Линейное уравнение

уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени (т. е. линейно) и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Л. у. относительно одних и тех же неизвестных образуют систему Л. у. Решением системы Л. у. называют набор чисел c₁, c₂, ..., c_n, обращающих все уравнения в тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных. Система Л. у. может иметь как одно единственное решение, так и бесконечное множество решений (неопределённая система); может также оказаться, что система Л. у. не имеет ни одного решения (несовместная система).

Чаще всего встречается случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Одно Л. у. с одним неизвестным имеет вид:

ax = b;

решением его при а≠0 будет число b/a. Система двух Л. у. с двумя неизвестными имеет вид:

(1)

где a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂, b₁, b₂— какие-либо числа. Решение системы (1) можно получить с помощью определителей:

,

;

здесь предполагается, что стоящий в знаменателе определитель D заменой в нём одного столбца столбцом свободных членов b₁, b₂; в выражении для первого неизвестного x₁ заменяется первый столбец, а в выражении для второго неизвестного x₂ — второй.

Аналогичное правило применимо и при решении любой системы и Л. у. с n неизвестными, т. е. системы вида:

(2)

здесь a_ij и b_i (i, j = 1, 2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты; числа b₁, b₂, ..., b_n называют обычно свободными членами. Если определитель D = ∣a_ij∣ системы (2), составленный из коэффициентов a_ij при неизвестных, отличен от нуля, то решение получается следующим образом: k-e (k = 1, 2, ..., n) неизвестное x_k равно дроби, в знаменателе которой стоит определитель D, а в числителе — определитель, полученный из D заменой в нём столбца из коэффициентов при отыскиваемом неизвестном (к-го столбца) столбцом свободных членов b₁, b₂, ..., b_n. Если D = 0, то система (2) либо не имеет ни одного решения, либо имеет бесконечное множество решений.

Если все b_i = 0 (систему Л. у. называют в этом случае однородной), то при D ≠ 0 решение системы (2) будет нулевым (т. е. все x_k = 0). В практике часто, однако, встречаются однородные системы Л. у. с числом уравнений на 1 меньше числа неизвестных, т. е. системы вида:

Решение такой системы неоднозначно; из неё, как правило, можно найти только отношение неизвестных:

x₁ : x₂ : ... : x_n = D₁ : D₂ : ... : D_n,

где D_n — умноженный на ( — 1)^k определитель, полученный из матрицы (См. Матрица) коэффициентов a_ij системы (3) вычёркиванием какого-то столбца (это правило применимо только тогда, когда хотя бы один из определителей D_i отличен от 0).

Впервые решение систем (2) было получено Г. Крамером в 1750; правило для нахождения решения этих систем носит до сих пор название правила Крамера. Построение полной теории систем Л. у. было закончено только спустя 100 лет Л. Кронекером.

Общая система m Л. у. с n неизвестными имеет вид:

(4)

Вопрос о совместности системы Л. у. (4), т. е. вопрос о существовании решения, решается сравнением рангов матриц

и

Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В больше ранга матрицы Л, то система несовместна (теорема Кронекера — Капелли). В случае совместности системы, её решения можно найти следующим образом. Найдя в матрице А отличный от нуля Минорнаибольшего порядка г, отбрасывают m — r уравнений, коэффициенты которых не вошли в этот минор (отбрасываемые уравнения будут следствиями оставшихся, и поэтому их можно не рассматривать); в оставшихся уравнениях переносят направо те неизвестные, коэффициенты которых не вошли в выбранный минор (свободные неизвестные). Придав свободным неизвестным любые числовые значения, получают систему из r уравнений с r неизвестными, которую можно решить по правилу Крамера. Найденные значения r неизвестных вместе со значениями свободных неизвестных дадут некоторое частное (т. е. одно из многих возможных) решение системы (4). Можно, не давая свободным неизвестным конкретных значений, непосредственно выразить через них остальные неизвестные. Так получается общее решение, т. е. решение, в котором неизвестные выражены через параметры; давая этим параметрам произвольные значения, можно получить все частные решения системы.

Однородные системы Л. у. можно решать таким же способом. Решения их обладают тем свойством, что сумма, разность и вообще любая линейная комбинация решений (рассматриваемых как n-мерные векторы) также будет решением системы. Другими словами: совокупность всех решений однородной системы Л. у. образует линейное подпространство n-мерного векторного пространства. Систему решений, которые сами линейно независимы и позволяют выразить любое другое решение в виде их линейной комбинации (т. е. базис линейного подпространства), называют фундаментальной системой решений однородной системы Л. у.

