Полиэдр

(от Поли... и греч. hédra — основание, грань)

1) то же, что Многогранник. 2) Геометрическая фигура, являющаяся объединением (суммой) конечного числа выпуклых многогранников произвольного числа измерений, произвольно расположенных в n-мерном пространстве (в этом смысле, в частности, термин «П.» употребляется в топологии (См. Топология)).Это понятие легко обобщается и на случай n-мерного пространства: возьмём в n-мерном пространстве Rⁿ т. н. полупространство, т. е. множество всех точек, расположенных по одну сторону какой-либо (n- 1)-мерной плоскости этого пространства, включая точки самой плоскости (аналитически речь идёт о множестве всех точек пространства Rⁿ, координаты которых удовлетворяют неравенству первой степени вида a₁x₁+a₂x₂+... +a_nx_n+b≥0). Пересечение конечного числа полупространств (если оно оказывается ограниченным) и представляет собой наиболее общий выпуклый многогранник произвольного числа измерений ≤n, лежащий в данном Rⁿ. П. в общем смысле слова есть сумма конечного числа таких многогранников. При n = 2 получаются многоугольники (не непременно выпуклые) как двумерные П. Одномерные П. суть ломаные линии (причём допускается их распадение на куски, а также ветвление: в одной вершине могут смыкаться сколько угодно отрезков). Нуль-мерный П. всегда можно разбить на многогранники простейшего вида, а именно на симплексы, симплексы размерностей 0, 1, 2, 3 суть соответственно: одна точка, отрезок, треугольник, тетраэдр (вообще говоря, неправильный). При этом разбиение можно произвести так, что два симплекса этого разбиения или не имеют общих точек, или совокупность их общих точек образует общую грань этих симплексов. Такие разбиения П. на симплексы называются триангуляциями; они составляют основной аппарат исследования в т. н. комбинаторной топологии. Понятие «П.» допускает различные обобщения: при топологическом отображении П. переходит в т. н. кривой П. (например, многогранная поверхность переходит в произвольную кривую поверхность): рассматриваются и т. н. бесконечные П., слагающиеся из бесконечного множества выпуклых многогранников (симплексов) и т.д.

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; его же, Комбинаторная топология, М. — Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947; Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности, М., 1973.

П. С. Александров.

1. поли́эдр;
2. поли́эдры;
3. поли́эдра;
4. поли́эдров;
5. поли́эдру;
6. поли́эдрам;
7. поли́эдр;
8. поли́эдры;
9. поли́эдром;
10. поли́эдрами;
11. поли́эдре;
12. поли́эдрах.

-а, м. мат.

Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками; многогранник.

[От греч. πολύεδρος — многогранный]

ПОЛИЭДР (от поли... и греч. hedra - основание - грань), то же, что многогранник.

муж. polyhedron

polyhedron

m.polyhedron, polytope

м. мат.

poliedro m

м. мат.

poliedro

ПОЛИЭДР (многогранник), объемная фигура или тело, поверхность которого ограничена МНОГОУГОЛЬНИКАМИ. Грани, представляющие собой многоугольники, соединены в ребрах, а точки, где ребра сходятся, называются вершинами. см. также ПРАВИЛО ЭЙЛЕРА.

ПОЛИЭ́ДР -а; м. [от греч. polys - многочисленный, обширный и hedra - грань] Матем. Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками; многогранник.

* * *

(от поли... и греч. hédra — основание, грань), то же, что многогранник.

* * *

ПОЛИЭ́ДР (от поли...(см. ПОЛИ... (часть сложных слов)) и греч. hedra — основание, грань), то же, что многогранник(см. МНОГОГРАННИК).

- объединение локально конечного семейства выпуклых многогранников в нек-ром Rⁿ. Под выпуклым многогранником понимается пересечение конечного числа замкнутых полупространств в случае, если это пересечение ограничено. Локальная конечность семейства означает, что каждая точка имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом многогранников. Компактный П. является объединением конечного числа выпуклых многогранников. Размерность П. определяется как максимальная размерность составляющих его многогранников. Любое открытое подмножество П., в частности любое открытое подмножество евклидова пространства, есть П. Полиэдрами являются также конус и надстройка над компактным П. Простые примеры (конус над интервалом) показывают, что соединение компактного и некомпактного П. может не быть П. Подполиэдром полиэдра Qназ. любой полиэдр Р, лежащий в Q. Иногда ограничиваются рассмотрением только замкнутых подполиэдров. Каждая точка а полиэдра обладает в Рокрестностью, являющейся конусом в с вершиной а и с компактным основанием. Это свойство оказывается характеристическим: любое подмножество , каждая точка к-рого имеет конич. окрестность с компактным основанием, является П.

