Кватернионы

(от лат. quaterni — по четыре)

система чисел, предложенная в 1843 англ. учёным У. Гамильтоном. К. возникли при попытках найти обобщение комплексных чисел (См. Комплексные числа)х + iy, где х и у— действительные числа, i — базисная единица с условием i² = —1. Как известно, комплексные числа изображаются геометрически точками плоскости, и действия над ними соответствуют простейшим геометрическим преобразованиям плоскости (сдвигу, вращению, растяжению или сжатию и их комбинациям). Поиски числовой системы, которая геометрически реализовалась бы с помощью точек 3-мерного пространства, привели к установлению того, что из точек пространства трёх и выше трёх измерений нельзя «устроить» числовую систему, в которой алгебраические операции сохраняли бы все свойства сложения и умножения действительных или комплексных чисел. Однако если отказаться от одного свойства — коммутативности (переместительности) умножения, — сохранив все остальные свойства сложения и умножения, то из точек пространства четырех измерений можно устроить числовую систему (в пространстве трех, пяти и даже выше измерений нельзя устроить даже такой системы чисел). Числа, реализуемые в 4-мерном пространстве и называются кватернионами. К. представляют собой линейную комбинацию четырёх «базисных единиц» 1, i, j, k: X=x_o (1+x₁+x₂j+x₃k,где х_о, х₁, x₂, х₃ — действительные числа. Действия над К. производятся по обычным правилам действия над многочленами относительно 1, i, j, k (нельзя лишь пользоваться переместительным законом умножения) с учётом правил умножения базисных единиц, указанных в таблице

--------------------------------------------

|       | 1    | i      | j      | k     |

|-------------------------------------------|

| 1    | 1    | i      | J     | k     |

|-------------------------------------------|

| I     | i     | -1    | k     | -j     |

|-------------------------------------------|

| j     | j     | -k    | -1    | i      |

|-------------------------------------------|

| k    | k    | J     | -i     | Кватернионы!    |

--------------------------------------------

Из таблицы видно, что 1 играет poль обычной единицы и, следовательно, в записи К. может быть опущена:

X=x_o+x₁i+x₂j+x₃k.

(1)

В К. (1) различают скалярную часть х_ои векторную часть

V= x₁i +x₂j+x₃k,так что X=x_o+V.

Если х_о = 0, то кватернион V наз. вектором; он может отождествляться с обычными 3-мерными Векторами.

В середине 19 в. К. воспринимались как обобщение понятия о числе, призванное играть в науке столь же значительную роль, как и комплексные числа. Эта точка зрения подкреплялась и тем, что были найдены приложения К. к электродинамике и механике. Однако Векторное исчисление в его современной форме вытеснило К. из этих областей. Ясно, что роль К. ни в какой мере не может быть сравнима с ролью комплексных чисел, имеющих многочисленные и разнообразные приложения в различных отраслях науки и техники.

Лит.: см. при ст. Гиперкомплексные числа.

Таблица к ст. Кватернионы.

КВАТЕРНИОНЫ

- элементы множества И, представимые в виде . Здесь - веществ, числа, а (1, г, /, k)- образующие базиса в Н, удовлетворяющие соотношениям:

Обозначения принадлежат У. Гамильтону (W. R. Hamilton), открывшему К. в 1843. В его честь для обозначения множества всех К. употребляется буква Н. Соотношение (1) можно записать в более компактной форме: пусть е ₀, e₁, е ₂, е ₃ - образующие, тогда

- Леви-Чивиты символ).

Умножение К. q на скаляр a и сложение К. определяются так же, как и для обычных векторов. Можно ввести произведение двух К. ф-лой = (иногда выделяют скалярную и векторную части К.: , тогда умножение векторных частей определяется ф-лой V₁V₂=-(V₁V₂)+[V₁V₂]). Тем самым множество H превращается в алгебру (алгебру кватернионов). Из соотношений (1) следует, что Н - некоммутативная, но ассоциативная алгебра. Алгебра Н содержит в виде подалгебры поле веществ. чисел R= и поле комплексных чисел

Алгебра Н допускает изоморфное матричное представление с помощью Паули матриц:

(здесь

Для каждого К. определён сопряжённый К. и норма Обратным кватернионом является . Каждый ненулевой К. имеет обратный. Алгебра с таким свойством называется алгеброй с делением. Алгебра Н (наряду с полями R и С) является единств. ассоциативной алгеброй с делением (теорема Фробениуса). Список алгебр с делением замыкает алгебра октонионов (октав, чисел Кэли) - 8-мерная алгебра, в к-рой нарушена ассоциативность произведения. Наряду с веществ. и комплексными числами в разл. вопросах теории представлений групп, топологии и физики можно использовать К. Вращение трёхмерного пространства можно задать при помощи К. с нормой 1 (аналогично тому, как вращение плоскости задаётся комплексным числом с модулем 1).

Лит.: Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986; Казакова Г., Векторная алгебра, пер. с англ., М., 1979.

М. И. Монастырский.