Якобиан

функциональный определитель ∣a_ik∣₁ⁿ с элементами y_i = f_i (X₁,...,X_n), l ≤ i ≤n, — функции, имеющие непрерывные частные производные в некоторой области А; обозначение:

.

Введён К. Якоби (1833, 1841). Если, например, n = 2, то система функций

y₁ = f₁ (. x₁, x₂),y₂ = f₂(x₁,x₂) (1)

задаёт отображение области Δ, лежащей на плоскости x₁,x₂, на часть плоскости y₁, y₂. Роль Я. для этого отображения во многом аналогична роли производной для функции одной переменной. Например, абсолютное значение Я. в некоторой точке М равно коэффициенту искажения площадей в этой точке (т. е. пределу отношения площади образа окрестности точки Мк площади самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю). Я. в точке М положителен, если отображение (1) не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае. Если Я. не обращается в нуль в области Δ и φ (y₁,у₂)— функция, заданная в области Δ₁ (образе Δ), то

(формула замены переменных в двойном интеграле). Аналогичная формула имеет место для кратных интегралов (См. Кратный интеграл). Если Я. отображения (1) не обращается в нуль в области Д, то существует обратное отображение

x₁ = φ₁(y₁,y₂),x₁ = φ₂(y₁, y₂),

причём

(аналог формулы дифференцирования обратной функции). Это утверждение находит многочисленные применения в теории неявных функций (См. Неявные функции). Для возможности явного выражения в окрестности точки М (x₁⁽⁰⁾,..., x_n ⁽⁰, y₁⁽⁰⁾,..., y_m ⁽⁰⁾) функций y₁,..., у_т, неявно заданных уравнениями F_k (x₁,..., x_n, y₁,..., у_м) = 0, (2)

1 ≤ k ≤ m,

достаточно, чтобы координаты точки Мудовлетворяли уравнениям (2), функции Fk имели непрерывные частные производные и Я.

был отличен от нуля в точке М.

Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

functional determinant, Jacobian, Jackobian

m.Jacobian

ЯКОБИАН

(определитель Якоби) - функциональный определитель спец. вида, составленный из частных производных 1-го порядка. Пусть заданы т ф-ций

i=1, 2,...,m, имеющих частные производные 1-го порядка по переменным t₁, t₂,..., t_m, тогда Я. этих ф-ций называют определитель вида

кратко обозначаемый символом

Модуль Я. характеризует растяжение (сжатие) элементарного объёма при переходе от переменных х₁, х₂,...,х _т к переменным t₁, t₂,...,t_m. Назван по имени К. Якоби (С. Jacobi), впервые изучившего его свойства и применение.

Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1 - 2, М., 1973; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 4 изд., ч. 1-2, М., 1980-82; Никольский С. М., Курс математического анализа, 4 изд., т. 2, М., 1991. В. А. Ильин.