Монте-Карло метод

Большая Советская энциклопедия

метод статистических испытаний, численный метод решения математических задач при помощи моделирования (См. Моделирование) случайных процессов и событий. Термин «М.-К. м.» возник в 1949, хотя некоторые расчёты путём моделирования случайных событий осуществлялись статистиками и ранее. (Название «М.-К. м.» происходит от города Монте-Карло, известного своим игорным домом.) Широкое распространение М.-К. м. получил только после появления быстродействующих вычислительных машин. Программы для расчётов по М.-К. м. на ЭВМ сравнительно просты и, как правило, позволяют обходиться без большой оперативной памяти. См. Статистических испытаний метод.

Физическая энциклопедия

МОНТЕ-КАРЛО МЕТОД

(метод статистических испытаний) - численный метод решения разл. задач при помощи моделирования случайных событий. В приложении к физике M.-К. м. можно определить как метод исследования физ. процесса путём создания и эксплуатации стохастич. модели, отражающей динамику данного процесса.

Если физ. процесс описывается k величинами (переменными) p₁,...,p_k, к-рые можно рассматривать как случайные величины с плотностью распределения F(p_1,....,p_k), и требуется оценить плотность распределения нек-рой характеристики f данного процесса, являющейся ф-цией переменных, f= f(p₁,...,p_k), или совокупности таких характеристик f₁,...,f_m, то M.-К. м. состоит в следующем. Создаётся алгоритм, реализуемый в виде программы на ЭВМ или в виде спец. устройства (электронного, механического или др.). Назначение алгоритма - многократно генерировать набор величин q₁,...,q_k. с плотностью вероятности F. Процедуру многократного получения набора {q_j} наз. моделированием физ. процесса; числа q_j отождествляют с переменными p_j. Для каждого конкретного набора {q_jⁱ}вычисляют величину f(qⁱ₁,...,qⁱ_k); получив достаточно большое число N наборов {q_j}, можно оценить ср. значение величины f, её дисперсию и поведение ф-ции распределения плотности вероятности. Такой подход наз. прямым моделированием. При т. н. косвенном моделировании процесс описывают одним или неск. ур-ниями (дифференц., интегральными или др.), к-рые решают затем с помощью M.-К. м. С матем. точки зрения обе процедуры эквивалентны вычислению интеграла по нек-рой многомерной области. Кратность вычисляемого интеграла варьируется от 10-20 (в нек-рых задачах физики элементарных частиц) до ~10⁶ (в расчётах на решётке).

M.-К. м. был сформулирован в 1949 в работах Дж. Неймана (J. Neumann), С. Улама (S. Ulam), H. Метрополиса (N. Metropolis). Предшественник M.-К. м. - статистическое моделирование, известное ещё в 19 в. Классич. примером такого моделирования является "игла Бюффона", т. е. получение числа p путём случайного бросания иглы на горизонтальную поверхность, расчерченную сеткой равноотстоящих параллельных линий. С появлением быстродействующих компьютеров метод обрёл второе рождение и получил в 1949 назв. "метод Монте-Карло".

Техника моделирования. Обычно M.-К. м. реализуют в виде программы на универсальной ЭВМ. Ранее применялись механич. устройства, ныне всё чаще используют спец. моделирующие устройства с применением микропроцессоров. С помощью таких устройств получен ряд результатов в статистич. физике и квантовой теории поля.

Для реализации случайной величины в M.-К. м. традиционно используют датчики, генерирующие случайную последовательность чисел, равномерно распределённых на интервале (0,1). Различают три типа случайных чисел. Истинно случайные числа можно вырабатывать, напр., преобразуя случайные сигналы от радиоакт. источника или от шумового диода. Таким способом можно достаточно быстро получать большие последовательности некоррелированных случайных чисел. В расчётах на ЭВМ используют псевдослучайные числа, полученные с помощью нек-рого алгоритма. Назначение такого алгоритма - генерировать числа, к-рые похожи на случайные, хотя, строго говоря, они детерминированы. Необходимы спец. исследования и тесты, чтобы убедиться в достаточной случайности таких чисел (равномерность распределения, отсутствие корреляций и пр.). Квазислучайные числа также получают при помощи нек-рого алгоритма, причём в основу алгоритма закладывают требование равномерного заполнения точками заданного многомерного объёма. Известен ряд алгоритмов, дающих точки, распределённые в гиперкубе более равномерно, чем случайные и псевдослучайные. Следствием лучшей равномерности является более быстрая сходимость результата.

