Электродинамика движущихся сред

раздел электродинамики, в котором изучаются электромагнитные явления, в частности законы распространения электромагнитных волн (См. Электромагнитные волны), в движущихся средах. Э. д. с. включает также оптику движущихся сред, в которой исследуется распространение света в движущихся средах. Хотя экспериментальный материал накапливался в течение нескольких столетий, полное его объяснение стало возможным только после появления теории относительности.

18 и 19 вв. ознаменовались бурным развитием ньютоновской механики. На её основе были объяснены не только механическое движение тел и динамика сплошных сред, но и, казалось бы, не связанные с механикой тепловые явления. У подавляющего большинства физиков возникла уверенность, что все явления в природе могут быть объяснены действием законов классической механики. Это нашло свое выражение и в подходе к электромагнитным явлениям. Опыты по интерференции света (См. Интерференция света) с неопровержимостью указывали на то, что свет имеет волновую природу. Но из механики было известно, что для распространения волны необходима упругая среда. Поэтому считалось, что и для распространения световых волн также нужна упругая среда. Колебания этой светоносной среды, названной эфиром, и связывались со световыми волнами. Т. к. было известно, что свет распространяется и в пустоте, приходилось считать, что пустота тоже заполнена световым эфиром. Эфир наделялся весьма необычными свойствами: с одной стороны, он должен был обладать очень большой упругостью (поскольку скорость распространения волн тем больше, чем больше упругость среды, а скорость световых волн очень велика), с другой — не должен оказывать никакого механического сопротивления движущимся сквозь него телам (поскольку все тела движутся в пустоте без сопротивления).

Попытка объяснения электромагнитных явлений с помощью теории эфира неизбежно приводила к вопросу о том, как протекают электромагнитные явления в теле, движущемся через эфир. Основные теории, созданные в конце 19 в. для описания оптических явлений в движущейся классической среде (теории Г. Герца и Х. Лоренца), базировались на представлении об эфире. Однако они противоречили некоторым известным к тому времени опытам.

Создание непротиворечивой Э. д. с. стало возможным лишь после появления специальной теории относительности А. Эйнштейна (1905), которая устранила эфир как светоносную среду и как преимуществ. систему отсчёта. Понятия «покоящаяся» и «движущаяся» среды потеряли свой абсолютный характер и стали определяться только выбором системы отсчёта (и связанным с ней «наблюдателем»).

В 1908 Г. Минковский показал, что Максвелла уравнения для покоящихся сред в сочетании с принципом относительности Эйнштейна (см. Относительности принцип) однозначно определяют электромагнитное поле в движущейся среде. Эти же уравнения могут быть получены и другим путём — усреднением микроскопических уравнений электронной теории Лоренца (см. Лоренца - Максвелла уравнения)с учётом того, что у всех частиц среды имеется скорость упорядоченного движения.

Уравнения для полей в движущейся среде совпадают с уравнениями Максвелла в покоящейся среде:

D = 4πρ; (1)

B = 0

Здесь Е и Н— векторы напряжённостей электрического и магнитного полей, D и В— электрическая и магнитная индукции, ρ и j — плотности внешних зарядов и токов.

Эта система уравнений должна быть дополнена т. н. материальными уравнениями, связывающими напряжённости полей с индукциями. В покоящейся среде материальные уравнения имеют вид: D = εЕ, В =μН (1a), где ε и μ — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Из вида этих соотношений в покоящейся среде однозначно следует их вид в среде, движущейся со скоростью υ:

(2)

(квадратные скобки обозначают векторное произведение). Это т. н. материальные уравнения Минковского; при υ= 0они переходят в уравнения (1a). Материальные уравнения (2), вытекающие из принципа относительности, в сочетании с уравнениями Максвелла (1) удовлетворительно объясняют результаты всех экспериментов по изучению электромагнитных явлений в движущихся средах. Ниже рассмотрены некоторые из следствий теории Э. д. с.

