Равномерная непрерывность

важное понятие математического анализа. Функция f(x) называется равномерно-непрерывной на данном множестве, если для всякого ε > 0 можно найти такое δ = δ(ε) > 0, что |f(x₁) — f(x₂)|x₁ и x₂ из данного множества, удовлетворяющей условию |x₁—x₂|Непрерывная функция).Например, функция f(x) =x² равномерно непрерывна на отрезке [0, 1]: если x₁ ≤ 1, 0 ≤ x₂ ≤ 1 обязательно |x₁ + x₂|≤ 2). Вообще функция, непрерывная в каждой точке отрезка [а, b], равномерно непрерывна на этом отрезке (теорема Кантора). Для интервала эта теорема может не иметь места.

Так, например, функция непрерывна в каждой точке интервала 0 <>x 0 (δ x₁ — x₂| x₁ = и x₂ =δ, для которых

uniform continuity

uniform continuity

свойство функции (отображения) , где Xи Y - метрич. пространства, означающее, что для любого e>0 существует такое d>0, что для всех , удовлетворяющих условию r(x₁, x₂)<d выполняется неравенство r(f(x₁), f(x₂))<e.

Если отображение непрерывно на Xи X - компакт, то f равномерно непрерывно на X. Композиция равномерно непрерывных отображений равномерно непрерывна.

Р. н. отображений встречается и в теории топологич. групп. Напр., отображение , где и Y - топологич. группы, наз. равномерно непрерывным, если для любой окрестности U_y единицы группы Yсуществует такая окрестность V _х единицы группы X, что для любых элементов , , удовлетворяющих условию (соответственно U _у), выполняется включение f(x₁)[f(x₂)]^-1 U_y (соответственно [f(x₁)]^-1f(x₂) u_y).

Понятие Р. н. обобщается на отображения равномерных пространств.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [2] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [3] Келли Д ж. Д., Общая топология, 2 изд., пер. с англ., М., 1981; [4] Бурбаки Н., Общая топология, пер. с франц., М., 1968. Л. Д. Кудрявцев.

uniform continuity

* * *

uniform continuity

continuità uniforme

рівномі́рна непере́рвність

рівномі́рна непере́рвність