Использование M.-К. м. в физике базируется гл. обр. на возможности его применения для вычисления интегралов, решения интегральных ур-ний и др. Пусть требуется вычислить интеграл , где W - конечная k -мерная область определения. Алгоритм вычисления в M.-К. м. основан на теореме о среднем: , где V - объём области W. Выберем k -мерный параллелепипед с объёмом W, содержащий область W, и выберем случайным образом достаточно большое число N точек, равномерно распределённых в этом параллелепипеде. Для M точек, попавших при этом в область W, вычислим значение ф-ции f. Оценку интеграла даёт величина

Если в области W точки распределены с плотностью вероятности р(х), то, зная объём V, можно получить след. оценку интеграла:

Алгоритм решения интегрального ур-ния

M.-К. м. таков. Для достаточно широкого класса ядер К(х, <у )приближённое решение можно искать в виде суммы

где

Пусть далее нам нужно найти функционал

Построим стохастич. процесс, соблюдая след. правила. Будем многократно строить цепочки из M случайных точек. Первая точка x₀ всегда "бросается" в область W с плотностью вероятности f(x )(с точностью до нормирующего множителя); переход от точки x_m-₁ к точке х _т определяется плотностью вероятности К(х _т-₁, x_m)dx_m. Можно показать, что матем. ожидание

случайной величины равно искомому функционалу Ф. Вообще говоря, можно осуществлять переход x_m_-1-> х _т спроизвольной плотностью вероятности P(x_m-₁,x_m)dx_m. При этом случайная величина, с помощью к-рой оценивается функционал, вычисляется по ф-ле

При моделировании физ. процесса важно выбрать оптим. ф-цию р(х)[или Р(х _т-₁,х _т)]. Разработке методов, позволяющих правильно выбрать эти ф-ции, посвящено большинство работ, связанных с вопросом ускорения сходимости. Перспективным является, напр., адаптивный метод, при к-ром ф-ция р(х)"настраивается" в процессе моделирования на данную подынтегральную ф-цию f(x).

Применения M.-К. м. В нейтронной физике осн. задачами являются моделирование прохождения потока нейтронов в среде, расчёт коэф. размножения нейтронов в ядерном реакторе, расчёт защиты реактора и др. Используют как прямое, так и косвенное моделирование. В первом случае в объёме реактора моделируют набор нек-рого числа нейтронов с заданными скоростями (первое поколение). Для каждого нейтрона прослеживают его судьбу (поглощение, вылет из реактора, деление). Образовавшиеся в результате деления нейтроны - это второе поколение, судьбу к-рых прослеживают аналогично. После моделирования достаточно большого числа поколений можно оценить критичность режима реактора. Метод удобен тем, что позволяет учитывать любую геом. форму реактора, наличие неоднородных примесей и пр. Однако время расчётов может быть существенно больше, чем при косвенном моделировании, когда движение нейтронов описывают интегральным ур-нием переноса. Для решения ур-ния составляют цепь Маркова. Характеристики поведения системы (в т. ч. и коэф. размножения) являются функционалами от состояний этой цепи и могут быть оценены стандартными методами.

В физике элементарных частиц одним из первых применений M.-К. м. было моделирование электронно-фотонных ливней. Успех метода в приложении к этой задаче определяется тем, что классич. описание процесса, хотя и не представляет принципиальных трудностей, практически бесполезно из-за чрезмерно большого числа переменных. Решение проблемы с помощью M.-К. м. сводится к после-доват. моделированию судьбы каждой частицы (гамма-кванта, электрона или позитрона), участвующей в процессе, и моделированию соответств. элементарного акта взаимодействия. При этом возникают параметры вторичных частиц, судьбу к-рых прослеживают аналогично. Имеется ряд прикладных программ, работающих по этому принципу, однако для сверхвысоких энергий (~1 ТэВ) прослеживание всех частиц ливня требует нереально большого машинного времени.

