Существенно особая точка

аналитической функции, точка z₀ комплексной плоскости, в которой не существует ни конечного, ни бесконечного предела при z→ z₀ для функции, однозначной и аналитической в некоторой окрестности этой точки (см. Аналитические функции). Примеры: точка z= 0является С. о. т. для функции z₀ функция f (z) может быть разложена в Лорана ряд

,

причём среди чисел b₁, b₂,... бесконечно много отличных от нуля. Это свойство часто используется для определения С. о. т. О поведении функции в окрестности С. о. т. позволяет судить Сохоцкого-Вейерштрасса теорема (См. Сохоцкого - Вейерштрасса теорема). Обобщением этой теоремы служит большая теорема Пикара: во всякой окрестности С. о. т. аналитическая функция принимает любое комплексное значение, кроме, быть может, одного. Последняя теорема, в свою очередь, имеет ряд обобщений и уточнений. В некоторых отделах теории аналитических функций под С. о. т. понимают также особые точки (См. Особая точка) более сложной природы.

Лит.: Маркушевич А. И., Теория. аналитических функций, 2 изд., т. 1—2, М., 1967—68; Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941.

изолированная особая точка а однозначного характера аналитич. ции f(z) комплексного переменного z, для к-рой не существует никакого, конечного или бесконечного, предела В достаточно малой проколотой окрестности С. о. т. или в случае функция f(z)разлагается в ряд Лорана

или соответственно

причем в главной части этих рядов имеется бесконечно много отличных от нуля коэффициентов с _k с отрицательными индексами k.

Сохоцкого теорема показывает, что любое комплексное значение wиз расширенной комплексной плоскости является предельным для функции f(z) в любой сколь угодно малой окрестности С. о. т. а. Согласно Пикара теореме, любое конечное комплексное значение за исключением, быть может, одного, даже принимается функцией f(z), и притом бесконечно часто, в любой окрестности С. о. т. а. Теорему Сохоцкого иначе выражают, говоря, что предельное множество С (а; f) функции f(z) в С. о. т. а совпадает со всей расширенной плоскостью Для регулярных точек и полюсов это множество, напротив, вырожденное, т. е. сводится к одной точке Поэтому в более общем смысле существенно особой точкой аналитпч. функции f(z) наз. всякая такая особая точка а(не обязательно изолированная), в к-рой не существует конечного или бесконечного предела или, иначе говоря, в к-рой предельное множество С(а; f) невырожденное. Теоремы Сохоцкого и Пикара для таких С. о. т., не являющихся изолированными точками множества всех особых точек, доказаны лишь при нек-рых дополнительных предположениях. Напр., эти теоремы остаются в силе для изолированной точки амножества С. о. т., в частности для предельной точки аполюсов мероморфной функции.

Точка а= (а ₁,..., а _n )комплексного пространства наз. точкой мероморфности аналитич. ции f(z) многих комплексных переменных z=(z_l,..., z_n), если f(z) есть мероморфная функция в нек-рой окрестности Uточки а, т. е. если f(z) пред-ставима в Uв виде отношения двух голоморфных функций f(z)=p(z)/q(z), Существенно особыми точками аналитич. ции f(z) многих комплексных переменных наз. особые точки афункции f(z), не являющиеся точками мероморфности. При этом невырожденность предельного множества . (а; f) перестает быть характеристическим свойством С. о. т.

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [2]Фукс Б. А., Введение в теорию аналитич. ций многих комплексных переменных, М., 1962.

Е. Д. Соломенцев.