Статистическое моделирование

численный метод решения математических задач, при котором искомые величины представляют вероятностными характеристиками какого-либо случайного явления, это явление моделируется, после чего нужные характеристики приближённо определяют путём статистической обработки «наблюдений» модели. Например, требуется рассчитать потоки тепла в нагреваемой тонкой металлической пластине, на краях которой поддерживается нулевая температура. Распределение тепла описывается тем же уравнением, что и расплывание пятна краски в слое жидкости (см. Теплопроводность, Диффузия). Поэтому моделируют плоское Броуновское движение частиц «краски» по пластине, следя за их положениями в моменты kτ, k= 0, 1, 2,... Приближённо принимают, что за малый интервал τ частица перемещается на шаг h равновероятно во всех направлениях. Каждый раз направление выбирается случайным образом, независимо от всего предыдущего. Соотношение между τ и h определяется коэффициентом теплопроводности. Движение начинается в источнике тепла и кончается при первом достижении края (наблюдается налипание «краски» на край). Поток Q (C) тепла через участок С границы измеряется количеством налипшей краски. При общем количестве Nчастиц согласно Больших чисел законутакая оценка даёт случайную относительную ошибку порядка h из-за дискретности выбранной модели).

Искомую величину представляют математическим ожиданием (См. Математическое ожидание) числовой функции f от случайного исхода ω явления: , т. е. интегралом по вероятностной мере Р (см. Мера множества). На оценку , где ω₁,..., ω_N -смоделированные исходы, можно смотреть как на квадратурную формулу для указанного интеграла со случайными узлами ω_k и случайной погрешностью R_N обычно принимают , считая большую погрешность пренебрежимо маловероятной; ДисперсияDf может быть оценена в ходе наблюдений (см. Ошибок теория).

В разобранном выше примере f(ω)= 1, когда траектория кончается на С; иначе f(ω)= 0. Дисперсия

Проведение каждого «эксперимента» распадается на две части: «розыгрыш» случайного исхода ω и последующее вычисление функции f(ω). Когда пространство всех исходов и вероятностная мера Р слишком сложны, розыгрыш проводится последовательно в несколько этапов (см. пример). Случайный выбор на каждом этапе проводится с помощью случайных чисел, например генерируемых каким-либо физическим датчиком; употребительна также их арифметическая имитация — псевдослучайные числа (см. Случайные и псевдослучайные числа). Аналогичные процедуры случайного выбора используются в математической статистике и теории игр.

С. м. широко применяется для решения на ЭВМ интегральных уравнений, например при исследовании больших систем (См. Большая система). Они удобны своей универсальностью, как правило, не требуют большого объёма памяти. Недостаток — большие случайные погрешности, слишком медленно убывающие при увеличении числа экспериментов. Поэтому разработаны приёмы преобразования моделей, позволяющие понижать разброс наблюдаемых величин и объём модельного эксперимента.

Лит.: Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло), М., 1962; Ермаков С. М., Метод Монте-Карло и смежные вопросы, М., 1971.

Н. Н. Ченцов.

statistical modelling

метод прикладной и вычислительной математики, состоящий в реализации на ЭВМ специально разрабатываемых стохастич. моделей изучаемых явлений или объектов. Расширение области применения С. м. связано с быстрым развитием техники и особенно многопроцессорных вычислительных систем, к-рые позволяют одновременно моделировать много независимых статистич. экспериментов. С другой стороны, классические вычислительные методы во многих случаях неудовлетворительны для исследования все усложняющихся математич. моделей исследуемых явлений. Это также повышает роль С. м., эффективность к-рого слабо зависит от размерности и геометрич. деталей задачи. К положительным свойствам этого метода следует отнести также простоту и естественность алгоритмов и возможность построения модификаций с учетом информации о решении (см. Монте-Карло метод).

Задачи, к-рые решаются методом С. м., можно условно разделить на два класса. К первому можно отнести задачи со стохастич. природой, когда используется прямое моделирование естественной вероятностной модели. Ко второму классу относятся детерминированные задачи; здесь искусственно строится вероятностный процесс, с помощью к-рого дается формальное решение задачи. Затем этот процесс моделируется на ЭВМ и строится численное решение в виде статистич. оценок. Имеется и промежуточный (между двумя приведенными) класс задач. Эти задачи, к-рые описываются детерминистич. уравнениями, но в к-рых случайны либо коэффициенты, либо граничные условия, или правая часть. Здесь особенно эффективной оказывается иногда лдвойная рандомизация

simulazione statistica