M.-К. м. используется также при анализе данных, полученных в экспериментах с элементарными частицами. В результате взаимодействия двух частиц образуется ряд вторичных частиц; нек-рые из них нестабильны и распадаются, образуя новые частицы. Весь каскадный процесс описывается совокупностью k переменных p₁,..., p_k. Плотность распределения этих переменных определяется теорией или моделью, используемой для интерпретации данной реакции. Соот-ветств. ф-ла может включать ряд неизвестных параметров h₁, ...,h_m, для определения к-рых проводят физ. эксперимент. T. о., полную плотность вероятности можно записать в виде F (p₁,...,p_k; h₁,...,h_m). С помощью физ. установки (детектора) регистрируют все или нек-рые из частиц, участвующих в реакции. В каждой конкретной реакции измеряют нек-рые величины u₁,..., u_n, являющиеся ф-циями тех же переменных p_i и параметров h_j. Зарегистрировав достаточно большое число событий, можно экспериментально оценить плотность вероятности величин u_j:r(u₁,..., u_n) и путём сопоставления этой ф-ции с теоретически предсказываемой определить параметры h. Обычно для этого применяют наименьших квадратов метод или (в более общем случае) максимального правдоподобия метод. При использовании конкретной физ. методики (фотоэмульсия, пузырьковая камера, спектрометр с искровыми, пропорциональными или дрейфовыми камерами) непосредств. результатом эксперимента является произведение ф-ции r на т. н. приборную ф-цию или эффективность e(p₁,...,p_k). Очевидно, что при анализе соответств. распределений необходимо учитывать искажения, вносимые детектором. Общепринятым методом расчёта эффективностей к является M.-К. м.

Моделирование взаимодействий и процесса прохождения вторичных частиц через детектор даёт возможность определить геом. эффективность детектора, т. е. долю регистрируемых событий от их полного числа. Имитация траекторий или сигналов в детекторах (сцинтилля-ционных, черепковских и др.) позволяет производить обратную реконструкцию моделиров. событий и сравнивать найденные т. о. кинематич. характеристики с истинными. С помощью такой процедуры определяют разрешающую способность детектора.

В квантовой теории поля M.-К. м. интенсивно используют для расчётов в калибровочных теориях на решётке. Наиб. эффективно применение этого метода к тем явлениям в квантовой хромодина-мике(KXД), к-рые обусловлены взаимодействием кварков на сравнительно больших расстояниях. Как известно, в КХД с увеличением расстояния растёт и эфф. константа связи, что делает невозможным применение теории возмущений. Одним из осн. средств исследования в т. н. непертурбативной области КХД стал метод численного расчёта на четырёхмерной решётке. В таком подходе используют формулировку КХД с помощью функциональных интегралов, при этом средние по квантовым флуктуациям полей в каждой точке пространства-времени представлены в виде интегралвв. Эти интегралы вычисляют с применением M.-К. м. Точность расчётов улучшается с увеличением размера решётки, однако при этом существенно растёт время, затрачиваемое на вычисления. Даже наиб. мощные ЭВМ способны обеспечить проведение расчётов на решётках лишь сравнительно небольшого размера. Качеств. скачок в этом направлении возможен при использовании спец. счётных устройств, включающих большое кол-во автономных микропроцессоров. Наиб. интересные результаты: вычисление спектра масс чисто глюонных частиц (глюболов), оценка темп-ры фазового перехода адронной материи в кварк-глюонную плазму и расчёт потенциала взаимодействия на больших расстояниях. Учёт кварков при расчётах на решётке даёт возможность вычислить спектр масс адронов, т. е. почти всех элементарных частиц. Сделанные до сих пор оценки имеют не очень высокую точность.

