Эрмита многочлены

специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0,1,2,... Э. м. H_n (x) могут быть определены формулой:

В частности, H_o = 1, H₁ = 2х. H₂ = 4x² — 2, H₃ = 8x³ — 12x, H₄= 16х⁴ — 48х² + 12. Э. м. ортогональны на всей оси Ox относительно веса е^-х (Ортогональные многочлены). Дифференциальное уравнение для у = H_n (x).

y " — 2ху' + 2ny = 0;

рекуррентные формулы:

H_n+1(х)— 2xH_n (x)+ 2nH_n-1(х)=0,

Иногда за H_n принимают многочлены, отличающиеся от указанных выше множителями, зависящими от n, а иногда в качестве веса берут Чебышевым (1859) и Ш. Эрмитом(1864).

многочлены Чебышева - Эрмита,- многочлены, ортогональные на интервале с весовой функцией k(x)=ехр(- х ²). Стандартизованные Э. м. определяются Родрига формулой

Наиболее употребительны формулы

Первые Э. м. имеют вид

Многочлен H_n (х)удовлетворяет дифференциальному уравнению у"-2ху'+ 2ny = 0. Ортонормированные Э. м. определяются равенством

Э. м. с единичным старшим коэффициентом имеют вид

Ряды Фурье по Э. м. внутри интервала аналогичны тригонометрич. рядам Фурье.

В математич. статистике и теории вероятностей применяются Э. м., соответствующие весовой функции

Определение Э. м. встречается у П. Лапласа [1]. Подробное исследование этих многочленов опубликовал П. Л. Чебышов в 1859 (см. [2]). Затем эти многочлены изучал Ш. Эрмит [3]. В. А. Стеклов [4] доказал плотность множества всех многочленов в пространстве функций, квадрат к-рых интегрируем с весом h(x)=ехр(-x²) на всей оси.

См. также Классические ортогональные многочлены.

Лит.:[1] Lарlaсе P. S., лMem. classe sci. math., phys. inst. France