Ферма принцип

основной принцип геометрической оптики (См. Геометрическая оптика). Простейшая форма Ф. п. – утверждение, что луч света всегда распространяется в пространстве между двумя точками по тому пути, по которому время его прохождения меньше, чем по любому из всех др. путей, соединяющих эти точки. Время прохождения светом расстояния l, заполненного средой с преломления показателем (См. Преломления показатель)n, пропорционально оптической длине пути (См. Оптическая длина пути)S;S =1•n для однородной среды, а при переменном nПоэтому можно сказать, что Ф. п. есть принцип наименьшей оптической длины пути. В первоначальной формулировке самого П. Ферма (около 1660) Ф. п. имел смысл наиболее общего закона распространения света, из которого следовали все (к тому времени уже известные) законы геометрической оптики: для однородной среды он приводит к закону прямолинейности светового луча (в соответствии с геометрическим положением о том, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками), а для случая падения луча на границу различных сред из Ф. п. можно получить законы отражения света (См. Отражение света) и преломления света (См. Преломление света). В более строгой формулировке Ф. п. представляет собой вариационный принцип, утверждающий, что реальный луч света распространяется от одной точки к другой по линии, по которой время его прохождения экстремально или одинаково по сравнению с временами прохождения по всем др. линиям, соединяющим эти точки. Это означает, что оптическая длина пути луча может быть не только минимальной, но и максимальной либо равной всем остальным возможным путям, соединяющим указанные точки. Примерами минимального пути служат упомянутые распространение света в однородной среде и прохождение светом границы двух сред с разными показателями преломления n.Все три случая (минимальности, максимальности и стационарности пути) можно проиллюстрировать, анализируя отражение луча света от вогнутого зеркала (рис.).

К принципу Ферма: действительный путь света соответствует экстремальному времени распространения.

Если зеркало имеет форму Эллипсоидавращения, а свет распространяется от одного его фокуса Р к другому Q (причём путь без отражения невозможен), то оптическая длина пути луча PO' + O'Qпо свойствам эллипсоида равна всем остальным возможным, например PO " + О " Q; если на пути между теми же точками свет отражается от зеркала меньшей, чем у эллипсоида, кривизны (MM), реализуется минимальный путь, если же большей (зеркало NN)–максимальный. Условие экстремальности оптической длины пути сводится к требованию, чтобы была равна нулю вариация от интеграла Вариационное исчисление), где АиВ –точки, между которыми распространяется свет. Это выражение и представляет собой математическую формулировку Ф. п.

В волновой теории света Ф. п. представляет собой предельный случай Гюйгенса – Френеля принципа (См. Гюйгенса - Френеля принцип) и применим, когда можно пренебречь дифракцией света (См. Дифракция света) (когда длина световой волны достаточно мала по сравнению с характерными для задачи размерами): рассматривая лучи как нормали к волновым поверхностям, легко показать, что при всяком распространении света оптической длины их путей будут иметь экстремальные значения. Во всех случаях, когда необходимо учитывать дифракцию, Ф. п. перестаёт быть применимым.

Лит.: Fermat P. de, CEuvres, t. 1–4, P., 1891–1912; Ландсберг Г. С., Оптика, 5 изд., М., 1976 (Общий курс физики); Крауфорд Ф., Волны, М., 1974 (Берклеевский курс физики, т. 3); Борн М., Вольф Э., Основы оптики, пер. с англ., 2 изд., М., 1973.

А. П. Гагарин.

К принципу Ферма: действительный путь света соответствует экстремальному времени распространения.

ФЕРМА ПРИНЦИП: действительный путь распространения света из одной точки в другую есть тот путь - для прохождения которого свету требуется минимальное (или максимальное) время по сравнению с любым др. геометрически возможным путем между теми же точками. Установлен П. Ферма ок. 1660.

ФЕРМА ПРИНЦИП

основной принцип геометрической оптики. Простейшая форма Ф. п.— утверждение, что луч света всегда распространяется в пр-ве между двумя точками по тому пути, вдоль к-рого время его прохождения меньше, чем вдоль любого из др. путей, соединяющих эти точки. Время прохождения светом расстояния l в среде с показателем преломления n пропорц. оптической длине пути (ОДП) S. Для однородной среды

S=ln, а для неоднородной

S=?lndl.