Между решениями системы Л. у. (4) и соответствующей однородной системы Л. у. (т. е. уравнений с теми же коэффициентами при неизвестных, но со свободными членами, равными нулю) существует простая связь: общее решение неоднородной системы получается из общего решения однородной системы прибавлением к нему какого-либо частного решения неоднородной системы Л. у.

Большой наглядности изложения в теории Л. у. можно добиться, используя геометрический язык. Привлекая при этом к рассмотрению линейные операторы (См. Линейный оператор)в векторных пространствах (рассматривая уравнения вида Ax = b, А — линейный оператор, х и b — векторы), легко установить связь рассматриваемых алгебраических Л. у. с Л. у. в бесконечномерных пространствах (системы Л. у. с бесконечным числом неизвестных), в частности с Л. у. в функциональных пространствах, например Линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения (см. Интегральные уравнения) и др.

Применение правила Крамера при практическом решении большого числа Л. у. может встретить значительные трудности, т. к. нахождение определителей высокого порядка связано со слишком большими вычислениями. Были поэтому разработаны различные методы численного (приближённого) решения систем Л. у. (см. Численное решение уравнений).

Лит.: Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М. — Л., 1951; Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М. — Л., 1963.

ЛИНЕЙНОЕ уравнение - алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид: ax?b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами линейных уравнений. Теория линейных уравнений получила развитие после возникновения учения об определителях и матриц. Понятие линейности переносится с алгебраических уравнений на уравнения из других областей математики (напр., линейное дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят линейно, т. е. в 1-й степени).

linear equation

лине́йное уравне́ние

алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид: ax = b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами линейных уравнений. Теория линейного уравнения получила развитие после возникновения учения об определителях и матрицах. Понятие линейности переносится с алгебраических уравнений на уравнения из других областей математики (например, линейное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и её производные входят линейно, то есть в 1-й степени).

* * *

ЛИНЕ́ЙНОЕ УРАВНЕ́НИЕ, алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид: ax=b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами линейных уравнений. Теория линейных уравнений получила развитие после возникновения учения об определителях и матриц. Понятие линейности переносится с алгебраических уравнений на уравнения из других областей математики (напр., линейное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят линейно, т. е. в 1-й степени).

- уравнение вида

где А- линейный оператор, действующий из векторного пространства Xв векторное пространство В, х - неизвестный элемент из X, b - заданный элемент из В(свободный член). Если 6=0, то Л. у. наз. однородным. Решением Л. у. наз. элемент обращающий (1) в тождество:

Простейший пример доставляет линейный оператор ( линейная функция )и определяемое им линейное уравнение (алгебраическое):

а, (или произвольному полю k);его решение существует тогда и только тогда, когда либо (и тогда х ₀=b/а), либо а=b=0 (и тогда х ₀ - любое). Обобщением уравнения (2) является Л. у. вида

где f(х) -линейный функционал, определенный на векторном пространстве Xнад полем В частности, если размерность Xконечна и равна га (так что

Xизоморфно kⁿ), f имеет вид линейной формы нескольких переменных и уравнение (3) может быть записано в виде

Если а _i одновременно не обращаются в нуль, то множество решений, уравнения (4) заполняет ( п-1)-мерное линейное многообразие (в однородном случае - линейное подпространство) в X. Если Xбесконечномерно, то множество решений уравнения (3) - линейное многообразие коразмерности 1.

Несколько уравнений вида (4) образуют с истому Л. у.:

При этом систему (5) можно интерпретировать как одно Л. у. вида (1), если принять в качестве Xпространство kⁿ, в качестве В - пространство k^m, а оператор Азадать матрицей Вопрос о совместности системы Л. у. (5), т. е. вопрос о существовании решения системы Л. у., решается сравнением ранга матриц

Более сложно обстоит дело в случае, когда Xн Вявляются бесконечномерными векторными пространствами. При этом играют существенную роль топологии пространств Xи Ви обусловливаемые ими те или иные свойства ограниченности, непрерывности и пр. оператора А. В общем случае существование и единственность решения Л. у. обусловлены обратимостью А(см. Обратное, отображение). Однако эффективно обратить Аудается далеко не всегда, и потому для исследования Л. у. приобретают важную роль качественные методы, позволяющие без решения Л. у. указать полезные в том или ином отношении свойства совокупности решений (в предположении, что они существуют), напр. единственность, априорные оценки и т. д. С другой стороны, оператор Аможет быть определен не на всем пространстве X, и уравнение (1) может не иметь решения ни при каких 6. В этой ситуации разрешимость уравнения (1) устанавливается (во многих практически важных случаях) выбором надлежащего расширения оператора А.