В статистич. физике использование M.-К. м. имеет свою специфику и тесно переплетается с др. численным методом - молекулярной динамики методом. Одно из направлений в этой области - исследование физики жидкости. Традиц. модель, применяемая для описания жидкости,- система твёрдых сфер либо твёрдых дисков. Обычно исследуют модель, содержащую от неск. десятков до тысячи таких сфер. Варьируя конкретный вид взаимодействия между этими объектами, можно моделировать поведение таких сред, как классич. жидкость, электролитич. раствор или жидкий металл. Методика моделирования плазмы различна для разл. плотности электронов. При высокой плотности (характерной, напр., для белых карликов) электронный газ вырожден и рассматривается как неподвижная среда, в к-рой движутся ионы (однокомпонентная плазма). При меньшей плотности необходимо учитывать поляризацию электронного фона и эффекты экранирования. Поведение такой плазмы исследуют, напр., с помощью модели заряж. твёрдых сфер, движущихся в однородном фоне. M.-К. м. (наряду с молекулярной динамики методом )применяют также для изучения поверхностных явлений в жидкостях.

M.-К. м. даёт возможность практич. исследования фазовых диаграмм смесей и магн. систем. Осн. проблемы в этой области связаны с изучением упорядоченных состояний систем и с определением области устойчивости. Много работ посвящено природе фазовых переходов и поведению системы вблизи критич. точки, а также динамике этого процесса. Чаще всего эти проблемы исследуются на Изинга модели.

M.-К. м. применяют также для исследования квантовых жидкостей и кристаллов. С помощью этого метода можно решать ур-ния Шрёдингера и получать точные численные оценки для характеристик осн. состояния бозонной системы.

Важное практич. применение M.-К. м. нашёл в ядерной геофизике. Широкое использование нейтронного и гамма-каротажа при поиске полезных ископаемых делает актуальными задачи переноса излучения в многокомпонентной среде и оценки ф-ции отклика прибора с учётом реальных геологич. и техн. условий измерения. Решение этих задач основано на применении M.-К. м.

В 1980-х гг. прямое статистич. моделирование стало применяться в аэро- и гидромеханике. Типичной задачей в этой области является обтекание тела произвольной геометрии высокоскоростной струёй разреженного газа. Процесс описывается нелинейным ур-нием Больцмана, и оценки эксперим. величин (напр., распределение потоков импульса и энергии на поверхности тела) проще получаются с применением M.-К. м. Лит.: Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучений, M., 1967; Соболь И. M., Численные методы Монте-Карло, M., 1973; Ермаков С. M., Михайлов Г. А., Статистическое моделирование, 2 изд., M., 1982; Методы Монте-Карло в статистической физике, пер. с англ., M., 1982; Кpойц M., Кварки, глюоны и решетки, пер. с англ., M., 1987.

Г. Г. Тахтамышев.

Математическая энциклопедия

метод статистических испытаний,- численный метод, основанный на моделировании случайных величин и построении статистич. оценок для искомых величин. Принято считать, что М.-К. м. возник в 1949 (см. [1]), когда в связи с работами по созданию атомных реакторов Дж. Нейман (J. Neumann) и С. Улам (S. Ulam) предложили использовать аппарат теории вероятностей для решения прикладных задач с помощью ЭВМ. М.-К. м. получил свое название по имени города Монте-Карло, известного своими игорными заведениями.

Моделирование случайных величин с заданными распределениями. Как правило, такое моделирование осуществляется путем преобразования одного или нескольких независимых значений случайного числа , распределенного равномерно в интервале (0, 1). Последовательности "выборочных" значений обычно получают на ЭВМ с помощью теоретико-числовых алгоритмов, среди к-рых наибольшее распространение получил т. н. метод вычетов, напр, в таком виде:

Здесь - число разрядов мантиссы ЭВМ, а

Числа такого типа наз. псевдослучайными числами; они проверяются статистич. тестами и решением типовых задач (см. [2] - [6]). Длина периода для указанного варианта метода вычетов равна В М.-К. м. используются также физич. генераторы и таблицы случайных чисел, а также квазислучайные числа. Существуют М.-К. м. с малым числам разыгрываемых параметров (см. [7]).