Распространение электромагнитных волн в движущейся среде. Пусть в среде, движущейся со скоростью υ, распространяется электромагнитная волна

Е=Eoei^(kr-ωt), (3)

H=H_oe^{i (kr-ωt)}.

Здесь E_o и Н_о— амплитуды электрического и магнитного полей, k — волновой вектор, ω — круговая частота волны, r, t — координата и время. Из уравнений (1) — (3) вытекает, что волновой вектор и частота в движущейся среде связаны соотношением

При υ = 0 (для покоящейся среды) получаем k²=εμω²/c². В соотношение (4) входит угол ϑ между направлением распространения волны (вектором k) и скоростью υ (kυ= kυcos ϑ); поэтому условия распространения волны для разных направлений различны. При малых υ, ограничиваясь величинами первого порядка по υ/c, из (4) можно получить выражение для фазовой скорости υ фаз волны, распространяющейся под углом ϑ к скорости среды:

(5)

направление фазовой скорости совпадает с направлением волнового вектора k.Эта формула была подтверждена в Физо опыте. Из (5), в частности, видно, что скорость света в движущейся среде не равна сумме скоростей света в неподвижной среде и самой среды.

Поляризация волны, т. е. направления векторов E₀ и H₀, зависит от скорости среды: вектор E₀ перпендикулярен не k,как в покоящейся среде, а вектору

(6)

представляющему собой линейную комбинацию скорости среды и волнового вектора; вектор H₀ не перпендикулярен k и E₀.

До сих пор предполагалось, что среда перемещается как целое равномерно и прямолинейно. Если скорость среды зависит от координат и времени, например если среда вращается, то методы специальной теории относительности становятся недостаточными для определения электромагнитного поля в этом случае. Вид уравнений поля может быть получен с помощью общей теории относительности (См. Общая теория относительности).(При малых угловых скоростях вращения применима специальная теория относительности.)

Отражение и преломление света на движущихся границах раздела. Если электромагнитная волна падает на движущуюся границу раздела двух сред, то, как и в случае покоящейся границы, волна частично отражается, а частично проходит через границу. Однако движение границы приводит к ряду новых физических эффектов. Так, оказывается, что угол падения не равен углу отражения, а частоты всех трёх волн — падающей, отражённой и преломленной — различны. Имеются и другие отличия: например, при некоторых скоростях границы может отсутствовать отражённая волна, но зато имеются две преломленные с разными частотами.

Рассмотрим простейший пример — отражение света от движущегося в пустоте зеркала (Эйнштейн, 1905). В этом случае прошедшая волна отсутствует, имеются лишь падающая и отражённая волны (рис. 1). Если скорость υ зеркала направлена по нормали к его плоскости, а волна падает на зеркало под углом α₁ к нормали, то угол отражения α₂ след. образом выражается через угол падения:

где β = υ/c (предполагается, что зеркало движется навстречу падающей волне). При β = 0 (зеркало покоится) получим cos α₁ = cos α₂, т. е. равенство углов падения и отражения. Напротив, если скорость зеркала стремится к скорости света, то из (7) следует, что при любом угле падения угол отражения равен нулю, т. е. даже при скользящем падении отраженная волна уходит от зеркала по нормали. Частота отраженной волны связана с частотой падающей волны соотношением:

Если волна падает на движущееся зеркало по нормали, то из (8) получается

Если скорость зеркала близка к скорости света, частота отражённой волны во много раз больше частоты падающей.

Движущееся зеркало — один из примеров движущейся границы раздела. В общем случае граница раздела не является идеально отражающей, поэтому кроме падающей и отражённой имеется преломленная волна. Помимо этого, и граница раздела, и среды по обе стороны от неё могут двигаться с различными скоростями. Если скорости сред по обе стороны от границы параллельны плоскости раздела, отражение волны от такой границы сопровождается поворотом плоскости поляризации, причём угол поворота пропорционален относит, скорости граничащих сред.

