Волновое уравнение

дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. В случае малых возмущений и однородной изотропной среды В. у. имеет вид:

где х, у, z — пространственные переменные, t — время, u = u(х,у, z)— искомая функция, характеризующая возмущение в точке (х, у, z) в момент t, а — скорость распространения возмущения. В. у. является одним из основных уравнений математической физики и широко используется в приложениях. Если u зависит только от двух (одной) пространственных переменных, то В. у. упрощается и называется двумерным (одномерным). В. у. допускает решение в виде «расходящейся сферической волны»:

u = f(t - r/a)/r,

где f — произвольная функция, a

Особый интерес представляет так называемое элементарное решение (элементарная волна):

u = δ (t - r/a)/r

(где δ — Дельта-функция), дающее процесс распространения возмущения, произведённого мгновенным точечным источником (действовавшим в начале координат при t = 0). Образно говоря, элементарная волна представляет собой «бесконечный всплеск» на окружности r = at, удаляющийся от начала координат со скоростью а с постепенным уменьшением интенсивности. При помощи наложения элементарных волн можно описать процесс распространения произвольного возмущения.

Малые колебания струны описываются одномерным В. у.:

Ж. Д'Аламбер предложил (1747) метод решения этого В. у. в виде наложения прямой и обратной волн: u = f(x - at) + g(x + at), а Л. Эйлер (1748) установил, что функции f и g определяются заданием так называемых начальных условий (См. Начальное условие).

Лит.: Тихонов А. Н. и Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

П. И. Лизоркин.

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ - дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. Напр., малые колебания натянутой струны описываются волновым уравнением где u(х,t) - искомая функция - отклонение струны от положения равновесия в точке с координатой х в момент t, a - скорость распространения возмущения вдоль струны.

wave equation

wave equation

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

в механике, линейное однородное дифф. ур-ние в частных производных, описывающее распространение волн в среде; имеет вид:

где t — время, х, у, z — пространственные декартовы координаты, W= W(х, у, z, t) — ф-ция, характеризующая возмущение среды в точке с координатами х, у, z в момент времени t, с — параметр с размерностью скорости, ( — оператор Д'Аламбера (даламбертиан), D — оператор Лапласа (лапласиан).

Частными видами В. у. (1) явл. двухмерное и одномерное В. у.; последнее совпадает с ур-нием колебаний идеально упругой струны:

решение к-рого может быть представлено в виде двух волн, перемещающихся в пр-ве со скоростью с:

W=f1(x+ct)+ f2(x-ct). (3)

Каждая из этих волн и составляет моду, распространяющуюся только в одном направлении (±х) и удовлетворяющую В. у. 1-го порядка (ур-нию волны):

В. у. (1) допускает разделение переменных по координатам и времени: W=W1(x,y,z)j(t). При гармонич. зависимости от времени, выраженной с помощью комплексной записи j=еiwt, где (w=kc, k — волн. число (см. КОМПЛЕКСНАЯ АМПЛИТУДА). В. у. превращается в ур-ние Гельмгольца:

DW+k2W =0, (5)

к-рое в двухмерном случае даёт ур-ние мембраны, а в одномерном — ур-ние осциллятора.

В. у. наз. неоднородным, если в его правой части стоит заданная ф-ция координат и времени, т. е.

W=f(x, y, z, t). (6)

В отличие от однородного В. у. неоднородное В. у., помимо собств. решений — нормальных волн, существующих независимо от источника, имеет и вынужденное решение, описывающее движения (колебания, волны и др.), возбуждённые источниками.

В. у. описывает почти все разновидности малых колебаний в распределённых механич. системах (продольные звук. колебания в газе, жидкости, тв. теле, поперечные колебания в струнах, на поверхности воды и др.). В. у. удовлетворяют компоненты векторов эл.-магн. поля и потенциалов, и поэтому многие явления эл.-магн. поля (от квазистатических до оптики) описываются с его помощью.

Среди нелинейных обобщений В. у. наиболее известны нелинейное ур-ние Клейна — Гордона:

W = m2W+F(W) (7)

(т — масса ч-цы), к-рое при F ®0 вырождается в Клейна — Гордона — Фока уравнение, и нелинейное ур-ние Гельмгольца:

DW + k2W=F(?W?2)W. (8)

Нелинейные В. у. позволяют описать такие явления, как вз-ствие монохроматич. волн, возникновение и эволюцию ударных волн и солитонов, самофокусировку. В квантовой механике В. у. иногда наз. Шрёдингера уравнение.

волново́е уравне́ние

дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. Например, малые колебания натянутой струны описываются волновым уравнением ,где u (х, t) — искомая функция — отклонение струны от положения равновесия в точке с координатой х в момент времени t, a — скорость распространения возмущения вдоль струны.

* * *

ВОЛНОВО́Е УРАВНЕ́НИЕ, дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. Напр., малые колебания натянутой струны описываются волновым уравнением

где u(х,t) — искомая функция — отклонение струны от положения равновесия в точке с координатой х в момент t, a — скорость распространения возмущения вдоль струны.

уравнение с частными производными вида

описывающее различные колебательные процессы и процессы распространения волн. Для В. у., являющегося уравнением гиперболич. типа, обычно ставятся две задачи: Коши задача и смешанная задача.

Классич. решением задачи Коши, описывающей распространение волн в n-мерном евклидовом пространстве Е", наз. функцию к-рая: непрерывно дифференцируема в -мерном полупространстве (, ); дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет В. у. в полупространстве (); удовлетворяет начальным условиям

где и - заданные функции.

Классич. решением смешанной задачи, описывающей колебания ограниченного объема , наз. функцию к-рая: непрерывно дифференцируема в замкнутом цилиндре ; дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет В. у. в открытом цилиндре ; удовлетворяет для начальным условиям

и удовлетворяет к.-л. краевому условию на "боковой" поверхности указанного цилиндра.

Классич. решение задачи Коши для достаточно гладких и дается так наз. Пуассона формулой, к-рая при n=1 переходит в Д'Аламбера формулу. В случае, когда в правой части В. у. вместо нуля стоит заданная функция это уравнение наз. неоднородным В. у. и решение его дается так наз. Кирхгофа формулой. Смешанная задача для В. у. решается методом Фурье, методом конечных разностей и методом преобразования Лапласа.

Наряду с изучением указанных задач в приведенной выше классич. постановке рассматриваются вопросы существования и единственности классич. решений, понимаемых в более слабом смысле (см. [4]), а также обобщенных решений как задачи Коши, так и смешанной задачи (см. [2], [3]).

Лит.:[1] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М.. 1966; [2] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; [3] Ладыженская О. А., Смешанная задача для гиперболического уравнения, М., 1953; [4] Ильин В. А., "Успехи матем. наук", 1960, т. 15, в. 2 (92), с. 97-154; [5] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962. Ш. А. Алимов.

дифференц. ур-ние с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс распространения возмущений в нек-рой среде. Напр., малые колебания натянутой струны описываются В. у.

где и (х, t) - искомая ф-ция - отклонение струны от положения равновесия в точке с координатой х в момент t, с - скорость распространения возмущения вдоль струны.

wave equation

* * *

wave equation

equazione di moto ondulatorio [dell'onda]

хвильове́ рівня́ння

хвильове́ рівня́ння

дифференц. ур-ние с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс распространения возмущений в нек-рой среде. Напр., малые колебания натянутой струны описываются В. у. д²и /дх² = 1/а²х д²и/dt²

где и(х, t) - искомая функция - отклонение струны от положения равновесия в точке с координатой х в момент времени t, a - скорость распространения возмущения вдоль струны.