Для конкретных типов Л. у., напр. для линейных дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и с частными производными, для линейных интегральных уравнений, разработаны специфические, в том числе и численные, методы решения и исследования. Наконец, в ряде случаев (напр., в задачах линейной регрессии) оказываются полезными значения в определенном смысле наиболее подходящие для роли решения Л. у.

М. И. Войцеховский.

алгебраическое - алгебраическое уравнение 1-й степени по совокупности неизвестных, т. е. уравнение вида

Всякая система Л. у. может быть записана в виде

где ти n - натуральные числа; а _ij (i=1, 2,..., т, j=1, 2,..., n) наз. коэффициентами при неизвестных и являются заданными; b_i (i=l, 2,..., т).наз. свободными членами и также являются заданными; х;(i=1, 2,..., n) наз. н е и з-вестными и являются искомыми. Решением системы Л. у. (1) наз. такой набор значений c₁, с ₂,..., с _n, что каждое из уравнений системы обращается в тождество при подстановке с _i вместо соответствующих неизвестных. Для приложений наиболее важен тот случай, когда коэффициенты при неизвестных, свободные члены и значения неизвестных являются числами (комплексными, действительными или целыми), но можно рассматривать также случай, когда они лежат в произвольном поле Р.

По числу решений системы Л. у. делятся на следующие типы:

совместная система - система Л. у., имеющая хотя бы одно решение;

несовместная система (или противоречивая) - система, не имеющая ни одного решения;

определенная система - система, имеющая единственное решение;

неопределенная система - система, имеющая более одного решения.

Если рассматриваются решения системы со значениями неизвестных в данном числовом (или любом бесконечном) поле, то каждая неопределенная система Л. у. имеет бесконечно много решений. В отличие от уравнений степени выше первой, тип системы Л. у. не меняется при расширении данного поля Р. Так, при расширении поля несовместная система не может стать совместной, а определенная - неопределенной. Однако совокупность решений неопределенной системы при этом расширяется.

Простейший путь определения типа системы (1) и вычисления ее решений дает Гаусса метод исключения неизвестных. В случае п=т система (1) тогда и только тогда является определенной, когда определитель, составленный из ее коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля. В этом случае единственное решение системы находится по формулам Крамера (см. Крамера правило).

Для решения системы Л. у., коэффициенты к-рой содержат буквенные параметры, более удобным, чем метод Гаусса, является применение общей теории Л. у., связанной с понятием ранга матрицы. Ранг матрицы можно определить как максимальное число линейно независимых строк или столбцов. По теореме о ранге матрицы ранг системы строк матрицы равен рангу системы столбцов и равен наибольшему порядку отличных от нуля миноров этой матрицы. С системой Л. у. (1) связаны две матрицы: матрица

составленная из коэффициентов при неизвестных, и расширенная матрица

получаемая из матрицы Адобавлением столбца свободных членов. Критерий совместности системы (1) дает теорема Кронекера - Капелл и: система Л. у. (1) тогда и только тогда совместна, когда ранг матрицы Аравен рангу матрицы В.

Система Л. у. (1) тогда и только тогда имеет единственное решение, когда ранг матрицы Аравен рангу матрицы Ви равен п.

Неизвестные совместной системы Л. у. подразделяются на главные и свободные. При любых значениях свободных неизвестных существуют Однозначно определенные значения главных неизвестных, дающие в совокупности решение данной системы. Выбор главных и свободных неизвестных не всегда однозначен. Именно, если ранг Аравен рангу Ви равен r, то любые r неизвестных, из коэффициентов при к-рых можно составить определитель можно считать главными, а остальные - свободными. Определитель Dв этом случае наз. главным (или базисным) м и н о р о м системы. Его можно искать методом окаймления, начиная с миноров низших порядков. Он также не всегда определен однозначно. При вычислении решений надо взять лишь rуравнений, содержащих главный минор D, и выразить в общем виде (напр., используя формулы Крамера) главные неизвестные через свободные. Эти выражения наз. общим решением. Свободные неизвестные играют в нем роль свободных параметров. Придавая им любые значения, находят значения главных неизвестных, дающие вместе с выбранными значениями свободных неизвестных решение системы. Любое решение совместной системы может быть получено указанным путем при подходящих значениях свободных неизвестных. Если все коэффициенты при неизвестных и свободные члены лежат в поле Р, то при выборе для свободных неизвестных значений из того же поля Рполучается решение со значениями всех неизвестных из того же поля Р. При r=n все неизвестные являются главными и общего решения не существует. Система Л. у.

полученная из системы (1) заменой свободных членов нулями, наз. однородной системой Л. у., соответствующей системе (1). Система (2) всегда совместна (т. к. ей удовлетворяет нулевое решение). Для того чтобы она имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы Абыл меньше числа неизвестных п. В частности, при т=п квадратная однородная система Л. у. тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда ее определитель равен нулю.

