Граф

I

(Graft)

Антон (18.11.1736, Винтертур,—22.6.1813, Дрезден), швейцарский живописец. Работал главным образом в Германии, с 1766 преподавал в АХ в Дрездене. Выполнил свыше 1500 живописных портретов и 322 портретные миниатюры серебряным штифтом, запечатлев, в частности, ряд выдающихся писателей, философов, учёных. Реалистические портреты Г. проникнуты духом буржуазного просветительства 18 — начале 19 вв. и отличаются простотой, отсутствием идеализации. В изображаемых людях Г. подчёркивал скромность и достоинство, естественность и непринуждённость манер.

Лит.: Berckenhagen E., Anton Graff, B., 1967.

А. Граф. Автопортрет. Около 1794. Картинная галерея. Дрезден.

(Graf)

Оскар Мария (22.7.1894, Берг, Бавария, — 28.6.1967, Нью-Йорк), немецкий писатель. Сын пекаря, Г. бежал из дома, бродяжничал. С 1915 в армии, приговорён за бунтарство к расстрелу, но был заключён в психиатрическую лечебницу. Принимал участие в революционном движении 1918—19 как член независимой социал-демократической партии. В 1933 эмигрировал, обратился к нацистскому правительству с открытым письмом-памфлетом «Сожгите меня» (1933). Первые книги Г. — сборники стихов «Революционеры» (1917), повесть «Ранняя пора» (1922, рус. пер. 1925). Роман «Мы в ловушке» (1927) автобиографичен. Одно из значительных произведений антифашистской литературы — роман Г. «Антон Зиттингер» (1937, рус. пер. 1939). Роман «Беспокойство, вызванное миротворцем» (1948) рисует быт баварской деревни. В романе «Завоевание мира» (1948) описываются страшные последствия атомной войны. Известны также пьеса «Баллада маленького городка» (1952), роман «Бегство в посредственность» (1959), сборник рассказов «Большое зеркало крестьянина» (1962).

Соч.: Das Gelächter von auβen. Aus meinem Leben, 1918—1933, Münch., 1966.

А. Л. Захаров.

(нем. Graf, лат. comes, франц. cornte, англ. earl)

в раннее средневековье в Западной Европе королевское должностное лицо (во Франкском государстве Г. обладал со 2-й половины 6 в. в своём округе—графстве судебной, административной, военной властью). Постепенно должность Г. стала наследственной. В период феодальной раздробленности — феодальный владетель, затем (с ликвидацией феодальной раздробленности) титул высшего дворянства (в качестве титула формально продолжает сохраняться в большинстве стран Европы с монархической формой правления). В России титул Г. был введён в 18 в. Петром I, отменен в 1917.

1. 1. гра́ф;
2. гра́фы;
3. гра́фа;
4. гра́фов;
5. гра́фу;
6. гра́фам;
7. гра́ф;
8. гра́фы;
9. гра́фом;
10. гра́фами;
11. гра́фе;
12. гра́фах.
13. 2. гра́ф;
14. гра́фы;
15. гра́фа;
16. гра́фов;
17. гра́фу;
18. гра́фам;
19. гра́фа;
20. гра́фов;
21. гра́фом;
22. гра́фами;
23. гра́фе;
24. гра́фах.

муж. графиня жен. наследственное дворянское достоинство, местами и доныне владетельское, но у нас только почетное: оно выше баронского и ниже княжеского. Графчик ·умалит. графенок, графеныш муж. маленький граф, дитя, шуточн. Графов, графинин, ему, ей принадлежащий. Графский, принадлежащий графу или графам вообще. Графство ср. сан или достоинство графа;

| владения его, там, где есть графы владетельные. Англия делится на графства, как на области.

ГРАФ, -а, муж. Дворянский титул выше баронского, а также лицо, имеющее этот титул.

| жен. графиня, -и, род. мн. -инь.

| прил. графский, -ая, -ое.

-а, м.

Дворянский титул в Западной Европе и дореволюционной России (средний между князем и бароном), а также лицо, носящее этот титул.

[нем. Graf]

ГРАФ, графа, муж. (нем. Graf) (дорев. н загр.). Наследственный дворянский титул, средний между князем и бароном.

|| Лицо, носящее этот титул.

I

1.

Один из высших дворянских титулов (в некоторых странах Западной Европы и в Российском государстве до 1917 г.).

2.

Лицо, имеющее такой титул.

II

Должностное лицо, наделённое судебной, административной и военной властью (в Западной Европе в эпоху раннего Средневековья).

