяет бесчисленное множество решений, одинаково хороших по статистическим свойствам.

Ф. а. возник и первоначально разрабатывался в задачах психологии (1904). Область его приложения значительно шире – Ф. а. находит применение при решении различных практических задач в медицине, экономике, химии и т.д. Однако многие результаты и методы Ф. а. пока ещё не обоснованы, хотя практики ими широко пользуются. Математическое строгое описание современного Ф. а. – задача весьма трудная и до сих пор в полной мере не решенная.

Лит.: Лоул и Д., Максвелл А., Факторный анализ как статистический метод, пер. с англ., М., 1967; Харман Г., Современный факторный анализ, пер. с англ., М., 1972.

А. В. Прохоров.

factor analysis

ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ, в статистике и психометрии - математический метод, при помощи которого большое количество измерений и исследований сводится к малому числу «факторов», полностью объясняющих полученные результаты исследований, а также их взаимосвязь.

- метод исследования экономики и производства, основанный на анализе воздействия разнообразных факторов на результаты экономической деятельности, ее эффективность.

ФА́КТОРНЫЙ АНА́ЛИЗ

(ф а к т о р и а л ь н ы й анализ) – один из методов математич. обработки данных исследования массовых совокупностей. При Ф. а. эти данные сводятся в корреляционные матрицы, на к-рых определяются детерминанты ("факторы"), лежащие в основе корреляций между сопоставляемыми переменными, которыми характеризуются элементы совокупности. Созданный первоначально для психологич. исследований, Ф. а. стал позднее применяться в социологии, биологии, медицине, экономике, а также в физике. Ф. а. в его совр. виде основан на использовании методов матричной алгебры и векторной геометрии; он заключается в сведении путем ряда преобразований квадратной матрицы n-го порядка к прямоугольной матрице с m строк и n столбцов, где n всегда должно быть меньше m. Десятичные числа, стоящие на пересечениях строк со столбцами, представляют собой факторные веса переменных по выделенным факторам, т.е. фактически коэффициенты корреляции между этими переменными и факторами. В наст. время Φ. а. проводится с помощью электронновычислит. машин.

Первая модель факторизации была предложена англ. психологом Спирменом (1904), выдвинувшим представление о существовании в сфере интеллекта генерального фактора (фактор "g") и ряда специфич. факторов ("S"), действующих только в пределах данного теста. Холзингер ввел би-факторную модель и развил представление о существовании, кроме генерального и специфических, еще и групповых факторов, общих для неск. переменных. Принципиальный пересмотр теории и практики Ф. а. был осуществлен амер. психологом Тёрстоном, к-рый отказался от представлений об обязат. наличии в матрице интеркорреляций общего фактора и указал на возможность действия в такой матрице набора одних лишь групповых факторов ("восприятие", "пространственный", "вербальный" факторы). Развитые на основе этой мультифакторной модели матем. методы извлечения факторов обладают различной степенью точности и сложности. "Трансформационный метод" финского психолога Амаваара позволил связывать данные разных исследований, проведенных в одной и той же области.

Осн. областью применения Ф. а. до сих пор остается сфера способностей – умственных и специальных (музыкальных, математических, двигательных и др.). Методами Ф. а. изучается также структура личности. Сов. психологи применяют технику Ф. а. для изучения структуры свойств нервной системы человека, при исследованиях памяти и т.д. Матем. процедура Ф. а. сама по себе не говорит о содержании и существе выделяемых факторов. Содержат. интерпретация последних основывается на обобщении психологич. или физиологич. сущности тех переменных, к-рые получили по данному фактору наибольшие факторные веса.

Лит.: Небылицын В. Д., Совр. состояние Ф. а., "Вопр. психологии", 1960, No 4; Τеплов Б. М., Простейшие способы Ф. а., в кн.: Типологич. особенности высшей нервной деятельности человека, т. 5, М., 1967; Τhurstone L., Vectors of mind, Chi., 1935; его же, The dimensions of temperament, "Psychometrica", 1951, No 16; Cattell R. В., Factor analysis, N. Y., 1952; его же, Personality and motivation structure and measurement, [N. Y.], 1957; Eysenck H. J., The structure of human personality, L.–N. Y., 1953; Guilford J. P., The structure of intellect, "Psychol. Bull.", 1956, v. 53, No 4; Ahmavaara Y., On the unified factor theory of mind, Hels., 1957; Werdelin J., The mathematical ability, Cph., 1958; Harman Η. Η., Modern factor analysis, Chi., 1960; Horst P., Factor analysis of data matrices, N. Y., 1965.

В. Небылицин, А. Медведев. Москва.

статистический метод проверки гипотез о влиянии разл. факторов на изучаемую случайную величину. Разработана и общепринята модель, при которой влияние фактора представлено в линейном виде. Процедура анализа сводится к оценочным операциям с помощью метода наименьших квадратов. В зависимости от характера исследуемых факторов выделяется 3 типа Ф. а.: дисперсионный, регрессионный и ковариационный, или корреляционный. Дисперсионный анализ вводится тогда, когда факторы подразделяются на качественные категории (напр., при изучении влияния тект. фактора можно выделить градации — мульда, крыло, свод). Регрессионный анализ используется при проверке гипотез, когда факторы охарактеризованы количественно (напр., влияние глубины залегания горизонта на содер. в руде полезного ископаемого). Ковариационный, или корреляционный, анализ применим тогда, когда часть факторов представлена в количественных, др. часть — в качественных категориях. В последние годы получила распространение модель, при которой факторы не известны. Эти факторы восстанавливаются путем разложения ковариационной, или корреляционной матрицы', фактор, выявляемый анализом, выражается линейно через первоначальные случайные величины и поэтому поддается интерпретации после его выделения. Пусть имеется п случайных величин у₁, y₂,...y_n, которые являются линейными комбинациями с р неизвестными постоянными β₁, β₂,...β_p: y_i = х_1iβ₁, +х_2iβ₂,+...+ х_Piβ_P,+ e_i, (1)