Шрёдингера уравнение

основное динамическое уравнение нерелятивистской квантовой механики (См. Квантовая механика); названо в честь австрийского физика Э. Шрёдингера, который предложил его в 1926. В квантовой механике Ш. у. играет такую же фундаментальную роль, как уравнение движения Ньютона в классической механике и Максвелла уравнения в классической теории электромагнетизма. Ш. у. описывает измерение во времени состояния квантовых объектов, характеризуемого волновой функцией (См. Волновая функция). Если известна волновая функция ψ в начальный момент времени, то, решая Ш. у., можно найти ψ в любой последующий момент времени t.

Для частицы массы т, движущейся под действием силы, порождаемой потенциалом V(х,у,z,t), Ш. у. имеет вид:

, (1)

гдеi = ħ = 1,05^.10^―27 эрг^. сек—Планка постоянная, Лапласа оператор(х,у,z —координаты). Это уравнение называется временны́м Ш. у.

Если потенциал V не зависит от времени, то решения Ш. у. можно представить в виде:

ψ(х,у,z,t) = х,у,z), (2)

где Е— полная энергия квантовой системы, а ψ (x, у,z) удовлетворяет стационарному Ш. у.:

(3)

Для квантовых систем, движение которых происходит в ограниченной области пространства, решения Ш. у. существуют только для некоторых дискретных значений энергии: E₁,E₂,...,E_n,...; члены этого ряда (в общем случае бесконечного) нумеруются набором целых квантовых чисел n.Каждому значению Е_п соответствует волновая функция ψ_n (x,у,z), и знание полного набора этих функций позволяет вычислить все измеримые характеристики квантовой системы.

В важном частном случае кулоновского потенциала

(где е — элементарный электрический заряд) Ш. у. описывает атом водорода, и E_nпредставляют собой энергии стационарных состояний атома.

Ш. у. является математическим выражением фундаментального свойства микрочастиц — корпускулярно-волнового дуализма (См. Корпускулярно-волновой дуализм), согласно которому все существующие в природе частицы материи наделены также волновыми свойствами (эта гипотеза впервые была высказана Л. де Бройлем (См. Бройль)в 1924). Ш. у. удовлетворяет Соответствия принципу и в предельном случае, когда длины волн де Бройля (См. Волны де Бройля) значительно меньше размеров, характерных для рассматриваемого движения, содержит описание движения частиц по законам классической механики. Переход от Ш. у. к классическим траекториям подобен переходу от волновой оптики к геометрической. Аналогия между классической механикой и геометрической оптикой, которая является предельным случаем волновой, сыграла важную роль в установлении Ш. у.

С математической точки зрения Ш. у. есть волновое уравнение и по своей структуре подобно уравнению, описывающему колебания нагруженной струны. Однако, в отличие от решений уравнения колебаний струны, которые дают геометрическую форму струны в данный момент времени, решения ψ(х,у,z,t) Ш. у. прямого физического смысла не имеют. Смысл имеет квадрат волновой функции, а именно величина ρ_n (x, у,z,t)=|ψ_n (x,у,z,t)|², равная вероятности нахождения частицы (системы) в момент t в квантовом состоянии n в точке пространства с координатами х,у,z. Эта вероятностная интерпретация волновой функции — один из основных постулатов квантовой механики.

Математическая формулировка постулатов квантовой механики, основанная на Ш. у., носит название волновой механики. Она полностью эквивалентна т. н. матричной механике В. Гейзенберга, которая была сформулирована им в 1925.

Ш. у. позволяет объяснить и предсказать большое число явлений атомной физики, а также вычислить основные характеристики атомных систем, наблюдаемые на опыте, например уровни энергии атомов, изменение спектров атомов под влиянием электрического и магнитного полей и т.д. С помощью Ш. у. удалось также понять и количественно описать широкий круг явлений ядерной физики, например закономерности α-распада, γ-излучение ядер, рассеяние нейтронов на ядрах и др.

Лит.: Шрёдингер Э., Новые пути в физике. Статьи и речи, М., 1971. См. также лит. к ст. Квантовая механика.

Л. И. Пономарёв.

ШРЕДИНГЕРА уравнение - основное уравнение нерелятивистской квантовой механики; позволяет определить возможные состояния системы, а также изменение состояния во времени. Сформулировано Э. Шредингером в 1926.

ШРЕДИНГЕРА УРАВНЕНИЕ

основное динамич. ур-ние нерелятив. квант. механики; предложено австр. физиком Э. Шрёдингером (Е. Schr?dinger) в 1926. В квант. механике Ш. <у. играет такую же фундам. роль, как ур-ния движения Ньютона в классич. механике и Максвелла уравнения в классич. теории электромагнетизма. Ш. у. описывает изменение во времени состояния квант. объектов, характеризуемого волновой функцией. Если известна волн. ф-ция y в нач. момент времени, то, решая Ш. у., можно найти y в любой последующий момент времени t.

Для ч-цы массы т, движущейся под действием силы, порождаемой потенциалом V(x, у, z, t), Ш. у. имеет вид:

где D=д2/дx2+д2/дy2+д2/дz2 — т. н. оператор Лапласа (х, у, z — координаты). Это ур-ние наз. в р е м е н н ы м Ш. у.

Если V не зависит от времени, то решения Ш. у. можно представить в виде:

где? — полная энергия квант. системы, a y(x, у, z) удовлетворяет с т а ц и о н а р н о м у Ш. у:

Для квант. систем, движение к-рых происходит в огранич. области пр-ва, решения Ш. у. существуют только для нек-рых дискр. значений энергии:?1,?2,...,?n,...; члены этого ряда (в общем случае бесконечного) нумеруются набором целых квант. чисел п. Каждому значению?n соответствует волн. ф-ция yn(x, у, z), и знание полного набора этих ф-ций позволяет вычислить все измеримые хар-ки квант. системы.