ГРАФ (нем. Graf) - в раннем средневековье в Зап. Европе должностное лицо, представлявшее власть короля в графстве. В период феодальной раздробленности графы превратились в независимых крупных феодалов. В дальнейшем граф - дворянский титул (в России со времени Петра I до 1917). ...ГРАФ (от греч. grapho - пишу) - часть сложных слов, означающая: 1) записывающий, описывающий, изучающий, воспроизводящий что-нибудь (о человеке; напр., биограф, географ, фотограф);

2) воспроизводящий, фиксирующий, регистрирующий что-нибудь (о предмете; напр., осциллограф, барограф).

ГРАФ (Graf) Штефания (Штеффи) (родилась в 1969), немецкая теннисистка. Чемпионка мира (1987 - 90, 1993) и Олимпийских игр 1988. Победительница открытых чемпионатов Австралии (1988 - 90, 1993), Франции (1987 - 1988), США (1988 - 89, 1993), Уимблдонского турнира (1988 - 89, 1991 - 1993) в одиночном разряде; около 60 других профессиональных турниров (1986 - 93) в одиночном и парном разрядах.

ГРАФ (немецкое Graf), в раннем средневековье в Западной Европе должностное лицо, представляющее власть короля в графстве. В период феодальной раздробленности графы превратились в независимых крупных феодалов. В дальнейшем графы - дворянский титул; в России со времени Петра I.

уже у Котошихина (30). В качестве русск. титула встречается у Петра I; см. Ф. Браун, Germanica f. Sievers 715. Заимств. из нем. Graf. Более далеко по форме польск. grabia, hrabia, вопреки Смирнову (94).

муж. earl брит.;
countм. count;
(английский) earl.

graph матем.

m.graph, network

графGraf

граф м Graf m 2c

м

Graf m

м.

comte m

I м.

conde m

grafo m

коне́чный (бесконе́чный) граф — grafo finito (infinito)

топологи́ческий граф — grafo topológico

м.

conte

ГРАФ -а; м. [нем. Graf] Дворянский титул выше баронского; лицо, носящее этот титул.

◁ Графи́ня, -и; -и́нь; ж. Гра́фский, -ая, -ое. Г. титул. Г-ие земли.

* * *

(нем. Graf), в раннее средневековье в Западной Европе должностное лицо, представляющее власть короля в графстве. В период феодальной раздробленности графы превратились в независимых крупных феодалов. В дальнейшем граф — дворянский титул (в России со времени Петра I до 1917).

(от греч.grapho — пишу) — (в математике) система точек, некоторые из которых соединены отрезками; одна из простейших математических моделей взаимодействующих систем.

(лат. comes, нем. Graf, франц. comte) - в раннее средневековье в Зап. Европе королев. должностное лицо, в период феод. раздробленности - феод. владетель, затем дворянский титул. Во Франкском гос-ве Г. обладал в своем округе (графстве) суд., адм., воен. и фискальной властью. Первоначально должность Г. занимали королев. слуги, с 7 в. Г. стали назначаться королем из среды крупных землевладельцев данного округа. В процессе феодализации должность Г.стала наследственной (для Зап.-Франкского королевства закреплено Керсийским капитулярием 877). К 10 в. во Франции Г. стали независимыми феод. магнатами. В Германии, где процесс феодализации шел медленнее, Г. лишь в 11 в. превратились из должностных лиц в феод. владетелей, в своем большинстве подчиненных крупным князьям. В Англии должностные лица короля в графствах - шерифы (соответствовали первоначально Г. континента), не приобрели самостоятельности вследствие наличия здесь сильной центр. власти. С ликвидацией феод. раздробленности звание Г. становится дворянским титулом. Титул Г. существуете странах с монархич. образом правления; во Франции и Италии сохранился неофициально в аристократич. кругах. В России почетный дворянский титул Г. был введен Петром I и просуществовал до 1917.

Лит.: Колесницкий Н. P., Исследование, по истории феод. гос-ва в Германии (IX - первая пол. XII в.), М., 1959; Wagner G., Comitate im Karolingischen Reich, Duderstadt, 1952.

- множество Vвершин и набор Енеупорядоченных и упорядоченных пар вершин; обозначается Г. через . Неупорядоченная пара вершин наз. ребром, упорядоченная пара - дугой. Г., содержащий только ребра, наз. неориентированным; Г., содержащий только дуги,- ориентированным. Пара вершин может соединяться двумя или более ребрами (дугами одного направления), такие ребра (дуги) наз. кратными. Дуга (или ребро) может начинаться и кончаться в одной и той же вершине, такая дуга (ребро) наз. петлей. (Иногда под Г. понимают Г. без петель и кратных ребер; тогда Г., в к-ром допускаются кратные ребра, наз. мультиграфом, а Г., в к-ром допускаются кратные ребра и петли, наз. псевдографом.)