Для определения отражённой и преломленной волн необходимо знать условия, которым удовлетворяют поля на границе раздела. В системе отсчёта, в которой граница раздела покоится, граничные условия оказываются такими же, как в электродинамике неподвижных тел.

По изменению частоты при отражении волны от движущейся границы может быть определена скорость границы. Было также предложено использовать этот эффект для умножения частоты электромагнитных волн; при этом в качестве отражающих тел предлагалось применять пучки ускоренной плазмы (См. Плазма). Эксперимент подтвердил такую возможность, однако достигнутая эффективность преобразования частот пока невелика.

Излучение электромагнитных волн в движущейся среде. Источниками излучения в движущейся среде, как и в покоящейся, являются электрические заряды и токи. Однако характер распространения электромагнитных волн от источника, расположенного в движущейся среде, существенно отличается от того, что имеет место в случае покоящейся среды.

Пусть в некоторой малой области в движущейся среде расположен источник и время излучения мало. Если бы среда покоилась, то поле излучения расходилось бы от источника во все стороны с одинаковой скоростью, равной скорости света, т. е. всё поле излучения было бы сосредоточено вблизи от сферической поверхности, расширяющейся со скоростью света. Движение среды приводит к тому, что скорость света в разных направлениях оказывается различной [см. формулу (5)]. Поэтому поверхность, на которой поле излучения отлично от нуля, уже не является сферой. Расчёт показывает, что эта поверхность имеет вид эллипсоида вращения с осью симметрии, направленной по скорости движения среды. Полуоси эллипса линейно растут со временем, а центр эллиптической оболочки перемещается параллельно скорости среды. Т. о., оболочка, на которой сосредоточено излучение, одновременно расширяется и «сносится по течению» в движущейся среде («увлекается» средой). Если скорость перемещения среды сравнительно невелика, то источник излучения находится внутри этой оболочки (рис. 2).

Если же скорость движения среды превышает фазовую скорость света, то оболочку «сдувает» настолько сильно, что она вся оказывается «ниже по течению», и источник излучения находится вне этой оболочки (рис. 3).

Прохождение заряженной частицы через движущуюся среду. При рассмотрении излучения в движущейся среде ранее предполагалось, что источник излучения покоится. Если источник движется, то его поле излучения, как и в покоящейся среде, определяется интерференцией волн, испущенных источником в каждой точке своего пути. Отличие от случая покоящейся изотропной среды заключается в том, что из-за эффекта увлечения в движущейся среде скорость волн в разных направлениях различна (см. рис. 2 и 3).

Особенность излучения движущегося источника в движущейся среде можно понять на примере Черенкова — Вавилова излучения (См. Черенкова-Вавилова излучение). Пусть в среде, движущейся со скоростью υ, перемещается с постоянной скоростью и точечная заряженная частица. Для простоты будем считать, что и и υ направлены по одной прямой. В случае покоящейся среды (υ = 0) частица может стать источником излучения, если её скорость достаточно велика (превышает фазовую скорость света в среде

Рассмотренный пример показывает, что в движущейся среде характер взаимодействия заряженной частицы со средой меняется. В зависимости от скоростей частицы и среды потери энергии частицы могут иметь различную величину и даже менять знак, что соответствует уже не замедлению, а ускорению частицы средой.

После того как стали получать (с помощью сильноточных и плазменных ускорителей (См. Плазменные ускорители)) пучки заряженных частиц большой плотности движущиеся с релятивистской скоростью интерес к Э. д. с. возрос. Плотные пучки во многих отношениях ведут себя как макроскопическая движущаяся среда В связи с применением таких пучков появились новые возможности не только в Э. д. с. вообще, но также в изучении эффектов выше 1-го порядка по υ/c, т. е. эффектов в которых величина υ/c уже не мала по сравнению с единицей.

