Лорана ряд

Ряд вида

, (*)

то есть ряд, расположенный как по положительным, так и по отрицательным степеням разности z — а (где z, а и коэффициенты ряда — комплексные числа). Совокупность членов с неотрицательными степенями представляет здесь обыкновенный Степенной ряд, сходящийся, вообще говоря, внутри круга с центром а и радиусом R (≤ ∞); остальные члены образуют ряд, сходящийся, вообще говоря, вне круга с тем же центром, но с радиусом r (r ≥ 0). Если r <>R, то ряд (*) сходится в круговом кольце r <>z — а| <>R; его сумма является в этом кольце аналитической функцией (См. Аналитические функции) комплексного переменного z.

Несмотря на то, что ряды вида (*) встречаются уже у Л. Эйлера (1748), они получили своё название по имени П. Лорана, который в 1843 показал, что всякая функция комплексного переменного, однозначная и аналитическая в кольце r <>z — а| <>R, может быть разложена в этом кольце в такой ряд (это так называемая теорема Лорана). Впрочем, ту же теорему получил несколько раньше К. Вейерштрасс, но его работа была опубликована лишь в 1894.

ЛОРАНА РЯД

- ряд, представляющий аналитическую функцию в окрестности её изолиров. особой точки. Получил своё назв. по имени П. Лорана (P. Laurent). Если z₀ - изолиров. особая точка аналитич. ф-ции f(z), то в окрестности z₀ ф-ция f(z) представляется в виде суммы сходящегося ряда

коэф. к-рого определяются контурными интегралами:

где - контур, охватывающий точку z₀ и лежащий в области аналитичности ф-ции f(z), причём интегрирование производится в направлении против часовой стрелки. Совокупность членов Л. р. с неотрицат. степенями (z-z₀) наз. его правильной частью, а совокупность членов с отрицат. степенями (z-z₀) - главной частью.

Если бесконечное число членов гл. части Л. р. ф-ции f(z) в точке z₀ отлично от нуля, то точка z₀ наз. существенно особой точкой. Если лишь конечное число членов гл. части Л. р. отлично от нуля, то точка z₀ наз. полюсом, причём макс. число п, для к-рого наз. кратностью полюса, а коэф. вычетом ф-ции f(z) в точке z₀. Если гл. часть Л. р. ф-ции f(z) тождественно равна нулю, то точка z₀ наз. устранимой особой точкой. В этом случае, после доопределения ф-ции f(z) в точке z₀ с помощью ф-лы = становится аналитич. ф-цией в окрестности точки z₀, а её Л. р. совпадает с Тейлора рядом.

Лит. см. при ст. Аналитическая функция. Б. И. Завьялов.

- обобщение степенного ряда по целым неотрицательным степеням разности z-а или по целым неположительным степеням z-а в виде

Ряд (1) понимается как сумма двух рядов:

- главная часть Л. р. Ряд (1) считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части. Свойства Л. р.: 1) если область сходимости Л. р. содержит внутренние точки, то она представляет собой круговое кольцо

с центром в точке ; 2) во всех внутренних точках кольца сходимости Dряд (1) сходится абсолютно; 3) как и для степенных рядов, поведение Л. р. в точках граничных окружностей может быть самым разнообразным; 4) на любом компактном множестве ряд (1) сходится равномерно; 5) сумма ряда (1) в Dесть аналитич. функция f(z); 6) ряд (1) можно дифференцировать и интегрировать в Dпочленно; 7) коэффициенты с _k Л. р. определяются через его сумму f(z) формулами

где - любая окружность с центром а, расположенная в D;8) разложение в Л. р. единственно, т. е. если в D, то все коэффициенты их Л. р. по степеням z-асовпадают.

Для случая центра в бесконечно удаленной точке Л. р. принимает вид

причем теперь правильной частью является а главной -

Область сходимости ряда (3) имеет вид

а формулы (2) переходят в формулы

где В остальном все свойства те же, что и в случае конечного центра а.

Применение Л. р. основано главным образом на теореме Лорана (1843): любая однозначная аналитич. функция f(z) в кольце представима в Dсходящимся Л. р. (1). В частности, в проколотой окрестности

изолированной особой точки а однозначного характера аналитич. функция f(z) представима Л. р., к-рый и служит основным инструментом исследования ее поведения в окрестности изолированной особой точки.

Для голоморфных функций f(z) многих комплексных переменных аналогом теоремы Лорана можно считать следующее предложение: всякую функцию f(z), голоморфную в произведении Dколец можно представить в Dв виде сходящегося кратного Л. р.

в к-ром суммирование распространяется на все целочисленные мультииндексы

где - произведение окружностей

Область сходимости ряда (4) логарифмически выпуклая и является относительно полной кратно круговой областью. Однако применение кратных Л. р. (4) ограничено, поскольку при голоморфные функции f(z) не могут иметь изолированных особенностей.

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967, гл. 4; [2] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976, ч. 1, гл. 2, ч. 2, гл. 1. Е. Д. Соломенцев.