Сколем

Скулем (Skolem) Туральф Альберт (23.5.1887, Сансвер, — 23.3.1963, Осло), норвежский математик, логик и философ. Окончил университет в Осло (1913), профессор там же (1938), член Норвежской АН (1938). Работы по теории чисел, различным вопросам логики и философии (математики). Наиболее известный результат — т. н. теорема Лёвенхейма — Скулема, согласно которой любая аксиоматическая теория, имеющая бесконечную модель, имеет счётную модель, из чего следует относительность таких понятий, как счётность, несчётность, мощность множества («парадокс С.», см. Парадокс), и возможность построения т. н. нестандартных моделей аксиоматических теорий (см. Моделей теория). Результаты и идеи С. используются в исследованиях по машинному поиску логического вывода.

Соч.: Selected works in logic, Boston, 1970.

СКО́ЛЕМ

(Skolem), Торальф Альберт (р. 23 мая 1887) – норв. логик, математик, философ; кандидат философии (1913), д-р философии (1926), доцент ун-та в Осло (1918–30), научный сотрудник Ин-та науки и свободомыслия (ин-т Кристиана Микельсена, 1930–38), проф. математики ун-та в Осло (с 1938), чл. Норвежской Академии наук (с 1938). Осн. работы – в области предикатов исчисления, теории рекурсивных функций и предикатов, теории моделей, теории множеств. В философии (математики) С. близок к умеренному номинализму и формализму, автор т.н. "концепции релятивизации основных математических понятий". Согласно концепции С., математика, может и должна развиваться только на основе формальных систем, или исчислений, поскольку матем. объекты существуют не "сами по себе" в к.-л. "абсолютном" смысле, как объективные реальности или трансцендентные платонистские сущности, но только относительно выбираемой нами логики, а точнее, относительно ее формализации – логического исчисления. Поэтому они зависят от того, какие логич. операции над ними можно производить. Применительно к таким понятиям, как множество это означает, что имеет смысл говорить о существовании только определимых множеств, т.е. таких, к-рые соответствуют логич. выражениям д а н н о й формализованной аксиоматич. теории множеств. Тогда очевидны и относительность понятия "множество", и относительность понятий "счетное" и "несчетное" (множество, несчетное в одной аксиоматич. теории множеств, может быть счетным в другой), и, следовательно, относительность понятия кардинального числа (мощностей). Рекурсивная перечислимость класса определимых множеств (о понятии "перечислимое множество" см. Разрешимое и перечислимое множества) указывает, в свою очередь, на то, что, по мысли С., любая матем. теория должна сводиться к п е р е ч и с л и м о й м о д е л и. Это согласуется с доказанной им теоремой (теорема Лёвенхейма – Сколема), согласно к-рой любая аксиоматич. теория множеств, имеющая к.-л. бесконечную модель, имеет и счетную (арифметическую) модель (т.н. парадокс С. – см. Парадокс).

Соч.: Sur la portée du theorème de Löwenheim – Skolem, в кн.: Les entretiens de Zurich sur les fondements et la méthode des sciences mathématiques, Z., 1941, p. 25–47, Discussion, p. 47–52; Une relativisation des notions mathématiques fondamentales, в сб.: Le raisonnement en mathématiques et en sciences experimentales, éd. du Centre National de la Recherche Scientifique, P., 1958; подробную библ. работ С. (до 1962) см. вкн.: Френкель Α., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966, с. 459–460, 492, 528.

М. Новосёлов. Москва.