Ш. у. явл. матем. выражением фундам. св-ва микрочастиц — корпускулярного-волнового дуализма, согласно к-рому все существующие в. природе ч-цы материи наделены также волн. св-вами. Ш. у. удовлетворяет соответствия принципу и в предельном случае, когда длины волн де Бройля значительно меньше размеров, характерных для рассматриваемого движения, позволяет описать движение ч-ц по законам классич. механики. Переход от Ш. у. к ур-ниям классич. механики, описывающей движения ч-ц по траекториям, подобен переходу от волн. оптики к геометрической. Аналогия между классич. механикой и геом. оптикой, к-рая явл. предельным случаем волновой, сыграла важную роль в установлении Ш. у.

С матем. точки зрения Ш. у. есть волн. ур-ние и по своей структуре подобно ур-нию, описывающему колебания нагруж. струны. Однако, в отличие от решений ур-ния колебаний струны, к-рые дают геом. форму струны в данный момент времени, решения y(x, у, z, t) Ш. у. прямого физ. смысла не имеют. Смысл имеет квадрат волн. ф-ции, а именно величина rn(х, у, z, t) =?yn(x, у, z, t)?2, равная вероятности нахождения ч-цы (системы) в момент t в квант. состоянии n в точке пр-ва с координатами х, у, z. Эта вероятностная интерпретация волн. ф-ции — один из осн. постулатов квант. механики.

см. Квантовая механика.

Шрёдингера уравне́ние

основное динамическое уравнение нерелятивистской квантовой механики; позволяет определить возможные состояния системы, а также изменение состояния во времени. Сформулировано Э. Шрёдингером в 1926.

* * *

ШРЕДИНГЕРА УРАВНЕ́НИЕ, основное уравнение нерелятивистской квантовой механики; позволяет определить возможные состояния системы, а также изменение состояния во времени. Сформулировано Э. Шредингером в 1926.

- основное уравнение квантовой механики, определяющее вместе с соответствующими дополнительными условиями волновую функцию характеризующую состояние и микроскопия, свойства квантовой системы. Для нерелятивистской системы частиц без спина сформулировано Э. Шрёдингером (Е. Schrodinger, 1926). Оно имеет вид

где -оператор Гамильтона, образованный по общему правилу: в классич. функции Гамильтона Н( р, r )импульсы частиц ри их координаты . заменены на операторы, имеющие, в частности, в координатном (q=r₁,..., r_N) и импульсном представлениях соответствующий вид

Для заряженных частиц в электромагнитном поле, характеризуемом векторным потенциалом A(t, r), величина . заменяется на В этих представлениях Ш. у. представляет собой дифференциальное уравнение с частными производными, напр. для частицы в поле U(r)

Возможны дискретные представления, в к-рых -функция многокомпонентна, а оператор имеет вид матрицы. Если волновая функция определена в пространстве чисел заполнения, то оператор выражается с помощью определенных комбинаций операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования). Обобщение Ш. у. на случай нерелятивистской частицы со спином (двухкомпонентная функция наз. уравнением Паули (1927), на случай релятивистской частицы со спином ¹/₂ (четырехкомпонентная -функция) - уравнением Дирака (1928), на случай релятивистской бесспиновой частицы уравнением Клейна - Гордона (1926), со спином 1 -функция - вектор) - уравнением Прока (1936) и т. д.

Решение Ш. у. определяется в классе функций, удовлетворяющих условию нормировки при всех значениях t, где скобки означают интегрирование или суммирование по всем значениям переменных q. Для нахождения решения необходимо сформулировать начальные и граничные условия, соответствующие характеру рассматриваемой задачи. Наиболее характерные типы таких задач:

1) Стационарное Ш. у. и определение допустимых значений энергии системы. Полагая и требуя в соответствии с условием нормировки и условием отсутствия потоков на бесконечности обращения в нуль волновой функции и ее градиентов при приходят к ypавнению на собственные значения Е _п и собственные функции оператора Гамильтона:

Характерные примеры точного решения этой проблемы: собственные функции и уровни энергии для гармонич. осциллятора, атома водорода и т. д.

2) Квантовомеханич. задача рассеяния. Ш. у. решается с граничными условиями, соответствующими на большом расстоянии от центра рассеяния (описываемого потенциалом U(r))падающей на него плоской и расходящейся от него сферич. волнам. С учетом такого граничного условия Ш. у. можно записать в виде интегрального уравнения, первая итерация к-рого по члену, содержащему U(r), соответствует т. н. борновскому приближению. Это уравнение можно представить в виде формального решения, к-рое называют также уравнением Липпмана - Швингера.

3) Случай, когда гамильтониан системы зависит от времени, H=H₀( р, r)+U(t, р, r), обычно рассматривается в рамках временной теории возмущений. Это - теория квантовых переходов, определение реакции системы на внешнее возмущение (динамич. восприимчивость) и характеристик релаксационных процессов.

Для решения Ш. у. обычно используют приближен ные методы, регулярные (различного типа теории возмущений), вариационные и т. д.

Лит.:[1] Давыдов А. С., Квантовая механика, М., 1973; [2] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, 3 изд., М., 1974; [3] Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч., Квантовая механика, М., 1979.

И. А. Квасников.

осн. динамич. у р-ние нерелятивистской квантовой механики; позволяет определить возможные состояния системы, а также изменение состояния во времени. Сформулировано Э. Шрёдингером в 1926.