Решения совместной системы Л. у. (1) и соответствующей однородной системы (2) связаны следующим образом: сумма решения системы (1) и решения системы (2) является решением системы (1); разность двух решений системы (1) - решением системы (2). Все решения системы (1) можно получить, прибавляя к каждому решению системы (2) одно и то же частное решение системы (1).

Геометрическая интерпретация решений системы Л. у. Любую строку из п элементов поля Рможно рассматривать как строку координат вектора х n -мерного векторного пространства Vнад полем Рв нек-ром фиксированном базисе. Для краткости формулировок вектор хотождествляется со строкой его координат. Все решения однородной системы (2) составляют подпространство Uпространства V. Его размерность равна n-r, где п - число неизвестных, а r - ранг матрицы Асистемы. При r<n подпространство Uотлично от нулевого и его базис наз. также фундаментальной системой решений системы Л. у. (2). Обратно, для каждого подпространства Uпространства Vсуществует однородная система Л. у., решения к-рой составляют подпространство U. Множество векторов Z= U+x₀, получаемое прибавлением к каждому вектору подпространства Uодного и того же вектора x₀, наз. линейным многообразием (или плоскостью, иногда гиперплоскостью) пространства V. Все решения совместной системы Л. у. (1) составляют нек-рое линейное многообразие Z; обратно, для любого линейного многообразия Zсуществует совместная система, решения к-рой составляют данное многообразие (см. [3]).

Решение систем линейных уравнений в целых числах. Пусть дана система уравнений (1), где все a_ij и b_i - целые числа. И пусть через обозначен наибольший общий делитель всех миноров порядка k матрицы Аиз коэффициентов при неизвестных, а через - аналогичное число для расширенной матрицы В. Если все миноры порядка kв матрице А(или В). равны нулю, то считают (соответственно ). Для того чтобы целочисленная система Л. у. (1) имела целочисленное решение, необходимо и достаточно, чтобы нацело делилось на выполнялось равенство

Для формулировки метода вычисления всех целочисленных решений систем Л. у. вводятся т. н. элементарные преобразования целочисленных матриц: 1) прибавление к i-й строке j-й строки умноженной па целое число с;2) умножение i-й строки на -1; 3) перестановка i-й и j-й строк и аналогичные преобразования столбцов. При элементарных преобразованиях строк система (1) переходит в эквивалентную систему и, значит, совокупность целочисленных решений не меняется. При элементарных преобразованиях столбцов матрицы Аиз коэффициентов при неизвестных происходят следующие преобразования неизвестных: если - новые неизвестные, то

при преобразовании 1)

при преобразовании 2)

при преобразовании 3)

При таких преобразованиях неизвестных целочисленные решения п только они переходят в целочисленные. Систему (1), для к-рой ранг Лравен рангу Ви равен r, при помощи элементарных преобразований строк матрицы Ви столбцов матрицы А, а также отбрасыванием нулевых уравнений можно привести к следующему канонич. виду

Числа e_i удовлетворяют дополнительным условиям:

в

Для задачи решения системы в целых числах эти дополнительные условия несущественны.

Для существования целочисленных решений системы (3) необходимо и достаточно, чтобы числа

были целыми. Неизвестные у ₁, у ₂,..., у _r определены однозначно, а при r<n неизвестные могут принимать любые целые значения.

Для вычисления решений исходной системы (1) надо все преобразования столбцов матрицы Априменить в том же порядке к единичной матрице Епорядка п. Полученная целочисленная матрица Qдает связь старых и новых неизвестных:

где

Затем надо положить а при r<n неизвестным играющим роль параметров, можно придавать любые целые значения.

Указанный метод решения системы (1) над кольцом целых чисел обобщается на любые евклидовы кольца и кольца главных идеалов.

Разыскание целочисленных решений уравнений и систем в общем случае - предмет теории диофантовых уравнений.

Лит.:[1] К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд. М., 1975: [2] К о с т р н к и н Л. И., Введение в алгебру, М. 1977; [3] Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра. Линейная алгебра, многочлены, общая алгебра 2 изд.. М., 1965. И. В. Проскуряков

алгебр, ур-ние, в к-рое неизвестное входит в 1-й степени и в к-ром отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Л. у. с одним неизвестным имеет вид: ах = b. В случае неск. неизвестных имеют дело с системами Л. у. Понятие линейности переносится с алгебр, ур-ний на ур-ния из др. областей математики (напр., линейное дифференц. ур-ние - это ур-ние, в к-рое неизвестная ф-ция и её производные входят линейно, т. е. в 1-й степени).

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебраическое уравнение 1-й степени вида ах = b, не содержащее произведения неизвестных.