Вершины, соединенные ребром или дугой, наз. смежными. Ребра, имеющие общую вершину, также наз. смежными. Ребро (дуга) и любая из его двух вершин наз. инцидентными. Говорят, что ребро соединяет вершины и , а дуга начинается в вершине ин кончается в вершине v.

Каждый Г. можно представить в евклидовом пространстве множеством точек, соответствующих вершинам, к-рые соединены линиями, соответствующими ребрам (или дугам) Г. В трехмерном пространстве любой Г. можно представить таким образом, что линии, соответствующие ребрам (дугам), не пересекаются во внутренних точках.

Существуют различные способы задания Г. Пусть - вершины графа - его ребра. Матрицей смежности, соответствующей графу G, наз. матрица у к-рой элемент равен числу ребер (дуг), соединяющих вершины и (идущих из в ), и , если соответствующие вершины не смежны. В матрице инцидентности графа Gэлемент , если вершина инцидентна ребру , и , если вершина и ребро не инцидентны. Г. можно задать посредством списков, напр., указанием пар вершин, соединенных ребрами (дугами), или заданием для каждой вершины множества смежных с ней вершин. Два графа и наз. изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между множествами вершин V, W и множествами ребер сохраняющее отношение инцидентности (см. также Графов изоморфизм).

Подграфом графа наз. Г. с множеством вершин и множеством ребер (дуг) каждое из к-рых инцидентно только вершинам из . Подграфом порожденным подмножеством , наз. Г. с множеством вершин и набором ребер (дуг) , состоящим из всех ребер (дуг) графа G, к-рые соединяют вершины из .Остовный подграф содержит все вершины графа Gи нек-рый поднабор его ребер (дуг) Последовательность ребер наз. маршрутом, соединяющим вершины и . Маршрут замкнут, если . Маршрут наз. цепью, если все его ребра различны, и простой цепью, если все его вершины различны. Замкнутая (простая) цепь наз. (простым) циклом. Г. наз. связным, если любая пара его вершин соединена маршрутом. Максимальный связный подграф графа Gназ. компонентой связности. Несвязный Г. имеет по крайней мере две компоненты связности (см. также Графа связность).

Длина маршрута (цепи, простой цепи) равна количеству ребер в порядке их прохождения. Длина кратчайшей простой цепи, соединяющей вершины и в графе G, наз. расстоянием между и . В связном неориентированном Г. расстояние удовлетворяет аксиомам метрики. Диаметр Г.- это его наибольшее расстояние. Величина

наз. радиусом, а вершина , для к-рой

принимает наименьшее значение, наз. центром графа G. В Г. может быть много центров и ни одного.

Степенью вершины графа , обозначаемой di, наз. число ребер, инцидентных этой вершине. Если граф G (без петель) имеет пвершин и требер, то

Вершина наз. изолированной, если , и концевой, если . Г., у к-рого все вершины имеют одинаковые степени (равные k), наз. регулярным (степени k). В полном Г. нет петель и каждая пара вершин соединена в точности одним ребром. Для графа не имеющего петель и кратных ребер, дополнительным Г. к Gназ. граф , у к-рого и вершины смежны в только в том случае, когда они не смежны в G. Т., дополнительный к полному, состоит из изолированных вершин и наз. пустым. Многие характеристики для графа Gи его дополнения оказываются зависимыми. В ориентированном графе Gдля каждой вершины определяются полустепень исхода и полустепень захода как количества дуг, выходящих из этой вершины и входящих в нее соответственно. Полный ориентированный Г. наз. турниром.

Каждому графу G можно отнести ряд Г., являющихся производными от G. Так, реберным графом L (G) графа Gназ. Г., вершины к-рого соответствуют ребрам графа G и две вершины смежны в L(G) в том н только в том случае, когда соответствующие им ребра графа G смежны. В тотальном графе Т(G) графа G вершины соответствуют элементам графа G, т. е. вершинам и ребрам, и две вершины в Т(G).смежны тогда и только тогда, когда соответствующие элементы в G смежны или инцидентны. Многие свойства графа G переносятся на графы L(G).и T(G). Известно много обобщений понятия "Г."; одними из них являются понятия гиперграфа и сети.