Лит.: Taмм И. Е. Основы теории электричества, 9 изд., М., 1976; его же, Собр. научных трудов, т. 1, М., 1975; Беккер Р., Электронная теория, пер. с нем., Л. — М., 1936; Болотовский Б. М., Столяров С. С., Современное состояние электродинамики движущихся сред (безграничные среды), в кн.: Эйнштейновский сборник. 1974, М., 1976.

Б. М. Болотовский.

Рис. 1. Отражение света от движущегося зеркала. Угол отражения α₂ не равен углу падения α₁, частота ω₂ отражённого света не равна частоте ω₁ падающего света. Зеркало движется с постоянной скоростью υ навстречу падающему свету.

Рис. 2. Распространение волн излучения в движущейся среде. Источник излучения находится в начале координат. Среда движется вправо со скоростью v. Видно, что волновые поверхности «сносит по течению». Скорость движения среды не превышает фазовой скорости света.

Рис. 3. Излучение волн в движущейся среде в случае, когда скорость среды превышает фазовую скорость света. Источник излучения находится в начале координат. Расходящиеся от источника волны настолько сильно «сдувает по течению», что они все оказываются по одну сторону от источника.

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД

-раздел электродинамики, в к-ром рассматриваются эл.-магн. явления в равномерно движущихся средах, т. е. распространение и излучение в них эл.-магн. волн.

Эксперим. материал по Э. д. с. накапливался и теоретически осмысливался в течение неск. веков (см. Аберрация света, Доплера эффект, Оптика движущихся сред, Май-келъсона опыт, Рентгена опыт, Роуланда опыт, Физо опыт, Эйхенвальда опыт). Полное объяснение этого материала стало возможным только после создания А. Эйнштейном (1905) спец. теории относительности.

В 1908 Г. Минковский (G. Minkowski) показал, что Максвелла уравнения для покоящихся сред в сочетании с принципом относительности Эйнштейна однозначно определяют эл.-магн. поле в движущейся среде. Ур-ния для полей в движущейся с пост. скоростью u изотропной среде совпадают с ур-ниями Максвелла в покоящейся среде, однако материальные соотношения между напряжённостями электрического Е и магнитного Н полей и соответствующими индукциями D и В имеют более сложный, чем в покоящейся среде, вид:

где e и m- диэлектрич. и магн. проницаемости покоящейся среды. Материальные ур-ния Минковского (1) и ур-ния Максвелла удовлетворительно объясняют результаты всех экспериментов по изучению эл.-магн. явлений в движущихся средах, в частности по распространению света в движущейся среде (аберрация света, опыт Физо) и по отражению и преломлению эл.-магн. волн на движущихся границах раздела.

Поля и их потенциалы в движущейся среде. Поля источников излучения удобно описывать с помощью ур-ний Максвелла - Минковского, записанных в релятивистски инвариантном (ковариантном) четырёхмерном виде:

(e_ikst- четырёхмерный тензор диэлектрич. проницаемости 4-го ранга; i, k=1, 2,3, 4).

Четырёхмерные антисимметричные тензоры полей F_ik и индукций H_ik , составленные соответственно из компонент векторов ( В, - iE )и (H, - iD )в декартовой системе координат имеют вид:

а четырёхмерные векторы x_k и j_i связаны с декартовыми компонентами векторов r (х, у, z )и плотностью тока j соотношениями

где r - плотность заряда [по повторяющимся индексам в (2), (3) и далее проводится суммирование].

