Двойное отношение

(сложное, или ангармоническое)

четырёх точек M₁, M₂, М_з, M₄ на прямой (рис. 1), число, обозначаемое символом (M₁M₂M₃M₄) и равное

При этом отношение M₁M₃/M₃M₂ считается положительным, если направления отрезков M₁M₃ иM₃M₂ совпадают, и — отрицательным при различных направлениях. Д. о. зависит от порядка нумерации точек, который может отличаться от порядка следования точек на прямой. Наряду с Д. о. четырёх точек, рассматривается Д. о. четырёх прямых, проходящих через точку О. Это отношение обозначается символом (m₁m₂m₃m₄).Оно равно

причём угол (m_i m_j) между прямыми m_iи m_j) рассматривается со знаком.

Если точки M₁, M₂, М_з, M₄ лежат на прямых m₁, m₂, m₃,m₄ (рис. 1), то

(M₁M₂M₃M₄) = (m₁m₂m₃m₄),

поэтому, если точки M₁,M₂,М_з,M₄ и M’₁,M₂’, М_з’, M₄’ получены пересечением одной четвёрки прямых m₁, m₂, m₃, m₄ (рис. 1), то (M₁’, M₂’, М_з’, M₄’) = (M₁M₂M₃M₄).

Если же прямые m₁, m₂, m₃,m₄ и m₁’,m₂’, m_з’, m₄’ проектируют одну четвёрку точекM₁,M₂,М_з,M₄ (рис. 2), то (m₁’ m₂’ m_з’ m₄’) = (m₁m₂m₃m₄).

Д. о. не меняется также и при любых проективных преобразованиях (См. Проективное преобразование), т. е. является инвариантом (См. Инварианты) таких преобразований, и поэтому Д. о. играют важную роль в проективной геометрии (См. Проективная геометрия). Особенно важную роль играют четвёрки точек и прямых, для которых Д. о. равно — 1. Такие четвёрки называют гармоническими (см. Гармоническое расположение.).

Э. Г. Позняк.

Рис. 1 к ст. Двойное отношение.

Рис. 2 к ст. Двойное отношение.

anharmonic ratio, cross-ratio, double ratio, double relation

cross-ratio матем., double ratio

сложное (или ангармоническое) отношение, четырех точек М ₁, М ₂, М ₃, M₄ на прямой - число, обозначаемое символом ( М ₁ М ₂ М ₃ М ₄ )и равное

При этом отношение M₁M₃/M₃M₂ считается положительным, если направления отрезков М ₁ М ₃ и М ₃ М ₂ совпадают, и - отрицательным при различных направлениях. Д. о. зависит от порядка нумерации точек, к-рый может отличаться от порядка следования точек на прямой. Наряду с Д. о. четырех точек, рассматривается Д. о. четырех прямых т ₁, т ₂, т ₃, m₄, проходящих через точку. Это отношение обозначается символом ( т ₁ т ₂ т ₃ т ₄). Оно равно

причем угол (m_im_j )между прямыми m_i и т _j рассматривается со знаком..

Если точки М ₁, М ₂, М ₃, М ₄ лежат на прямых m₁ т ₂, т ₃, т ₄, то

Если точки M₁, M₂, М ₃, М ₄ и M₁', M₂', М ₃', М ₄' получены пересечением одной четверки прямых т ₁, т ₂, т ₃, m₄, то ( М ₁ М ₂ М ₃ М ₄)=( М ₁'М ₂'М ₃'М ₄').

Д. о. является инвариантом проективных преобразований. Д. о., равное -1, наз. гармоническим отношением (см. Гармоническая четверка точек).

Э. Г. Позняк.

cross-ratio матем., double ratio

подві́йне відно́шення

подві́йне відно́шення