Стандартный метод моделирования дискретной случайной величины с распределением состоит в следующем: полагают если для выбранного значения выполняется соотношение

Стандартный метод моделирования непрерывной случайной величины (иногда наз. методом обратной функции) состоит в использовании легко проверяемого представления:, где - функция распределения с заданной плотностью . Иногда полезна рандомизация моделирования (иначе - метод суперпозиции) на основе выражения

при этом сначала выбирают номер т с распределением а затем получают выборочное значение из распределения с плотностью . При других способах рандомизации нек-рые параметры детерминированного способа решения задачи рассматривают как случайные величины (см. [7] - [9]).

Другим общим методом моделирования непрерывной случайной величины является метод исключения (метод отбора), в основе к-рого лежит утверждение: если точка распределена равномерно в области В методе исключения выбирают точку равномерно по области и полагают , если в противном случае повторяют выбор и т. д. Напр., если и то можно полагать Среднее число операций в методе исключения пропорционально величине

Для многих случайных величин получены специальные представления вида Напр., случайные величины

имеют стандартное нормальное распределение и независимы; случайная величина имеет гамма-распределение с параметром п;случайная величина распределена с плотностью случайная величина имеет бета-распределение с параметрами р, п (см. [3] - [6]).

Стандартный алгоритм моделирования непрерывного случайного вектора состоит в последовательном выборе значений его компонент из условных распределений соответственно представлению

Метод исключения переносится на многомерный случай без изменений, надо лишь в его формулировке рассматривать как векторы. Многомерный нормальный вектор можно моделировать с помощью специального линейного преобразования вектора независимых стандартных нормальных случайных величин. Разработаны также специальные приемы приближенного моделирования стационарных гауссовских процессов (см., напр., [3], [6]).

Если в расчете по М.-К. м. моделируются случайные величины, определяемые реальным содержанием явления, то расчет представляет собой прямое моделирование (имитацию) этого явления. Разработано моделирование на ЭВМ процессов переноса, рассеяния и размножения частиц: нейтронов, гамма-квантов, фотонов, электронов и др. (см., напр., [11] - [18]); моделирование эволюции ансамблей молекул для решения различных задач классической и квантовой статистич. физики (см., напр., [10], [18]); моделирование массового обслуживания и производственных процессов (см., напр., [2], [6], [18]); моделирование различных случайных процессов в технике, гидрологии, метеорологии, геологии, химии, биологии и т. д. (см. [18]). Алгоритмы моделирования обычно тщательно обрабатывают, напр, табулируют сложные функции, изменяют стандартные процедуры и т. д. Тем не менее часто прямое моделирование не может обеспечить требуемой точности оценок искомых величин. Разработано много способов повышения эффективности моделирования.

Алгоритмы М.-К. м. для оценки многократных интегралов. Пусть необходимо оценить интеграл по мере Лебега в евклидовом s-мерном пространстве - плотность вероятности такая, что можно записать в виде мате-матич. ожидания следующим образом:

где . Моделируя на ЭВМ, можно получить Nвыборочных значений . В смысле закона больших чисел

Одновременно можно оценить среднеквадратичную погрешность , т. е. величину , и приближенно построить подходящий доверительный интервал для . Выбором плотности f можно распорядиться для получения оценки с возможно меньшей дисперсией. Напр., если то и если то . Соответствующие алгоритмы наз. существенной выборкой (выборкой по важности). Другая общая модификация - метод выделения главной части - строится в тех случаях, когда определена функция с известным значением интеграла. Иногда полезны сочетания М.-К. м. с классич. квадратурами - т. н. случайные квадратурные формулы, основная идея к-рых состоит в том, что узлы и коэффициенты какой-либо квадратурной суммы (напр., интерполяционной) выбираются случайно из распределения, обеспечивающего несмещенность получаемой оценки интеграла [3]. Частными случаями этих формул являются: т. н. метод слоистой выборки, в к-ром узлы выбираются по одному в каждой части фиксированного разбиения области интегрирования, а коэффициенты пропорциональны соответствующим объемам; так наз. метод симметричной выборки, к-рый в случае интегрирования по интервалу (0, 1) определяется выражением (см. [10])

При этом порядок скорости сходимости М.-К. м. повышается и в нек-рых случаях становится максимально возможным на рассматриваемом классе задач.

