Полная система функций

такая система функций Ф = {φ(x:)}, определённых на отрезке [a, b], что не существует функции f(x), для которой, х) из Ф, т. е. для которой

при любой функции φ(х) из Ф (интегралы понимаются в смысле Лебега, см. Интеграл). Система функций может быть полной на одном отрезке и не быть полной на другом. Например, 1, sinx,cosх,..., sinnx,cosnx,... образуют П. с. ф. на отрезке [0, 2π], но не образуют П. с. ф. на отрезке [—2π, 2π]; последнее вытекает из того, что

для любой функции φ(x) рассматриваемой системы. Для того чтобы система функций с интегрируемым квадратом была П. с. ф., необходимо и достаточно, чтобы любую функцию с интегрируемым квадратом на отрезке [а, b] можно было с любой степенью точности приблизить в среднем линейными комбинациями функций из этой системы. См. Ортогональная система функций.

ортонормированная система функций {j(х)}нек-рого гильбертова пространства Нтакая, что в H не существует функции, ортогональной всем функциям данного семейства. Система функций, полная в одном пространстве, может оказаться неполной в другом. Напр., система

, n=0, 1,..., образует П. с. ф. в пространстве L[0, p], но не образует П. с. ф. в пространстве L[-p, p]. Е. Д. Соломенцев.