Непредикативное определение

определение, посредством которого создаётся или вводится в рассмотрение предмет, являющийся одним из значений неопределённого имени («переменной»), участвующего в определяющем выражении. Некорректность Н. о. состоит в том, что предмет, вводимый посредством такого определения, своим появлением может изменить смысл определяющего выражения, а тем самым и самого определяемого предмета. Когда эта возможность не реализуется (что бывает, если все вхождения упомянутого неопределённого имени несущественны, т. е. устранимы логическими средствами), некорректностью Н. о. можно пренебречь, но в таких случаях не возникает и проблемы Н. о. Если же хоть одно вхождение неопределённого имени неустранимо, то создаваемый определением объект сам участвует в своём определении в качестве одного из значений смысла этого имени — и определение прочно, поскольку оно не даёт редукции определяемого объекта к ранее известным объектам и понятиям. С точки зрения теории определений (См. Определение), подобные порочные Н. о. следует считать столь же недопустимыми, как и круги в доказательствах (См. Круг в доказательстве). Впервые на Н. о. в математическом анализе указал А. Пуанкаре. Он же ввёл и сам термин «Н. о.». Наиболее известные примеры Н. о. встречаются при «наивных» классических попытках обоснования аксиоматической теории множеств. Например, доказательство существования объединения («теоретико-множественной суммы») произвольного множества множеств является непредикативным (так как при определении множества слово «множество» входит, и притом дважды, в определяющее выражение). В целях избежания связанных с этим трудностей были предложены различные средства (модификация наивной теории множеств), в частности Типов теория.

НЕПРЕДИКАТИВНОЕ определение - определение, в котором определяющее выражение содержит ссылку на множество всех значений неопределенного имени (переменной), входящего в определяемый термин; при этом может возникнуть круг в определении, ведущий к парадоксу (противоречию).

мат. impredicative definition, nonpredicative definition

НЕПРЕДИКАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

определение, в котором определяемое вводится через некрое его отношение ко всем объектам класса, одним из элементов которого мыслится и само определяемое. В Н. о. часть (элемент) определяется через целое (множество), мыслимое раньше всех его частей, что порождает ситуацию «порочного круга», которая может (хотя и не всегда) приводить к противоречиям. Напр., Н. о. «множества всех множеств, не являющихся элементами самих себя», приводит к т. н. парадоксу Рассела. Непредикативное образование понятий свойственно и др. известным парадоксам. Некорректность Н. о. побудила А. Пуанкаре, Б. Рассела (крому принадлежит термин «Н. о.»), Г. Вейля, а вслед за ними и др. учёных считать Н. о. принципиально недопустимыми в науке. Однако ввиду трудностей, связанных с абс. устранением Н. о., последние широко используются в классич. математич. анализе, не говоря уже о гуманитарных дисциплинах. При возможности эффективного исключения определяемого объекта и, т. о., выхода из порочного круга непредикативность является только кажущейся. Вообще, если все объекты класса, подразумеваемого в определяющем (следовательно, и самый класс), даны или могут быть получены независимо от Н. о. к.-л. из них, то Н. о. по существу безвредно. В этом случае непредикативный процесс введения определяемого не может повлиять на смысл определяющего. Напр., в предположении, что данные историч. источников объективно информируют о всех учениках платоновской Академии, понятие об Аристотеле без осложнений можно ввести посредством Н. о., сказав, что это самый мудрый ученик Платона (известно, что и Платон называл Аристотеля «умом» Академии).

Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М.,1957, с. 44—45.

непредикати́вное определе́ние

определение, в котором определяющее выражение содержит ссылку на множество всех значений неопределённого имени (переменной), входящего в определяемый термин; при этом может возникнуть круг в определении, ведущий к парадоксу (противоречию).

* * *

НЕПРЕДИКАТИ́ВНОЕ ОПРЕДЕЛЕ́НИЕ, определение, в котором определяющее выражение содержит ссылку на множество всех значений неопределенного имени (переменной), входящего в определяемый термин; при этом может возникнуть круг в определении, ведущий к парадоксу(см. ПАРАДОКС) (противоречию).

- определение, осмысленность к-рого предполагает наличие определяемого объекта.

Образование множества всех множеств непредикативно. Определение наименьшей верхней грани произвольного множества действительных чисел также непредикативно. Любое Н. о. можно рассматривать как свойство, выделяющее нужный объект из нек-рой заданной совокупности. Так как при этом остается проблема существования выделяемого объекта, то вместо Н. о. можно говорить о непредикативных свойствах. Если фиксирован язык, на к-ром выражаются свойства, то понятие непредикативности уточняется следующим образом. Свойство (точнее, языковое выражение, выражающее это свойство) наз. непредикативным, если оно содержит связанную переменную, в область изменения к-рой попадает определяемый объект. Свойство наз. предикативным, если оно не содержит таких связанных переменных.

Понятие непредикативности возникло в связи с обнаружением теоретико-множественных парадоксов, а сам термин принадлежит А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1906), впервые выдвинувшему возражения против Н. о.

Обнаруженные в начале 20 в. антиномии содержат непредикативность. Напр., в парадоксе Рассела множество Rвсех множеств, не содержащих себя в качестве элемента, определяется формулой:

где х- переменная, пробегающая все множества. В этой формуле Rявляется возможным значением переменной х. В математике Н. о. широко распространены. Напр., объединение Sвсех множеств натурального ряда, удовлетворяющих условию j, задается формулой

где п- переменная по натуральному ряду, М- переменная по подмножествам натурального ряда. В приведенной формуле Sявляется возможным значением связанной переменной М. Непредикативный способ задания объекта часто удается заменить предикативным. Напр., если в качестве свойства взять формулу где Аи В- некоторые фиксированные множества, то формула (*) эквивалентна предикативной формуле

выражающей, что Sесть объединение множеств Аи В. Б. Рассел (В. Russell) предпринял попытку построения математики на предикативной основе. В его разветвленной теории типов множества выстраиваются в иерархию, в соответствии с определяющими их выражениями. Напр., множество Sиз формулы (*) должно относиться к более высокому уровню в иерархии, чем уровень переменной Ми уровни переменных, содержащихся в формуле ф. На предикативной основе не удается построить анализ в полном объеме. Приходится снабжать формулировки оговорками об уровнях рассматриваемых объектов. Б. Рассел был вынужден ввести аксиому сводимости, стирающую фактически различие между уровнями. Однако предикативная теория при наличии арифметич. аксиом позволяет строить анализ, достаточный для многих приложений (см. [4]). Феномен непредикативности существенно основан на абсолютном характере понимания слова "все" (все без каких-либо ограничений, решительно все). Распределение множеств по уровням представляет собой попытку ограничить этот абсолютный характер. Наиболее радикальная ревизия способа мышления, основанного на абсолютном понимании понятия "все", предпринимается интуиционистским и конструктивным направлениями в математике.

Лит.:[1] Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 1960; [2] Френкель А.- А., Бар - Xиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; [3] Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947; [4] Takeuti G., Two applications of logic to mathematics, Tokyo, 1978.

В. H. Гришин.