В общем случае область интегрирования разбивается на параллелепипеды. В каждом параллелепипеде значение интеграла вычисляется через среднее значение в случайной точке и точке, симметричной ей относительно центра параллелепипеда.

Ряд модификаций М.-К. м. основан на (может быть, формальном) представлении искомой величины в виде двукратного интеграла: '

где , а вектор распределен с плотностью . Известно, что и

где - условное математич. ожидание, а - условная дисперсия для фиксированного значения . Формула (1) широко используется в М.-К. м. В частности, она показывает, что т. е. аналитич. осреднение по какой-либо переменной увеличивает точность М.-К. м. Однако при этом может значительно возрасти объем вычислений. Для ЭВМ время, необходимое для достижения заданной погрешности, пропорционально величине , где t- среднее время получения одного значения . По этому критерию оптимизируется метод расщепления, простейший вариант к-рого состоит в использовании несмещенной оценки:

где - условно независимы и распределены как при фиксированном значении . С помощью (1) можно получить оптимальное значение

где - средние времена ЭВМ, соответствующие выборкам (см., напр., [4]).

Если подинтегральная функция зависит от параметра, то целесообразно использовать метод зависимых испытаний, т. е. оценивать интегралы для различных значений параметра по одним и тем же случайным узлам [20]. Важным свойством М.-К. м. является сравнительно относительно слабая зависимость среднеквадратич. погрешности от числа измерений, причем порядок сходимости по числу узлов всегда один и тот же: . Это позволяет оценивать (после предварительных преобразований задачи) интегралы очень высокой и даже бесконечной кратности. Напр., разработана методика оценки интегралов Винера [19].

Алгоритмы М.-К. м. для решений интегральных уравнений 2-го рода. Пусть необходимо оценить линейный функционал причем для интегрального оператора Кс ядром выполняется условие, обеспечивающее сходимость ряда Неймана: Цепь Маркова определяется начальной плотностью и переходной плотностью вероятность обрыва цепи в точке равна N- случайный номер последнего состояния. Далее определяется функционал от траектории цепи, математич. ожидание к-рого равно . Чаще всего используется т. Н. оценка по столкновениям

Если при и при то при нек-ром дополнительном условии

(см. [3]-[5]). Возможность достижения малой дисперсии в знакопостоянном случае показывает следующее утверждение: если

где (см. [4]). Моделируя подходящую цепь Маркова на ЭВМ, получают статистич. оценки линейных функционалов от решения интегрального уравнения 2-го рода. Это дает возможность и локальной оценки решения на основе представления: В ряде случаев при решении таких задач наряду с М.-К. м. применяются теоретико-числовые методы (см. [21] ).

М.-К. м. оценка 1-го собственного значения интегрального оператора осуществляется итерационным методом на основе соотношения [22]:

Все рассмотренные результаты почти автоматически распространяются на системы линейных алгебраич. уравнений вида (см. [23]).

Модификации М.-К. м. в теории переноса излучения (см. [11]-[17]). Для плотности среднего числа столкновений частиц в фазовом пространстве координат и скоростей справедливо интегральное уравнение 2-го рода, ядро к-рого в односкоростном случае кмеет вид

Здесь - коэффициент (сечение) рассеяния,-коэффициент ослабления, - индикатриса рассеяния,- оптич. длина пути от до (см. [3], [4]).