Ковариантная запись ур-ний Максвелла (2) и материальных соотношений в форме (3), предложенной Л. И. Мандельштамом и И. Е. Таммом, позволяет обобщить эти ур-ния на неинерциальные системы отсчёта и неинерциаль-но движущиеся среды методами общей теории относи тельности. Для равномерно движущейся изотропной среды e_ikst можно представить в виде произведения двух тензоров 2-го ранга h_is:

где d_is - единичный тензор, а четырёхмерная скорость среды u_i связана с вектором скорости и соотношениями

В движущейся среде можно ввести четырёхмерный векторный потенциал A_k = (A, ij) (где А,j - векторный и скалярный потенциалы), связанный с электрич. полем Е и магн. индукцией В обычным соотношением

Подстановка выражений (7) в систему (2) и (3) с использованием тензора (6) приводит к ур-нию для A_k вида

Дифференциальный оператор обобщает оператор волнового ур-ния на движущиеся среды. Четырёхвекторный потенциал A_k удовлетворяет обобщённому условию Лоренца:

В движущейся среде без дисперсии ур-ние (8) имеет решение записанное через тензорную Грина функцию G_kl = S_klG₀/с, где скорость движения среды и =сbнаправлена по оси z, а векторы r и r' лежат в плоскости, перпендикулярной скорости и. При t'>t ф-ция Грина G₀ в (11) тождественно равна нулю.

Особенности излучения волн в движущейся среде. В качестве иллюстрации смысла полученных ф-л рассмотрим поле точечного источника, расположенного в начале координат (r "=z' = 0) и излучавшего очень малое время (t'=0). Если бы среда покоилась, то поле излучения расходилось бы от источника во все стороны с одинаковой скоростью, равной скорости света в среде, т. е. всё поле излучения было бы сосредоточено вблизи сферич. поверхности, расширяющейся от начала координат во все стороны со скоростью света. Движение среды приводит к тому, что скорость света в разных направлениях становится различной. Поэтому поверхность R₀ =const [см. ф-лу (11)}, на к-рой поле излучения отлично от нуля, уже не является сферой, а имеет вид эллипсоида вращения:

ось симметрии к-рого направлена по скорости движения среды. Полуоси а и b этого эллипсоида линейно растут со временем, а центр эллиптич. оболочки z₀ перемещается в направлении движения среды со скоростью u₀ = h₀u, где h₀ = (em - 1)/(em - b² )-коэф. увлечения света. При малых скоростях, когда b<<1, он совпадает с коэф. увлечения Френеля в опыте Физо, а релятивистски движущаяся среда, когда b1, полностью увлекает свет, т. <е. h₀=1. Т. <о., оболочка, на к-рой сосредоточено излучение в движущейся среде, одновременно расширяется и "сносится вниз по течению" среды ("увлекается" движущейся средой). Если скорость перемещения среды сравнительно невелика, то источник излучения находится внутри этой оболочки (рис. 1). Если же скорость движения среды превышает фазовую скорость света, то оболочку "сдувает" настолько сильно, что она вся оказывается "ниже по течению", и источник излучения находится вне этой оболочки (рис. 2).

Рис. 1. Распространение волн излучения в движущейся среде в случае, когда скорость движения среды не превышает фазовой скорости света. Источник излучения находится в начале координат. Среда движется вправо со скоростью и. Видно, что волновые поверхности "сносит по течению".

Прохождение заряженной частицы через движущуюся среду. При рассмотрении излучения в движущейся среде предполагалось, что источник излучения покоится по отношению к этой среде. Если источник движется по произвольному закону, то его поле излучения, как и в покоящейся среде, определяется интерференцией волн, испущенных источником в каждой точке своего пути. Отличие от случая покоящейся изотропной среды состоит в том, что из-за эффекта увлечения в движущейся среде скорость волн в разных направлениях различна (рис. 1 и 2).

Рис. 2. Излучение волн в движущейся среде в случае, когда скорость среды превышает фазовую скорость света. Источник излучения находится в начале координат. Расходящиеся от источника волны оказываются по одну сторону от источника.

