Лежандра преобразование

Большая Советская энциклопедия

частный случай прикосновения преобразований (См. Прикосновения преобразования); имеет вид:

Х = у'(х), Y(X)= xy'(x)— y(x), Y'(X)= x. Из этих формул вытекает, что и обратно x = Y'(X), y(x)= XY'(X)-Y(X), у'(х)=Х. Таким образом, Л. п. двойственно самому себе. Л. п. переводит дифференциальное уравнение первого порядка

F(x, y, y') = 0 (1)

в уравнение

F(Y', XY'-Y, x) = 0, (2)

которое иногда интегрируется проще исходного. Зная решение уравнения (2), можно получить решение уравнения (1). Л. п. употребляется также при рассмотрении дифференциальных уравнений гидродинамики. Л. п. получило своё название по имени А. Лежандра, впервые изучившего его (1789).

Физическая энциклопедия

ЛЕЖАНДРА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ: - преобразование ф-ции f(x), x=(x₁,..., х _п), в новую ф-цию

где х(р )находят из системы уравнений Эти ур-ния разрешимы, т. е. Л. п. существует, если det Л. п. инволютивно: применённое повторно к оно даёт Введено А. Лежандром (A. Legendre) в 1789.

Геом. смысл Л. п. состоит в переходе от описания поверхности (в n+l-мерном пространстве) как геом. места точек (x, у), таких, что у- к описанию её как огибающей n -параметрич. семейства касательных плоскостей у=рх-( р) (р - параметры семейства). Используется в классич. механике (переход от ф-ции Лагранжа к ф-ции Гамильтона), термодинамике (преобразование термодинамич. потенциалов) и др. разделах физики.

Лит.: Кубо Р., Термодинамика, пер. с англ., М., 1970; Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., М., 1979. Ю. А. Данилов.

Математическая энциклопедия

1) Преобразование математич. анализа, осуществляющее двойственность между объектами в дуальных пространствах (наряду с проективной двойственностью в аналитич. еометрии и полярной двойственностью в выпуклой геометрии). Пусть - гладкая функция, рассматриваемая на открытом множестве Анормированного пространства Xи обладающая тем свойством, что отображение (здесь f'(х) - Фреше производная f) взаимно однозначно отображает Ана множество Тогда Л. п. f - это функция на В, определенная формулой

В случае, если f - функция на и при этом определитель det отличен от нуля в области А, Л. п. задается формулами

здесь

Преобразование встречается еще у Г. Лейбница (G. Leibnitz), в общем виде определено А. Лежандром (A. Legendre, 1789), хотя ранее рассматривалось также Л. Эйлером (L. Euler, 1776).

В случае, если f - конечномерная функция, являющаяся гладкой, строго выпуклой и растущей на бесконечности быстрее линейной функции, то Л. п. можно определить так:

Выражение (2) с заменой шах на sup было положено (см. [2]) в основу теории двойственности выпуклых функций (см. Сопряженная функция).Примеры. Л. п. функции

одного переменного будет функция

Л. п. функции ( х, х)/2 в гильбертовом пространстве Xсо скалярным произведением (Х, Х) будет функция

(y, y)/2.

Л. п., основанное на замене переменных является частным случаем прикосновения преобразования;сущность Л. п. заключается в возможности двойственного описания поверхности в пространстве - как множества точек ( х, f(x)).и как огибающей семейства ее касательных плоскостей, задаваемых парой состоящей из линейного функционала х* и аффинной касательной функции

Л. п. играет важную роль в анализе, особенно в выпуклом анализе (см. [1], [2], [4]), в теории дифференциальных уравнений, в вариационном исчислении (см. [6]), в классич. механике, термодинамике, теории упругости и других разделах математич. физики. Так, применение Л. п. к решению удифференциального уравнения F(x, у, y')=0 переводит его в решение Yуравнения F(Y, XY'-Y, X), где Х=у' (х), Y (Х)= у*(X), к-рое иногда интегрируется проще исходного. Применение Л. п. к лагранжиану задачи классического вариационного исчисления переводит его в Гамильтона функцию. При этом система уравнений Эйлера (в вариационном исчислении) и уравнения Лагранжа (в классич. механике) переходят в эквивалентную систему канонич. уравнений. В термодинамике Л. п. осуществляет переход от одних функций состояния к другим, напр. от удельного объема и энтропии к температуре. и давлению.

Лит.:[1] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, М., 1970; [2] Г у р с а Э., Курс математического анализа, пер. с франц., 3 изд., т. 1, М.- Л., 1936; [3] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М., 1974; [4] Р о к а ф е л л а р Р., Выпуклый анализ, пер. с англ., М., 1973; [5] F е n с h е l W., "Canad. J. Math.", 1949, v. 1, p. 73-77; [6] Caratheodory C., Variations rechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, Lpz.- В., 1935. В. М. Тихомиров.

2) Интегральное преобразование вида

где Р _п (х) - Лежандра многочлен порядка п. Формула обращения имеет вид

если ряд сходится. Л. п. сводит дифференциальную операцию

к алгебраической по формуле

Для Л. п. имеет место теорема о свертке: если

Е(х) - внутренность эллипса Л. п. является частным случаем Якоби преобразования.

Лит.:[1] Tranter С. J., "Quart. J. Math.", 1950, v. 1,

p. 1-8; [2] Итоги науки. Математический анализ, 1966, М,

1967, с. 7-82. Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.