Для построения оценок с малой дисперсией используются, напр., асимптотич. решения сопряженного уравнения переноса [4]; простейший алгоритм такого типа представляет собой т. н. экспоненциальное преобразование (см. [4], [11]). Разработаны модификации локальной оценки потока частиц (см. [3], [4], [11] - [13], [17], [18]). С помощью моделирования одной цепи Маркова (напр.,. физич. процесса переноса в нек-рой среде) можно одновременно получать зависимые оценки функционалов для различных значений параметров; дифференцируя "веса", иногда можно строить несмещенные оценки соответствующих производных (см. [4], [12]). Это дает возможность использовать М.-К. м. при решении нек-рых обратных задач [12]. Для решения ряда задач теории переноса эффективно используется "расщепление" траекторий и аналитич. осреднение [11]. Моделирование траекторий частиц в сложных средах иногда существенно упрощается методом максимального сечения (см. [3]-[5]).

Алгоритмы М.- К. м. для решения уравнении эллиптического типа строятся на основе соответствующих интегральных соотношений. Напр., стандартная пятиточечная разностная аппроксимация для уравнения Лапласа имеет вид формулы полного математич. ожидания, соответствующей симметричному блужданию по сетке с поглощением на границе (см., напр., [2], [3]). Непрерывным аналогом этой формулы является соотношение

где интеграл берется по поверхности сферы, целиком лежащей в заданной области, с центром в точке Р. Формула (2) и другие аналогичные соотношения дают возможность использовать процесс изотропного "блуждания по сферам" для решения эллиптич. и параболич. уравнений (см. [24], [4]). М.-К. м. эффективен, напр., для оценки решения многомерной краевой задачи в одной точке.

Моделирование марковских ветвящихся процессов позволяет строить оценки решения нек-рых нелинейных уравнений, напр, уравнения Больцмана в теории разреженных газов [3].

Лит.:[1] Neumann J., "NBS Appl. Math, scries", 1951 № 12, p. 36-38; [2] Бусленко Н. П. [и др.], Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), М., 1962; [3] Ермаков С. М., Метод Монте-Карло и смежные вопросы, М., 1971; [4] Михайлов Г. А., Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло, Новосиб., 1971; [5] Соболь И. М., Численные методы Монте-Карло, М., 1973; [6] Полляк Ю. Г., Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах, М., 1971; [7] Бахвалов Н. С, в сб.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы, М., 1964, с. 5-63; [8] его же, "Ж. вычисл. матем. и матем. физики", 1961, т. 1, № 1, с. 64-77; [9] его же, "Вестник МГУ. Сер. матем., механики, астрономии, физ., хим.", 1959, Mi 4, с. 3-18; [10] Hammers-1 е у J. M., Handscomb D. С, Monte Carlo methods, L.- N. Y-, 1964; [11] Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучений, М., 1967; [12] Марчук Г. И. [и др.], Метод Монте-Карло в атмосферной оптике, Новосиб., 1976; [13] Спанье Дж.,Гелбард Э., Метод Монте-Карло и задачи переноса нейтронов, пер. с англ., М., 1972; [14]ЧавчанидзеВ. В., "Изв. АН СССР. Сер. физ.", 1955, т. 19, № 6, с. 629 - 38; [15] Прохождение излучений через неоднородности в защите, М., 1968; [16] Франк-Каменецкий А. Д., "Атомная энергия", 1964, т. 16, Mi 2, с. 119-22; [17] Kalos М. Н., "Nuclear Sci. and Eng.", 1968, v. 33, p. 284-90; [18] Методы Монте-Карло и их применения. Тезисы докл. на III Всесоюзн. конф. по методам Монте-Карло, Новосиб., 1971; [19] Гельфанд И. М., Фролов А. С, Ченцов Н. Н., "Изв. вузов. Сер. матем.", 1958, № 5, с. 32-45; [20] Фролов А. С, Ченцов Н. Н., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1962, т. 2, Ms 4, с. 714-17; [21] Коробов Н. М., Теоретикочисло-вые методы в приближенном анализе, М., 1963; [22] Владимиров В. С, "Теория вероятн. и ее примен.", 1956, т. 1, в. 1, с. 113-30; [23] Curtiss J. H., "J. Math. Phys.", 1954, v. 32, № 4, p. 209 - 32; [24] Muller M. E., "Ann. Math. Stat.", 1956, v. 27, № 3, p. 560 - 89.

Г. А. Михайлов.