Теплопроводности уравнение

дифференциальное уравнение (См. Дифференциальные уравнения) с частными производными параболического типа, описывающее процесс распространения теплоты в сплошной среде (газе, жидкости или твёрдом теле); основное уравнение математической теории теплопроводности (См. Теплопроводность). Т. у. выражает тепловой баланс для малого элемента объёма среды с учётом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объёма вследствие теплопроводности. Для изотропной неоднородной среды Т. у. имеет вид:

,

где ρ — плотность среды; c_v — теплоёмкость среды при постоянном объёме; t — время; х, у, z— координаты; Т = Т(х, у, z, t) — температура, которая вычисляется при помощи Т. у.; λ — коэффициент теплопроводности; F = F(x, y, z, t) — заданная плотность тепловых источников. Величины ρ, C_v, λ зависят от координат и, вообще говоря, от температуры. Для анизотропной среды Т. у. вместо λ содержит Тензор теплопроводности λ_ir, где i, k = 1, 2, 3.

В случае изотропной однородной среды Т. у. принимает вид:

,

где ΔT — Лапласа оператор, a² = λ/(ρc_v) — коэффициент температуропроводности; f = F/(ρc_v). В стационарном состоянии, когда температура не меняется со временем, Т. у. переходит в Пуассона уравнение ΔТ = f/a² = F/λ или, при отсутствии источников теплоты, в Лапласа уравнение ΔТ = 0. Основными задачами для Т. у. является Коши задача и смешанная краевая задача (см. Краевые задачи).

Первые исследования Т. у. принадлежат Ж. Фурье (1822) и С. Пуассону (1835). Важные результаты в исследовании Т. у. были получены И. Г. Петровским (См. Петровский), А. Н. Тихоновым, С. Л. Соболевым.

Лит.: Карслоу Г. С., Теория теплопроводности, пер. с англ., М.— Л., 1947: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, М., 1967; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

Д. Н. Зубарев.

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ УРАВНЕНИЕ - дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс распространения тепла в среде. где T(x, t) - искомая функция - температура в точке с координатой x в момент t.

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ УРАВНЕНИЕ

уравнение, описывающее процесс распространения теплоты в сплошной среде (газе, жидкости или тв. теле); осн. ур-ние матем. теории теплопроводности. Т. у. выражает тепловой баланс для малого элемента объёма среды с учётом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объёма вследствие теплопроводности. Для изотропной неоднородной среды Т. у. имеет вид:

где r — плотность среды; сV — теплоёмкость среды при пост. объёме V; t — время; х, у, z — координаты; Т= = Т(х, у, z)—темп-ра, к-рая вычисляется при помощи Т. у.; l — коэфф. теплопроводности; F=F(x, y, z) — заданная плотность тепловых источников. Величины r, cV, l зависят от координат и, вообще говоря, от Т. В случае изотропной однородной среды Т. у. принимает вид:

где DТ — оператор Лапласа для Т, а2=l/(rcV) — коэфф. температуропроводности, f=F/(rcV). В стационарном состоянии, когда Т не меняется со временем, Т. у. переходит в Пуассона уравнение: DT—f/a2=F/l, а при отсутствии источников теплоты в Лапласа уравнение DТ=0. Процессы диффузии также описываются ур-ниями типа Т. у.

теплопрово́дности уравне́ние

дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс распространения тепла в среде. В простейшем случае имеет вид,где Т(х, t) — искомая функция — температура в точке с координатой х в момент t, a² — коэффициент температуропроводности.

* * *

ТЕПЛОПРОВО́ДНОСТИ УРАВНЕ́НИЕ, дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс распространения тепла в среде. В простейшем случае имеет вид.

где T(x, t) — искомая функция — температура в точке с координатой x в момент t.

однородное дифференциальное уравнение с частными производными

Это уравнение является простейшим представителем параболического типа уравнений. При n=3 оно описывает процесс распространения тепла в твердом теле. К основным корректно поставленным задачам для Т. у. относятся первая краевая задача (в цилиндрич. области) и задача Коши - Дирихле (в полупространстве). Решение последней задачи выписывается в явном виде:

где - заданная непрерывная равномерно ограниченная в функция.

Лит.:[1] Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, М., 1976; [2] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981.

А. П. Солдатов.

дифференц. ур-ние с частными производными, описывающее процесс распространения теплоты в среде. Если эта среда однородна и изотропна, т. е. одинакова во всех точках и направлениях, и в ней отсутствуют внутр. источники теплоты, то Т. у. имеет вид: определяемая физ. условиями задачи; Т (х, у, z, t) - искомая ф-ция - темп-pa, изменяющаяся во времени и от одной точки к др. точке тела. Для решения Т. у. должны быть заданы нач. условия Т (x, у, z, 0) и краевые условия (условия теплообмена на границе тела).

дифференциальное ур-ние с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс распространения тепла в среде. В простейшем случае имеет вид