С помощью различных операций можно строить Г. из более простых, переходить от одного Г. к более простому, разбивать Г. на более простые, в заданном классе Г. переходить от одного Г. к другому п т. д. Наиболее употребительными одноместными операциями являются: удаление ребра (вершины ребра сохраняются), добавление ребра между двумя вершинами Г., удаление вершины вместе с инцидентными ей ребрами (Г., полученный в результате удаления вершины из графа , часто обозначают ), добавление вершины (к-рую можно соединить ребрами с нек-рыми вершинами Г.), стягивание ребра - отождествление пары смежных вершин, т. е. удаление пары смежных вершин и добавление новой вершины, смежной с теми вершинами Г., к-рые были смежны хотя бы с одной из удаленных вершин; подразбиение ребра- удаление ребра и добавление новой вершины, к-рая соединяется ребром с каждой вершиной удаленного ребра. В ряде задач теории Г. используются двуместные операции над Г. Пусть _и -Г. такие, что и Объединением графов и наз. граф " с множеством вершин и множеством ребер Произведением графов наз. граф множеством вершин к-рого являются элементы декартова произведения причем две из этих вершин () и () смежны в том и только в том случае, если либо и вершина смежна с вершиной , либо и вершина смежна с вершиной Напр., любой Г. является объединением своих компонент связности; Г., известный как n-мерный единичный куб , может быть определен рекуррентно с помощью операции произведения:

где -граф, состоящий из пары вершин, соединенных одним ребром. Эти операции можно определить также для пересекающихся Г., в частности для подграфов одного Г. Сложением по модулю 2 графов наз. граф G с множеством вершин и множеством ребер .

Употребляются и другие многоместные операции над Г. Для некоторых классов Г. удается найти простые операции, позволяющие с помощью много кратного их применения перейти от любого Г. изучаемого класса к любому другому Г. этого класса. На рис. 1 приведена операция, с помощью к-рой в классе Г. с одинаковым набором степеней можно перейти от одного произвольного Г. к любому другому; на рис. 2 показана операция, позволяющая в классе плоских триангуляции (см. Граф плоский).с одинаковым числом вершин перейти от произвольной триангуляции к любой другой. Для описания и изучения нек-рых классов Г. отыскиваются такие операции и множества Г., из к-рых с помощью данных операций можно получить любой Г. заданного класса. Операции над Г. используются также для построения Г. с заданными свойствами, при вычислении графов числовых характеристик и т. д.

Понятие "Г." используется в определении таких ма-тематич. понятии, как управляющая система, в нек-рых определениях алгоритма, грамматики и др. Изложение ряда математич. теорий становится более наглядным при использовании геометрич. представления Г., напр. теории марковских цепей. Понятие "Г." широко используется при создании п описании различных математич. моделей в экономике, биологии и т. д.

Лит.:[1] Берж К., Теория графов и ее применения пер. с франц., М., 1962; [2] Оре О., Теория графов, пер. с англ., M., 1968 [3] Зыков А. А..Теория конечных графов, [в. 1], Новосибирск., 1969; [4] Харари Ф., Теория графов, пер. с англ., М., 1973.

graph матем.

* * *

graph

задава́ть граф (напр. вершинами и рёбрами) — specify a graph (with, e. g. vertexes and edges )

стро́ить граф — construct a graph

альтерни́рующий граф — alternating graph

бесконе́чный граф — infinite graph

бихромати́ческий граф — bichromatic graph

вы́рожденный граф — singular graph

двусвя́зный граф — doubly connected graph

двухме́рный граф — two-dimensional graph

древови́дный граф — tree graph

коне́чный граф — finite graph

напра́вленный граф — directed graph

ориенти́рованный граф — oriented graph

плана́рный граф — flat [planar] graph

пло́ский граф — flat [planar] graph

по́лный граф — complete graph

свя́зный граф — connected graph

граф сигна́ла — signal-flow graph

сингуля́рный граф — singular graph

соста́вленный граф — superposed graph

граф состоя́ния — state graph

цикли́ческий граф — cyclic graph

* * *

graph

м. матем.

grafo m (lineare)

- бесконечный граф

- стохастический граф

матем.

граф

- абстрактный граф

- экстремальный граф

матем.

граф

- абстрактный граф

- экстремальный граф

матем. граф

(от греч. пишу), часть сложных слов, означающая: 1) записывающий, описывающий, изучающий, воспроизводящий что-нибудь (о человеке; напр., географ, фотограф); 2) воспроизводящий, фиксирующий, регистрирующий что-нибудь (о приборе; напр., осциллограф, барограф).

(от греч. grapho - пишу) - англ. graph; нем. Graph. Одна из простейших матем. моделей взаимодействующих систем. см. ТЕОРИЯ ГРАФОВ.

(от греч. grapho - пишу) - англ. graph; нем. Graph. Одна из простейших матем. моделей взаимодействующих систем. См. ТЕОРИЯ ГРАФОВ.