Особенность излучения движущегося источника в движущейся среде можно понять на примере излучения Вавилова - Черенкова. Пусть в среде, движущейся со скоростью u, перемещается с пост. скоростью u точечная частица с зарядом q. В покоящейся среде эта частица может стать источником излучения, если её скорость превышает фазовую скорость света в среде, т. е. u>c/. Возникающее излучение, называемое излучением Вавилова - Черенкова, уносит энергию от движущейся частицы, и частица замедляется. В движущейся среде источником излучения Вавилова- Черенкова может стать движущаяся с малой скоростью или даже покоящаяся заряж. частица. Если частица покоится, а скорость движения среды превышает фазовую скорость света, возникает характерное волновое поле, представляющее собой в данном случае излучение Вавилова- Черенкова. Это поле целиком находится по одну сторону от покоящегося заряда "вниз по течению" среды (рис. 2). При этом на частицу - источник излучения - действует ускоряющая сила в направлении движения среды. Т. о., в движущейся среде меняется характер взаимодействия заряж. частицы со средой. В зависимости от скорости частицы u и среды u потери dW/dz энергии частицы W на единицу длины пути могут иметь разл. величину и даже менять знак, что соответствует уже не замедлению, а ускорению частицы средой. Последнее явление часто наз. эффектом обращения потерь энергии. Всё это видно из ф-лы для потерь энергии:

где u _отн = cb _отн = (u - u)/(1-uu/c²) - скорость относит. движения частицы и среды, e(w_s) = 0. Знаковая ф-ция sgnx = = х/|х| указывает на изменение знака потерь; при u>usgn(u - u)=+1 и частица теряет энергию, а при u<u, когда sgn (u - и)= -1, частица ускоряется. Первое слагаемое в фигурных скобках соответствует потерям на излучение Вавилова-Черенкова. Оно отлично от нуля лишь при движении частицы с относит. скоростью u _отн, к-рая больше фазовой скорости света в покоящейся среде В ф-ле (13) K₀(w_sr _мин/|u _отн|) есть ф-ция Макдональда, а r _мин пo порядку величины совпадает с радиусом дебаев-ского экранирования r_D = (kT/mw_p)^1/2. в среде с темп-рой Т и концентрацией электронов N,w_p=(4pNe²/m)^1/2- плазменная частота, т - масса покоя электрона. В движущейся плазме с m=1 и e=l- w²_p/w² или в пучке релятивистских электронов с энергией W_e = mc²gпотери энергии на излучение Вавилова-Черенкова равны нулю, а на возбуждение плазменных колебаний отличны от нуля и имеют вид:

где разброс энергии электронов в пучке DW_e = mc²Dg,a q=eN_q- заряд точечного сгустка частиц с концентрацией N_q.

После того как стали получать (с помощью сильноточных и плазменных ускорителей) пучки заряж. частиц большой плотности, движущиеся с релятивистскими скоростями, возрос интерес к Э. д. с. В этих пучках можно ускорять заряж. частицы до больших энергий. Так, из ф-лы (14) следует, что в пучке электронов с плотностью тока порядка 30 кА/см ² (N6^.10¹² см ^-3) при энергии электронов W_e =2МэВ (g = 4) и разбросе DW_e =0,3W_e прирост энергии частиц в сгустке с концентрацией N_q=10¹⁰ см ^-3 составляет 5 МэВ/см на одну ускоряемую частицу из сгустка.

Плотные пучки электронов или движущейся плазмы во мн. отношениях ведут себя как макроскопич. движущиеся среды. В связи с получением таких пучков появились новые возможности не только для применения Э. д. с. в исследовании физ. установок и приборов, но также стало возможным изучение релятивистских эффектов, когда и/с становится порядка единицы.

Лит.: Тамм И. Е., Основы теории электричества, 10 изд., М., 1989; Болотовский Б. М., Столяров С. Н., Современное состояние электродинамики движущихся сред (безграничные среды), в кн.: Эйнштейновский сборник. 1974, М., 1976; их же, Поля источников излучения в движущихся средах, в кн.: Эйнштейновский сборник. 1978-1979, М., 1983. Б. М. Болотовский, С. Н. Столяров.