Каждый компактный полиэдр Рможно так разбить на конечное число замкнутых симплексов, чтобы каждые два симплекса либо не пересекались, либо пересекались по их общей грани. В случае некомпактного П. требуется, чтобы семейство симплексов было локально конечным. Такое разбиение наз. прямолинейной триангуляцией П. Любые две триангуляции одного и того же П. имеют общее подразделение. Если Р - замкнутый подполиэдр полиэдра Q, то любая триангуляция Кполиэдра Рпродолжается до нек-рой триангуляции Lполиэдра Q. В этом случае говорят, что получающаяся пара (L, К).геометрических симплициальных комплексов триангулирует пару (Q, Р). Отображение f полиэдра в полиэдр наз. кусочно линейным, или pl -отображением, если f является симшгациаль-ным в нек-рых триангуляциях полиэдров Ри Q. Эквивалентное определение: f кусочно линейно, если f локально коническое, т. е. если каждая точка имеет такую конич. окрестность N=a*L, что f (la+mx)=lf(а)+mf(x) при любых и Для того чтобы отображение f было кусочно линейным, необходимо и достаточно, чтобы его график являлся П. Суперпозиция кусочно линейных отображений кусочно линейна. Обратное отображение к обратимому кусочно линейному отображению f кусочно линейно. В этом случае f наз. pl- гомеоморфизмом.

Категория, объектами к-рой являются П. (и полиэдральные пары), а морфизмами являются pl -отображе-ния, обозначается PL или (см. также Кусочно линейная топология). Категория PL является одним из основных объектов и инструментов исследования в топологии. Особенно велика роль категории PL в алгебраической топологии и топологии многообразий. Это объясняется тем, что класс П. достаточно широк.

Напр., каждое дифференцируемое многообразие можно естественным образом представить в виде П. Каждое непрерывное отображение одного П. в другой сколь угодно точно аппроксимируется pl -отображением. Поэтому категория PL является хорошим приближением к категории всех топологич. пространств и непрерывных отображений. С другой стороны, триангулируемость П. позволяет использовать методы комбинаторной топологии. Многие алгебраич. инварианты (напр., гомологии группы, когомологий кольцо).строятся и эффективно вычисляются с помощью разбиения на симплексы. Вопрос о том, всякие ли гомеоморфные полиэдры pl -гомеоморфны, носит название основной гипотезы и решается отрицательно: для п 5 существуют гомеоморфные, но не рl -гомеоморфные n-мерные П. (см. [3]). При п 3 гомеоморфные n-мерные полиэдры pl -гомеоморфны, при n=4 вопрос остается (1983) открытым для компактных П. и решается отрицательно для некомпактных: существует нестандартная pZ-структура на . Полиэдр Мназ. и-мерным pl- многообразием, если каждая его точка имеет окрестность, pl -гомеоморфную или . Всякая прямолинейная триангуляция T pl -многообразия Мкомбинаторна. Это означает, что звезда каждой ее вершины комбинаторно эквивалентна симплексу. Основная гипотеза для П., являющихся n-мерными топологич. многообразиями, естественно распадается на две гипотезы: гипотезу о комбинаторности всякой триангуляции такого П. и основную гипотезу для pl- многообразий. Одним из важнейших достижений современной топологии является отрицательный ответ на обе гипотезы для n5 (см. [4], [5]). Для п 3 обе гипотезы справедливы.