Т. о., в этой форме Ф. п. есть принцип наименьшей ОДП. В первонач. формулировке франц. учёного П. Ферма (P. Fermat; ок. 1660) принцип имел смысл наиболее общего закона распространения света, из к-рого следовали все (к тому

времени уже известные) законы геом. оптики: для однородной среды он приводит к закону прямолинейности светового луча (в соответствии с положением о том, что прямая есть наименьшее расстояние между двумя точками), а для случая падения луча на границу раздела между средами с разными n из Ф. п. можно получить законы зеркального отражения света и преломления света. В более строгой формулировке Ф. п. представляет собой т. н. вариационный принцип, утверждающий, что реальный луч света распространяется от одной точки к другой по линии, вдоль к-рой время его прохождения экстремально или одинаково по сравнению с временами прохождения вдоль всех др. линий, соединяющих данные точки. Это означает, что ОДП луча может быть не только минимальной, но и максимальной, либо равной всем остальным возможным путям между двумя точками. Примеры миним. пути — упомянутые распространение света в однородной среде и прохождение им границы раздела двух сред с разными п. Все три случая (минимальности, максимальности и стационарности пути) можно проиллюстрировать, рассматривая отражение луча света от вогнутого зеркала (рис.). Если зеркало имеет форму эллипсоида вращения, а свет распространяется от одного его фокуса Р к другому Q (причём путь без отражения невозможен), то ОДП луча РО'+O'Q по св-вам эллипсоида равна всем остальным возможным, напр. РО"+O"Q’ если на пути между теми же точками свет отражается от зеркала меньшей, чем у эллипсоида, кривизны (ММ), реализуется миним. путь, если же большей (зеркало NN) — максимальный. Условие экстремальности ОДП сводится к требованию, чтобы была равна нулю вариация от интеграла d?BAndl=0, где А и В — точки, между к-рыми распространяется свет.

В волновой оптике Ф. п. представляет собой предельный случай Гюйгенса — Френеля принципа и применим, когда можно пренебречь дифракцией света (когда длина световой волны мала по сравнению с наименьшими характерными для задачи размерами): рассматривая лучи как нормали к волновым поверхностям, легко показать, что при всяком распространении света ОДП будут иметь экстремальные значения. Во всех случаях, когда необходимо учитывать дифракцию, Ф. п. (как и геом. оптика вообще) перестаёт быть применим.

ФЕРМА ПРИНЦИП

ФЕРМА́ ПРИ́НЦИП: действительный путь распространения света из одной точки в другую есть тот путь, для прохождения которого свету требуется минимальное (или максимальное) время по сравнению с любым др. геометрически возможным путем между теми же точками. Установлен П. Ферма ок. 1660.

- вариационный принцип, позволяющий находить лучи, т. е. кривые, вдоль к-рых распространяется волновой процесс. Пусть х=х₁,..., х _т, - уравнение кривой l, соединяющей точки М ₀ и M₁, с=с(x)>0 - скорость распространения волн в точке х. Ф. <п. утверждает, что для луча, соединяющего М ₀ и М ₁. Здесь - символ вариации, - дифференциал дуги. Физич. смысл -время движения из M₀ в M₁ вдоль . со скоростью с(х). Из Ф. <п. следуют классич. законы отражения, преломления, прямолинейность лучей при с= const. Дифракционные лучи, лучи, распространяющиеся от краев экранов, лучи головных волн тоже можно найти, пользуясь Ф. <п. Лучи, определяемые Ф. <п., являются характеристиками эйконала уравнения. Интеграл задает риманову метрику частного типа. Лучи - геодезические, соответствующие этой метрике. Ф. <п. обобщается на случай скорости, зависящей от направления (анизотропная среда). Лучи в этом случае - геодезические нек-рой финслеровой метрики.

Ф. п. для задачи преломления света был впервые высказан П. Ферма (P. Fermat, ок. 1660).

Лит. см. при ст. Лучевой метов.

В. М. Бабич.

[по имени франц. математика П. Ферма (P. Fermat; 1601 - 65)] - осн. положение геом. оптики: оптич. путь распространения света из одной точки в другую есть тот, для прохождения к-рого свету требуется экстремальное (наименьшее или наибольшее) время по сравнению с любым другим геометрически возможным путём между теми же точками. Из Ф. п. вытекают основные законы геом. оптики - законы преломления, отражения и прямолинейного распространения света.

действительный путь распространения света из одной точки в другую есть тот путь, для прохождения к-рого свету требуется миним. (или макс.) время по сравнению с любым др. геометрически возможным путём между теми же точками. Установлен П. Ферма ок. 1660.