Магический квадрат

квадрат, разделённый на равное число n столбцов и строк, со вписанными в полученные клетки первыми n² натуральными числами, которые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и двум большим диагоналям одно и то же число [равное, как легко доказать, n, начиная сn = 3. На рис. приведены М. к. для n = 3и n = 4. Существуют М. к., удовлетворяющие ряду дополнительных условий, например М. к. с 64 клетками (см. рис.), который можно разбить на 4 меньших, содержащих по 16 клеток квадрата, причём в каждом из них сумма чисел любой строки, столбца или большой диагонали одна и та же (= 130). В Индии и некоторых других странах М. к. употребляли в качестве талисманов. Составление М. к. — классический образец математических развлечений и головоломок.

----------------------

| 2   | 7   | 6    |

|---------------------|

| 9   | 5   | 1    |

|---------------------|

| 4   | 3   | 8    |

----------------------

----------------------------------

| 1    | 15   | 14   | 4     |

|---------------------------------|

| 12   | 6    | 7    | 9     |

|---------------------------------|

| 8    | 10   | 11   | 5     |

|---------------------------------|

| 13   | 3    | 2    | 16   |

----------------------------------

--------------------------------------------------------------------

| 1    | 6    | 60   | 63   | 9    | 55   | 54   | 12   |

|------------------------------------------------------------------|

| 59   | 64   | 2    | 5    | 52   | 14   | 15   | 49   |

|------------------------------------------------------------------|

| 62   | 57   | 7    | 4    | 16   | 50   | 51   | 13   |

|------------------------------------------------------------------|

| 8    | 3    | 61   | 58   | 53   | 11   | 10   | 56   |

|------------------------------------------------------------------|

| 41   | 19   | 22   | 48   | 28   | 29   | 33   | 40   |

|------------------------------------------------------------------|

| 46   | 24   | 17   | 43   | 39   | 34   | 30   | 27   |

|------------------------------------------------------------------|

| 20   | 42   | 47   | 21   | 38   | 35   | 31   | 26   |

|------------------------------------------------------------------|

| 23   | 45   | 44   | 18   | 25   | 32   | 36   | 37   |

--------------------------------------------------------------------

Лит.: Постников М. М., Магические квадраты, М., 1964.

МАГИЧЕСКИЙ квадрат - квадрат, разделенный на равное число n столбцов и строк, со вписанными в полученные клетки первыми n2 натуральными числами, которые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и двум большим диагоналям одно и то же число.

magic square, magical square

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная МАТРИЦА, разделенная на клетки и заполненная числами или буквами определенным образом, фиксирующим особую магическую ситуацию. Самый распространенный квадрат с буквами - это SATOR, составленный из слов SATOR, AREPO, TENET, OPERA и ROTAS. Расположенные и вертикально, и горизонтально, эти слова читаются одинаково и образуют в середине крест, который читается TENET. В арифметических магических квадратах числа в основном расположены так, что каждый ряд, каждая колонка и две главных диагонали имеют одинаковую сумму.

квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу. Магический квадрат - древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А. Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

Рис. 1. ЛО-ШУ.

Рис. 2. КВАДРАТ ДЮРЕРА.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления. Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2. Доказано, что n і 3. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка - S = 34, 5-го порядка - S = 65. Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рис. 3). Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b на рис. 3.

Рис. 3. ЛОМАНАЯ ДИАГОНАЛЬ И КОСОСИММЕТРИЧНЫЕ КЛЕТКИ.

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мы рассмотрим ниже. Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера. Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Рис. 4. МЕТОД ДЕ ЛА ЛУБЕРА.

Метод Ф. де ла Ира (1640-1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5,в) образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.

Рис. 5. МЕТОД ДЕ ЛА ИРА.

Если известен способ построения квадратов порядка m и порядка n, то можно построить квадрат порядка mґn. Суть этого способа показана на рис. 6. Здесь m = 3 и n = 3. Более крупный квадрат 3-го порядка (с числами, помеченными штрихами) строится методом де ла Лубера. В клетку с числом 1ў (центральную клетку верхнего ряда) вписывается квадрат 3-го порядка из чисел от 1 до 9, также построенный методом де ла Лубера. В клетку с числом 2ў (правую в нижней строке) вписывается квадрат 3-го порядка с числами от 10 до 18; в клетку с числом 3ў - квадрат из чисел от 19 до 27 и т.д. В результате мы получим квадрат 9-го порядка. Такие квадраты называются составными.

Рис. 6. СОСТАВНОЙ КВАДРАТ.

маги́ческий квадра́т

квадрат, разделённый на равное число n столбцов и строк, со вписанными в полученные клетки первыми n² натуральными числами, которые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и двум большим диагоналям одно и то же число. На рисунке — пример магического квадрата с n = 3.

* * *

МАГИ́ЧЕСКИЙ КВАДРА́Т, квадрат, разделенный на равное число n столбцов и строк, со вписанными в полученные клетки первыми n² натуральными числами, которые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и двум большим диагоналям одно и то же число.

- квадратная -таблица целых чисел от 1 до n², удовлетворяющая следующим условиям:

где s=n(n²+1)/2. Рассматриваются также более общие М. к., в к-рых не требуется, чтобы

Любое число а,однозначно характеризуется парой вычетов (a, b)по модулю п(цифрами по основанию пчисла а-1), т. е. точкой двумерного пространства над кольцом вычетов по модулю п. Поскольку координаты (i, j) клеток квадрата также можно считать элементами пространства отсюда следует, что любое распределение чисел от 1 до n² в квадратную -таблицу задается нек-рым отображением

т. е. парой функций от Задача состоит в исследовании таких пар, дающих М. к. В общем виде это сделано (см. [1]) только при дополнительном предположении линейности функций a и b. Оказалось, в частности, что М. к. с линейными функциями a и b существуют только при нечетных п.

Уже в средние века был известен ряд алгоритмов построения М. к. нечетного порядка п. Каждый такой алгоритм характеризуется шестью вычетами и описывается следующими правилами: 1) число 1 вписывается в клетку (i₀, j₀); 2) если число авписана в клетку (i, j), то число a+1 вписывается в клетку (i+p, j+q), если эта клетка еще свободна от чисел, и в клетку если клетка (i+p, j+q) занята.

Вычеты не могут быть произвольны, но должны удовлетворять определенным условиям, обеспечивающим не только выполнение условий (*), но и выполнимость алгоритма, т. е. пустоту клетки если занята клетка (i+p, j+q). Эти условия легко находятся (см. [1] с. 41), причем оказывается, что М. к. тогда и только тогда может быть построен алгоритмом такого вида, когда описывающие этот квадрат функции а, Р линейны.

Известно много других алгоритмов построения М. к. (приводящих к квадратам с нелинейными функциями а, Р), но никакой общей их теории нет (1982). Неизвестно даже общее число М. к. порядка n(при для n=3 существует, с точностью до очевидных симметрии, только один М. к., а для n=4 число М. к. равно 880).

Исследовались также М. к., обладающие дополнительными свойствами симметрии, Лишь опять в очень специальных ситуациях (напр., при см. [2]). Лит.:[1] П о с т н и к о в М. М., Магические квадраты, М., 1964; [2] Г у р е в и ч Е. Я., Тайна древнего талисмана, М., 1969. М. М. Постников.

матем. quadrato magico

магі́чний квадра́т

магі́чний квадра́т

квадрат, разделённый на равное число п столбцов и строк, со вписанными в полученные клетки натуральными числами от 1 до п², к-рые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и двум большим диагоналям одно и то же число. На рис.- пример М. к. с п = 3.