Пусть Р - компактный подполиэдр полиэдра Qи пусть пара геометрических симплициальных комплексов (L, К).триангулирует пару (Q, P).так, что К- полный подкомплекс. Это означает, что каждый симплекс комплекса L, вершины к-рого лежат в К, лежит в К, и этого всегда можно добиться с помощью перехода к производному подразделению. Полиэдр N, состоящий из всех замкнутых симплексов производного подразделения L', имеющих вершину в К, а также его образ при любом неподвижном на Р рl -гомеоморфизме Qна себя, наз. регулярной окрестностью полиэдра Рв полиэдре Q. Для любых двух регулярнык окрестностей N₁, N₂ полиэдра Рсуществует неподвижная на Р рl -изотопия , переводящая N₁ в N₂, т. е. такая, что h₀(N₁)=N₁ и h₁(N₁)=N₂. Говорят, что полиэдр Р получается элементарным полиэдральным стягиванием полиэдра , если для нек-рого nО пара () pl -гомеоморфна паре (,). Полиэдр P₁ полиэдрально стягивается на свой подполиэдр Р ( обозначение()), если от P₁ к Рможно перейти конечной последовательностью элементарных полиэдральных стягиваний. Если , то в нек-рой триангуляции пары ( Р ₁, Р).полиэдр Р можно получить из P₁ последовательностью элементарных комбинаторных стягиваний, каждое из к-рых состоит в отбрасывании главного симплекса вместе с его свободной гранью. Если Qявляется n-мерным pl -многообразием, то любая регулярная окрестность компактного подполиэдра является n-мерным pl -многообразием и полиэдрально стягивается на Р. Это свойство оказывается характеристическим: если n-мерное pl -многообразие таково, что Р Int Nи , то N - регулярная окрестность Р. При этом любая регулярная окрестность края дМ- компактного pl -многообразия М pl -гомеоморфна дМI.

Пусть Р, Q - замкнутые подполиэдры n-мерного pl -многообразия М,dim Р=р, dim Q=q. Говорят, что Ри Qнаходятся в общем положении, если . Любые замкнутые подполиэдры можно привести в общее положение сколь угодно малой изотонией М. Это означает, что для любого e>0 существует такая (e- рl )-изотопия h_t:М М, что полиэдры Ри Q₁=h₁(Q).находятся в общем положении. Иногда в определение общего положения включают условия типа трансверсальности. Напр., если p--q=n, то можно добиться, чтобы для каждой точки и нек-рой окрестности Uточки а в Мтройка () была pl -гомеоморфна тройке

Кривой, или топологический, П.- топологич. пространство X, снабженное гомеоморфизмом , где Ресть П. Образы симплексов какой-либо триангуляции Тполиэдра Робразуют криволинейную триангуляцию X. Говорят также, что гомеоморфизм f задает на X pl-c труктуру. Две pl -структуры , i=1, 2, совпадают, если гомеоморфизм кусочно линеен, изотопны, если гомеоморфизм изотопен кусочно линейному, и эквивалентны, если Р ₁ и Р ₂ pl -гомеоморфны. Для любого дифференцируемого многообразия Мсуществует pl -структура f: Р М, согласованная с дифференцируемой структурой на М. Это означает, что для каждого замкнутого симплекса sнек-рой триангуляции полиэдра Ротображение дифференцируемо и не имеет особых точек. Любые две такие pl- структуры на Мизотопны. Все понятия, определяемые для П. (триангуляция, подполиэдр, регулярная окрестность, общее положение), переносятся с помощью гомеоморфизма на криволинейный полиэдр X.

Лит.: [1] Александров П. С., Комбинаторная топология, М.- Л., 1947; [2] Рурк К., Сандерсон Б., Введение в кусочно линейную топологию, М.. 1974; [3] Мi1nоr J., "Ann. Math.", 1961, v. 74, № 3, p. 575; [4] Кirbу R., Siebenmann L., "Ann Math. Stud.", 1977, № 88; [5] Edwards R., "Notices A. M. S.", 1975, v. 22, № 2, p. A-334.

С. В. Матвеев.

(от греч. poly - много и hedra - основание, грань) - то же, что многогранник.

polyhedron

* * *

polyhedron, polytope

* * *

polyhedron

м. матем.

poliedro m ( см. тж многогранник)

- эйлеров полиэдр

матем.

поліе́др

- ациклический полиэдр

- геометрический полиэдр

- евклидов полиэдр

- конечный полиэдр

- сдавливаемый полиэдр

матем.

поліе́др

- ациклический полиэдр

- геометрический полиэдр

- евклидов полиэдр

- конечный полиэдр

- сдавливаемый полиэдр

(от поли... и греч. hedra - основание, грань), то же, что многогранник.